Fiche explicative de la leçon: Rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à relier les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des points du cercle trigonométrique vers les fonctions trigonométriques.

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont le centre est situé à l’origine d’un plan cartésien. Pour tout point (𝑥;𝑦) sur le cercle trigonométrique, un triangle rectangle peut être formé comme sur la figure suivante. L’hypoténuse de ce triangle rectangle forme un angle 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positifs.

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous pouvons définir les fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique:sincôtéopposéhypotenusedoncsincoscôtéadjacenthypotenusedonccostancôtéopposécôtéadjacentdonctan𝜃==𝑦1,𝑦=𝜃,𝜃==𝑥1,𝑥=𝜃,𝜃==𝑦𝑥,𝑦𝑥=𝜃.

On note que tan𝜃 n’est pas défini lorsque 𝑥=0. Nous observons également que, bien que nous ayons dérivé ces définitions pour un angle 𝜃 dans le quadrant 1, ils tiennent pour un angle dans n’importe quel quadrant.

Théorème : Fonctions trigonométriques et cercle trigonométrique

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser ces définitions des fonctions trigonométriques dans le cercle trigonométrique pour déterminer les valeurs exactes, à partir d’informations sur le côté terminal d’un angle.

Exemple 1: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique d’un angle étant données les coordonnées du point d’intersection du côté terminal et du cercle trigonométrique

Déterminez sin𝜃, sachant que 𝜃 est en position standard et son côté terminal passe par le point 35;45.

Réponse

Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des 𝑥 positifs. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis le côté initial jusqu’au côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 est comme illustré.

On trace un triangle rectangle dont les côtés mesurent 35 unités et 45 unités comme illustré ci-dessous.

Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur de la dimension manquante dans le triangle:35+45=𝑐,925+1625=𝑐,2525=𝑐.

Comme 𝑐=1, 𝑐=1. Cela nous dit que le point 35;45 se situe sur le cercle trigonométrique. Nous rappelons que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

sin𝜃est donc égal à la valeur de la coordonnée 𝑦 par le point, qui est 45:sin𝜃=45

En plus des fonctions trigonométriques standard, il est également possible de définir les fonctions trigonométriques inverses (l’inverse d’un nombre 𝑥 est 1𝑥 ). On peut les définir comme suit.

Définition : Fonctions trigonométriques inverses

Pour un angle 𝜃, les fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes:

  • La fonction cosécante:cscsin𝜃=1𝜃, pour sin𝜃0
  • La fonction sécante:seccos𝜃=1𝜃, pour cos𝜃0
  • La fonction cotangente:cottan𝜃=1𝜃, pour tan𝜃0

Comme nous pouvons écrire la fonction trigonométrique standard en fonction du cercle trigonométrique, il nous est également possible d’écrire les fonctions réciproques en fonction du cercle trigonométrique. C’est-à-dire, considérons une fois de plus un point (𝑥;𝑦) sur le cercle trigonométrique, avec l’angle 𝜃 à l’axe des 𝑥 positifs.

Ensuite, les fonctions trigonométriques inverses peuvent être écrites comme suit:cscsinpourseccospourcottanpour𝜃=1𝜃=1𝑦,𝑦0,𝜃=1𝜃=1𝑥,𝑥0,𝜃=1𝜃=𝑥𝑦,𝑦0.

Considérons un exemple où nous utilisons le cercle trigonométrique pour déterminer la valeur exacte de la fonction sécante.

Exemple 2: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique d’un angle étant données les coordonnées du point d’intersection du côté terminal et du cercle trigonométrique

Déterminez sec𝜃, sachant que 𝜃 est en position standard et son côté terminal passe par le point 45;35.

Réponse

Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des 𝑥 positifs. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis le côté initial jusqu’au côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 est comme illustré.

Pour calculer la valeur de sec𝜃, on va commencer par déterminer si le point avec des coordonnées 45;35 se situe sur le cercle trigonométrique. Pour ce faire, on peut considérer un triangle rectangle avec des côtés de 45 unités et 35 unités comme indiqué ci-dessous.

Ensuite, on peut calculer la longueur de l’hypoténuse, 𝑐, en utilisant le théorème de Pythagore:45+35=𝑐,1625+95=𝑐,2525=𝑐.

Par conséquent, 𝑐=1, ce qui signifie 𝑐=1. Ainsi, nous avons montré que le point 45;35 se situe sur le cercle trigonométrique.

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

Nous rappelons que seccos𝜃=1𝜃. Dans le cas du cercle trigonométrique, sec𝜃=1𝑥. sec𝜃=1=54.

Nous allons maintenant montrer comment déterminer la valeur exacte d’un angle quadrant, c’est-à-dire un angle dont le côté terminal se situe sur l’axe des 𝑥 ou l’axe des 𝑦.

Exemple 3: Déterminer les valeurs de cosinus d’angles quadrants

Déterminez la valeur de cos0.

Réponse

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

La valeur de cos0 sera donc la valeur de la coordonnée 𝑥 au point où le côté terminal de 𝜃=0radian coupe la circonférence du cercle trigonométrique, comme indiqué sur la figure.

Le côté terminal de l’angle 𝜃=0radian se situe sur l’axe des 𝑥, de sorte que le point où il coupe le cercle trigonométrique est (1;0). La coordonnée 𝑥, et donc la valeur de cos0, vaut 1.

La valeur de cos0 égale 1.

Dans nos exemples précédents, nous avons montré comment utiliser la définition du cercle trigonométrique pour déterminer la valeur exacte des fonctions trigonométriques. Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment le cercle trigonométrique valide la périodicité de telles fonctions.

Exemple 4: Exploration des différents angles entre 0 et 2𝜋 qui ont la même fonction trigonométrique

Supposons que 𝑃 est un point d’un cercle trigonométrique correspondant à l’angle de 4𝜋3. Y a-t-il un autre point sur le cercle trigonométrique représentant un angle dans l’intervalle [0,2𝜋[ qui a la même valeur tangente?Si oui, déterminez l’angle.

Réponse

Nous commencerons par tracer le cercle trigonométrique et le point 𝑃 ce qui forme un angle de 4𝜋3radians avec l’axe des 𝑥 positifs mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Comme 4𝜋3 est entre 𝜋 et 3𝜋2, nous savons que ce point doit se situer dans le troisième quadrant. Étant donné que les deux coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point sont négatives, nous le définirons comme 𝑃(𝑎;𝑏) pour certaines constantes positives 𝑎 et 𝑏.

On rappelle maintenant la définition de la fonction tangente au cercle trigonométrique. Étant donné un angle 𝜃 en position standard, où les coordonnées du point d’intersection du côté terminal avec le cercle trigonométrique sont (𝑥;𝑦) et 𝑥0, 𝑦𝑥=𝜃.tan

Pour le point 𝑃, tan4𝜋3=𝑏𝑎=𝑏𝑎.

Le quotient de ces coordonnées 𝑥 et 𝑦 est positif. Nous observons maintenant qu’il doit y avoir un deuxième point sur le cercle trigonométrique pour lequel c’est le cas. Ceci est le point avec des coordonnées (𝑎;𝑏) qui se situe dans le premier quadrant.

On peut transformer un point 𝑃 vers le point 𝑄 en effectuant une seule rotation de 𝜋radians. Pour déterminer la valeur de 𝛼 telle que tan𝛼=𝑏𝑎, 4𝜋3𝜋=𝜋3.

Oui, il y a un autre point sur le cercle trigonométrique qui produit la même valeur de tangente que l’angle 4𝜋3. L’angle est 𝜋3.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser le cercle trigonométrique pour calculer une fonction trigonométrique simple.

Exemple 5: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à partir des coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique avec le côté terminal d’un angle en position standard

Le côté terminal de 𝐴𝑂𝐵 en position standard coupe le cercle trigonométrique 𝑂 au point 𝐵 avec des coordonnées 310;𝑦, 𝑦>0. Déterminez la valeur de sin𝐴𝑂𝐵.

Réponse

Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des 𝑥 positifs. Comme 𝐴𝑂𝐵 est en position standard et 𝐵 n’est pas sur l’axe des 𝑥 positifs, le point 𝐴 doit être sur l’axe des 𝑥 positifs. On peut donc tracer 𝐴𝑂𝐵=𝜃 sur le cercle trigonométrique. Comme les deux coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont positives, le point 𝐵 se situe dans le premier quadrant.

Nous savons que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

La valeur de sin𝐴𝑂𝐵 est donc égale à la valeur de la coordonnée 𝑦 du point 𝐵. En représentant 𝐴𝑂𝐵 comme un triangle rectangle, on peut trouver la valeur de 𝑦 en utilisant le théorème de Pythagore.

Nous avons 1=𝑦+3101=𝑦+910𝑦=110.

Puisque 𝑦>0 dans cet exemple, on obtient 𝑦=110 unités.

La valeur de sin𝐴𝑂𝐵 est 110.

Terminons par récapituler certains concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan cartésien.
  • Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin
  • Le rapport tangent peut également être défini pour les points sur le cercle trigonométrique (𝑥;𝑦), 𝑥0:tan𝜃=𝑦𝑥.
  • La figure CAST peut être utilisée pour identifier les signes de la fonction trigonométrique pour les angles dans chaque quadrant.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité