Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à relier les coordonnées et des points du cercle trigonométrique vers les fonctions trigonométriques.
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 dont le centre est situé à l’origine d’un plan cartésien. Pour tout point sur le cercle trigonométrique, un triangle rectangle peut être formé comme sur la figure suivante. L’hypoténuse de ce triangle rectangle forme un angle avec l’axe des positifs.
En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, nous pouvons définir les fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique :
On note que n’est pas défini lorsque . Nous observons également que, bien que nous ayons dérivé ces définitions pour un angle dans le quadrant 1, ils tiennent pour un angle dans n’importe quel quadrant.
Théorème : Fonctions trigonométriques et cercle trigonométrique
Les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser ces définitions des fonctions trigonométriques dans le cercle trigonométrique pour déterminer les valeurs exactes, à partir d’informations sur le côté terminal d’un angle.
Exemple 1: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique d’un angle étant données les coordonnées du point d’intersection du côté terminal et du cercle trigonométrique
Déterminez , sachant que est en position standard et son côté terminal passe par le point .
Réponse
Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des positifs. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis le côté initial jusqu’au côté terminal. Par conséquent, l’angle est comme illustré.
On trace un triangle rectangle dont les côtés mesurent unités et unités comme illustré ci-dessous.
Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur de la dimension manquante dans le triangle :
Comme , . Cela nous dit que le point se situe sur le cercle trigonométrique. Nous rappelons que les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
est donc égal à la valeur de la coordonnée par le point, qui est :
En plus des fonctions trigonométriques standard, il est également possible de définir les fonctions trigonométriques inverses (l’inverse d’un nombre est ). On peut les définir comme suit.
Définition : Fonctions trigonométriques inverses
Pour un angle , les fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes :
- La fonction cosécante : , pour
- La fonction sécante : , pour
- La fonction cotangente : , pour
Comme nous pouvons écrire la fonction trigonométrique standard en fonction du cercle trigonométrique, il nous est également possible d’écrire les fonctions réciproques en fonction du cercle trigonométrique. C’est-à-dire, considérons une fois de plus un point sur le cercle trigonométrique, avec l’angle à l’axe des positifs.
Ensuite, les fonctions trigonométriques inverses peuvent être écrites comme suit :
Considérons un exemple où nous utilisons le cercle trigonométrique pour déterminer la valeur exacte de la fonction sécante.
Exemple 2: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique d’un angle étant données les coordonnées du point d’intersection du côté terminal et du cercle trigonométrique
Déterminez , sachant que est en position standard et son côté terminal passe par le point .
Réponse
Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des positifs. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis le côté initial jusqu’au côté terminal. Par conséquent, l’angle est comme illustré.
Pour calculer la valeur de , on va commencer par déterminer si le point avec des coordonnées se situe sur le cercle trigonométrique. Pour ce faire, on peut considérer un triangle rectangle avec des côtés de unités et unités comme indiqué ci-dessous.
Ensuite, on peut calculer la longueur de l’hypoténuse, , en utilisant le théorème de Pythagore :
Par conséquent, , ce qui signifie . Ainsi, nous avons montré que le point se situe sur le cercle trigonométrique.
Les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
Nous rappelons que . Dans le cas du cercle trigonométrique, .
Nous allons maintenant montrer comment déterminer la valeur exacte d’un angle quadrant, c’est-à-dire un angle dont le côté terminal se situe sur l’axe des ou l’axe des .
Exemple 3: Déterminer les valeurs de cosinus d’angles quadrants
Déterminez la valeur de .
Réponse
Les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
La valeur de sera donc la valeur de la coordonnée au point où le côté terminal de coupe la circonférence du cercle trigonométrique, comme indiqué sur la figure.
Le côté terminal de l’angle se situe sur l’axe des , de sorte que le point où il coupe le cercle trigonométrique est . La coordonnée , et donc la valeur de , vaut 1.
La valeur de égale 1.
Dans nos exemples précédents, nous avons montré comment utiliser la définition du cercle trigonométrique pour déterminer la valeur exacte des fonctions trigonométriques. Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment le cercle trigonométrique valide la périodicité de telles fonctions.
Exemple 4: Exploration des différents angles entre 0 et 2𝜋 qui ont la même fonction trigonométrique
Supposons que est un point d’un cercle trigonométrique correspondant à l’angle de . Y a-t-il un autre point sur le cercle trigonométrique représentant un angle dans l’intervalle qui a la même valeur tangente ? Si oui, déterminez l’angle.
Réponse
Nous commencerons par tracer le cercle trigonométrique et le point ce qui forme un angle de avec l’axe des positifs mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Comme est entre et , nous savons que ce point doit se situer dans le troisième quadrant. Étant donné que les deux coordonnées et de ce point sont négatives, nous le définirons comme pour certaines constantes positives et .
On rappelle maintenant la définition de la fonction tangente au cercle trigonométrique. Étant donné un angle en position standard, où les coordonnées du point d’intersection du côté terminal avec le cercle trigonométrique sont et ,
Pour le point ,
Le quotient de ces coordonnées et est positif. Nous observons maintenant qu’il doit y avoir un deuxième point sur le cercle trigonométrique pour lequel c’est le cas. Ceci est le point avec des coordonnées qui se situe dans le premier quadrant.
On peut transformer un point vers le point en effectuant une seule rotation de . Pour déterminer la valeur de telle que ,
Oui, il y a un autre point sur le cercle trigonométrique qui produit la même valeur de tangente que l’angle . L’angle est .
Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser le cercle trigonométrique pour calculer une fonction trigonométrique simple.
Exemple 5: Déterminer la valeur d’une fonction trigonométrique à partir des coordonnées du point d’intersection du cercle trigonométrique avec le côté terminal d’un angle en position standard
Le côté terminal de en position standard coupe le cercle trigonométrique au point avec des coordonnées , où . Déterminez la valeur de .
Réponse
Un angle est dit en position standard si le sommet est à l’origine du repère et le côté initial se situe sur l’axe des positifs. Comme est en position standard et n’est pas sur l’axe des positifs, le point doit être sur l’axe des positifs. On peut donc tracer sur le cercle trigonométrique. Comme les deux coordonnées et sont positives, le point se situe dans le premier quadrant.
Nous savons que les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
La valeur de est donc égale à la valeur de la coordonnée du point . En représentant comme un triangle rectangle, on peut trouver la valeur de en utilisant le théorème de Pythagore.
Nous avons
Puisque dans cet exemple, on obtient unités.
La valeur de est .
Terminons par récapituler certains concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plan cartésien.
- Les coordonnées et d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle sont définies par
- Le rapport tangent peut également être défini pour les points sur le cercle trigonométrique , où :
- La figure CAST peut être utilisée pour identifier les signes de la fonction trigonométrique pour les angles dans chaque quadrant.
