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Fiche explicative de la leçon : Rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le fait que les signes du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle sont déterminés par son quadrant dans le cercle trigonométrique pour résoudre des équations trigonométriques.

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré sur l’origine d’un repère cartésien. On peut former un triangle rectangle à partir de n’importe quel point de coordonnées (𝑥;𝑦) du cercle trigonométrique, comme montré sur la figure ci-dessous. L’hypoténuse de ce triangle rectangle forme un angle 𝜃 avec le côté positif de l’axe des 𝑥.

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle, on peut définir les fonctions trigonométriques dans le cercle trigonométrique: sincôtéopposéhypoténusedoncsincoscôtéadjacenthypoténusedonccostancôtéopposécôtéadjacentdonctan𝜃==𝑦1;𝑦=𝜃;𝜃==𝑥1;𝑥=𝜃;𝜃==𝑦𝑥;𝑦𝑥=𝜃.

On notera que tan𝜃 n’est pas défini quand 𝑥=0. On notera également que, bien que l’on ait établi ces définitions à partir d’un angle 𝜃 du premier quadrant, elles sont valables pour tout angle de n’importe quel quadrant.

Théorème : Les fonctions trigonométriques et le cercle trigonométrique

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser ces définitions des fonctions trigonométriques dans le cercle trigonométrique pour trouver une valeur exacte de la fonction sinus à partir d’informations sur le côté terminal de l’angle.

Exemple 1: Trouver la valeur d’une fonction trigonométrique à partir des coordonnées du point d’intersection entre le cercle trigonométrique et le côté terminal d’un angle

Trouvez sin𝜃, sachant que 𝜃 est l’angle formé par le côté positif de l’axe des abscisses et la demi-droite partant de l’origine et passant par le point 35;45, mesuré dans le sens trigonométrique.

Réponse

On sait que le sommet de l’angle est l’origine du repère et qu’il s’ouvre à partir du côté positif de l’axe des 𝑥, on parlera alors d’angle standard. La mesure se fait dans le sens trigonométrique, qui correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre, depuis le côté initial de l’angle jusqu’à son côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 correspond à l’angle montré sur la figure ci-dessous.

On trace un triangle rectangle dont les côtés mesurent 35 d’unité et 45 d’unité, comme montré ci-dessous.

On peut maintenant utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur manquante du triangle: 35+45=𝑐;925+1625=𝑐;2525=𝑐.

Puisque 𝑐=1, alors 𝑐=1. Il en découle que le point 35;45 est sur le cercle trigonométrique. On rappelle que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

La valeur de sin𝜃 est donc égale à la valeur de la coordonnée 𝑦 du point, c’est-à-dire 45: sin𝜃=45

On peut également appliquer ces définitions pour travailler avec les fonctions trigonométriques inverses. Dans l’exemple 2, nous utiliserons l’équation du cercle trigonométrique pour trouver une valeur exacte de la fonction sécante.

Soit un point quelconque du cercle trigonométrique, noté (𝑥;𝑦).

En appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle représenté sur la figure ci-dessus, on a 𝑥+𝑦=1.

Par conséquent, l’équation du cercle trigonométrique est 𝑥+𝑦=1.

Exemple 2: Trouver la valeur d’une fonction trigonométrique à partir des coordonnées d’un point sur le cercle trigonométrique

Trouvez sec𝜃, sachant que 𝜃 est un angle standard et que son côté terminal passe par le point 45;35.

Réponse

On sait que le sommet de l’angle est l’origine du repère et qu’il s’ouvre à partir du côté positif de l’axe des 𝑥, on parlera d’angle standard. On mesure l’angle dans le sens trigonométrique, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre depuis son côté initial jusqu’à son côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 correspond à l’angle montré sur la figure ci-dessous.

Pour calculer la valeur de sec𝜃, on commence par déterminer si le point de coordonnées 45;35 est sur le cercle trigonométrique. L’équation du cercle trigonométrique est 𝑥+𝑦=1. En remplaçant par 𝑥=45 et 𝑦=35 dans l’expression 𝑥+𝑦, on trouve 45+35=1625+925=1.

Puisque les valeurs de 𝑥 et 𝑦 vérifie l’équation 𝑥+𝑦=1, le point est sur le cercle trigonométrique, donc on peut utiliser la définition suivante:

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

On rappelle que seccos𝜃=1𝜃. Sur le cercle trigonométrique, sec𝜃=1𝑥. On a donc sec𝜃=1=54.

Nous allons maintenant montrer comment déterminer la valeur exacte d’un angle correspondant exactement à la limite d’un quadrant du repère. On rappelle que ce sont les axes des 𝑥 et des 𝑦 qui partagent le cercle trigonométrique en quatre quadrants.

Exemple 3: Trouver la valeur du cosinus d’un angle correspondant à la limite d’un quadrant du repère

Trouvez la valeur de cos0.

Réponse

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

Par conséquent, la valeur de cos0 est la valeur de l’abscisse 𝑥 du point sur le côté terminal de l’angle 𝜃=0radian qui intersecte le cercle trigonométrique, comme illustré sur la figure ci-dessous.

Le côté terminal de l’angle 𝜃=0radian est confondu avec l’axe des 𝑥 donc il intersecte le cercle trigonométrique au point de coordonnées (1;0). L’abscisse 𝑥 vaut 1, donc la valeur de cos0 est également égale à 1.

Ainsi, cos0 vaut 1.

Dans nos exemples précédents, nous avons montré comment utiliser la définition du cercle trigonométrique pour trouver la valeur exacte de fonctions trigonométriques. Dans notre prochain exemple, nous montrerons comment se valide la périodicité de ces fonctions sur le cercle trigonométrique.

Exemple 4: Déterminer les différents angles compris entre 0 et 2𝜋 qui partagent la même valeur d’une fonction trigonométrique

Soit un point 𝑃 du cercle trigonométrique correspondant à l’angle de 4𝜋3. Existe-t-il un autre point du cercle trigonométrique correspondant à un angle de l’intervalle [0;2𝜋[ et ayant la même valeur par la fonction tangente? Si oui, donnez l’angle.

Réponse

On commence par dessiner un cercle trigonométrique sur lequel on place le point 𝑃, qui forme, dans le sens trigonométrique, un angle de 4𝜋3radians avec le côté positif de l’axe des 𝑥. Puisque 4𝜋3 est compris entre 𝜋 et 3𝜋2, on sait que le point est dans le troisième quadrant. Étant donné que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point sont toutes deux négatives, on le note 𝑃(𝑎;𝑏), 𝑎 et 𝑏 sont des constantes positives.

Rappelons la définition de la fonction tangente dans le cercle trigonométrique. Soit un angle 𝜃 standard, dont les coordonnées du point d’intersection de son côté terminal avec le cercle trigonométrique sont (𝑥;𝑦), tel que 𝑥0. Alors, 𝑦𝑥=𝜃.tan.

Donc pour le point 𝑃, on a tan4𝜋3=𝑏𝑎=𝑏𝑎.

Le quotient des coordonnées 𝑥 et 𝑦 est positif. On observe donc qu’il doit exister un second point du cercle trigonométrique correspondant à ce quotient. Il s’agit du point de coordonnées (𝑎;𝑏), qui est dans le premier quadrant.

On peut passer du point 𝑃 au point 𝑄 en effectuant une rotation de 𝜋radians. Ainsi, pour trouver la valeur de l’angle 𝛼 tel que tan𝛼=𝑏𝑎, on calcule 4𝜋3𝜋=𝜋3.

Il existe donc un autre point du cercle trigonométrique qui correspond à un angle dont la valeur de la tangente est égale à celle de 4𝜋3. Cet angle est 𝜋3.

Dans cet exemple, nous avons utilisé le cercle trigonométrique pour mettre en évidence la périodicité de la fonction tangente. On peut utiliser un processus similaire pour déterminer le signe de n’importe quelle fonction trigonométrique pour un angle donné.

Soit un point 𝑃 du premier quadrant du cercle trigonométrique, représenté sur la figure ci-dessous.

On peut voir que les coordonnées 𝑥 et 𝑦, et par conséquent les valeurs de cos𝜃 et sin𝜃, sont positives. De plus, puisque tan𝜃=𝑦𝑥, alors la valeur de tan𝜃 est elle aussi positive dans ce quadrant.

Considérons maintenant un point 𝑃 du deuxième quadrant.

La coordonnée 𝑥, et par conséquent la valeur de cos𝜃, est négative dans ce quadrant. Puisque la coordonnée 𝑦 est positive dans ce quadrant, alors la valeur de sin𝜃 est positive. De la même manière, on observe que la tangente d’un angle 𝜃 du deuxième quadrant est le quotient d’un nombre positif par un nombre négatif. Par conséquent, la valeur de tan𝜃 est négative dans ce quadrant.

On peut répéter ce processus dans les troisième et quatrième quadrants pour déterminer que:

  • dans le troisième quadrant, la valeur de tan𝜃 est positive et les valeurs de sin𝜃 et cos𝜃 sont négatives;
  • dans le quatrième quadrant, la valeur de cos𝜃 est positive et les valeurs de sin𝜃 et tan𝜃 sont négatives.

On peut simplifier ceci à l’aide du diagramme CAST. Les lettres de l’acronyme CAST indiquent les fonctions trigonométriques positives dans chaque quadrant.

Définition : Le diagramme CAST

  • Dans le premier quadrant, toutes les fonctions trigonométriques sont positives (All = « toutes »).
  • Dans le deuxième quadrant, seules les valeurs du Sinus sont positives.
  • Dans le troisième quadrant, seules les valeurs de la Tangente sont positives.
  • Dans le quatrième quadrant, seules les valeurs du Cosinus sont positives.

Voyons comment utiliser le diagramme CAST pour faciliter la résolution d’un problème. On considère sin7𝜋6. En traçant l’angle de 7𝜋6radians sur le cercle trigonométrique, on voit qu’il appartient au troisième quadrant.

Grâce au diagramme CAST, on sait que la fonction tangente est positive dans ce quadrant, tandis que les fonctions sinus et cosinus sont négatives. On peut donc en déduire que sin7𝜋6 a une valeur négative.

Comme montré ci-dessous, une rotation de 𝜋radians par rapport à l’origine revient à changer les signes des coordonnées 𝑥 et 𝑦. En utilisant la relation qui existe entre l’abscisse 𝑥 d’un point du cercle trigonométrique et l’angle standard correspondant, on obtient l’identité sinsin(𝜃)=(𝜃𝜋).

On applique cette formule à notre exemple et on a sinsinsin7𝜋6=7𝜋6𝜋=𝜋6.

Puisque sin𝜋6=12, alors sin7𝜋6=12. Ainsi, la valeur de sin7𝜋6 est négative, comme on l’avait correctement prédit grâce au diagramme CAST.

Dans notre dernier exemple, nous montrerons comment utiliser le cercle trigonométrique pour évaluer la valeur d’une fonction trigonométrique simple.

Exemple 5: Trouver la valeur d’une fonction trigonométrique à partir des coordonnées du point d’intersection du côté terminal d’un angle standard avec le cercle trigonométrique

Le côté terminal de l’angle standard 𝐴𝑂𝐵 coupe le cercle trigonométrique de centre 𝑂 au point 𝐵 de coordonnées 310;𝑦, 𝑦>0. Trouvez la valeur de sin𝐴𝑂𝐵.

Réponse

On sait que le sommet de l’angle est l’origine du repère et qu’il s’ouvre à partir du côté positif de l’axe des 𝑥, on parlera alors d’angle standard. Puisque 𝐴𝑂𝐵 est standard et que 𝐵 n’est pas sur l’axe des 𝑥, alors c’est le point 𝐴 qui se trouve sur le côté positif de l’axe des 𝑥. Avec ces informations, on peut dessiner 𝐴𝑂𝐵=𝜃 sur le cercle trigonométrique. Étant donné que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont toutes deux positives, le point 𝐵 est dans le premier quadrant.

On sait que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin

La valeur de sin𝐴𝑂𝐵 est donc égale à la valeur de la coordonnée 𝑦 du point 𝐵. Le triangle 𝐴𝑂𝐵 est rectangle, donc on peut trouver la valeur de 𝑦 en utilisant le théorème de Pythagore.

On a 1=𝑦+3101=𝑦+910𝑦=110.

On sait que 𝑦>0, donc 𝑦=110 unité.

La valeur de sin𝐴𝑂𝐵 est 110.

Pour finir, récapitulons quelques-unes des notions les plus importantes vues dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le cercle trigonométrique unitaire est un cercle de rayon 1 centré sur l’origine d’un repère cartésien.
  • Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique correspondant à un angle 𝜃 sont définies par 𝑥=𝜃𝑦=𝜃.cosetsin
  • On peut aussi définir le rapport de la tangente pour tout point du cercle trigonométrique, de coordonnées (𝑥;𝑦), avec 𝑥0: tan𝜃=𝑦𝑥.
  • On peut utiliser le diagramme CAST pour identifier les signes des fonctions trigonométriques en fonction du quadrant auquel l’angle appartient.

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