Vidéo de la leçon: Rapports trigonométriques sur le cercle trigonométrique Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le fait que les signes du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle sont déterminés par son quadrant dans le cercle trigonométrique pour résoudre des équations trigonométriques. Nous commencerons par considérer le cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon égal à un dont le centre est situé à l’origine d’un repère cartésien. Pour tout point 𝑥, 𝑦 sur le cercle trigonométrique, un triangle rectangle peut être formé comme sur la figure. L’hypoténuse de ce triangle rectangle fait un angle 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positif. En utilisant la trigonométrie du triangle rectangle, nous pouvons définir les fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique. Rappelons que sinus 𝜃 égale à l’opposé sur l’hypoténuse, cosinus 𝜃 à égale l’adjacent sur l’hypoténuse et tangente 𝜃 égale à l’opposé sur l’adjacent.

Puisque le côté opposé a la longueur 𝑦, le côté adjacent a la longueur 𝑥 et l’hypoténuse a la longueur un, nous avons les équations suivantes. Donc 𝑦 est égal à sinus 𝜃, 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 sur 𝑥 est égal à tangente 𝜃. Nous notons que tangente 𝜃 n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous observons également que, bien que nous ayons dérivé ces définitions pour un angle 𝜃 dans le quadrant I, elles tiennent pour un angle dans n’importe quel quadrant. En résumé, les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃.

Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser ces définitions de fonctions trigonométriques dans le cercle trigonométrique pour trouver des valeurs exactes, étant donné des informations sur le côté terminal d’un angle.

Trouvez sinus 𝜃, étant donné que 𝜃 est en position standard et que son côté terminal passe par le point trois cinquièmes, moins quatre cinquièmes.

Un angle est dit être en position standard si le sommet est à l’origine et que le côté initial se trouve sur l’axe des 𝑥 positif. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre du côté initial au côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 est comme indiqué. Nous dessinons un triangle rectangle avec des côtés de longueurs trois cinquièmes et de quatre cinquièmes.

Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la valeur du côté manquant dans le triangle. Trois cinquièmes au carré plus quatre cinquièmes au carré est égal à 𝑐 au carré. Le membre de gauche se simplifie à neuf sur 25 plus 16 sur 25. Donc, 𝑐 au carré est égal à 25 sur 25, ce qui est égal à un. En prenant la racine carrée des deux membres, et puisque 𝑐 doit être positif, nous avons 𝑐 est égal à un. Cela nous indique que le point trois cinquièmes, moins quatre cinquièmes se trouve sur le cercle trigonométrique.

Nous rappelons que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃. Sinus 𝜃 est donc égal à la valeur de l’ordonnée 𝑦 du point, qui est moins quatre cinquièmes. La bonne réponse est sinus 𝜃 est égal à moins quatre cinquièmes.

En plus des fonctions trigonométriques standard, il est également possible de définir les fonctions trigonométriques inverses. L’inverse d’un nombre 𝑥 est un sur 𝑥. Pour un angle 𝜃, où 𝜃 est un nombre réel, les fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes. Cosécante 𝜃 est égale à un sur sinus 𝜃, sécante 𝜃 est égale à un sur cosinus 𝜃, et cotangente 𝜃 est égale à un sur tangente 𝜃, où sinus 𝜃, cosinus 𝜃 et tangente 𝜃 ne sont pas égaux à zéro.

Puisque nous pouvons écrire les fonctions trigonométriques standard en fonction du cercle trigonométrique, il nous est également possible d’écrire les fonctions inverses en fonction du cercle trigonométrique. Autrement dit, considérons de nouveau un point 𝑥, 𝑦 sur le cercle trigonométrique d’angle 𝜃 par rapport à l’axe des 𝑥 positif, où 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃. Ensuite, les fonctions trigonométriques inverses peuvent être écrites comme suit. Cosécante 𝜃 égale un sur 𝑦, sécante 𝜃 égale un sur 𝑥 et cotangente 𝜃 égale 𝑥 sur 𝑦, où les dénominateurs ne peuvent pas être égaux à zéro.

Prenons un exemple où nous pouvons utiliser le cercle trigonométrique pour trouver la valeur exacte de la fonction sécante.

Trouvez la sécante de 𝜃, étant donné que 𝜃 est en position standard et que son côté terminal passe par le point quatre cinquièmes, trois cinquièmes.

Un angle est dit qu’il est en position standard si le sommet est à l’origine et que le côté initial se trouve sur l’axe des 𝑥 positif. L’angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre du côté initial au côté terminal. Par conséquent, l’angle 𝜃 est comme indiqué.

Pour calculer la valeur de sécante 𝜃, nous commencerons par déterminer si le point avec les coordonnées quatre cinquièmes, trois cinquièmes se trouve sur le cercle trigonométrique. Pour ce faire, nous pouvons considérer un triangle rectangle avec des longueurs de côtés de quatre cinquièmes unités et trois cinquièmes unités comme indiqué. Ensuite, nous pouvons calculer la longueur de l’hypoténuse, 𝑐, en utilisant le théorème de Pythagore.

Nous avons quatre cinquièmes au carré plus trois cinquièmes au carré est égal à 𝑐 au carré. Cela se simplifie à 16 sur 25 plus neuf sur 25 égale 𝑐 au carré. Donc 𝑐 au carré est égal à 25 sur 25, ce qui est égal à un. En prenant la racine carrée des deux membres, et puisque 𝑐 doit être positif, nous avons 𝑐 est égal à un. Nous avons donc montré que le point quatre cinquièmes, trois cinquièmes se trouve sur le cercle trigonométrique.

Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃. Nous rappelons que sécante 𝜃 est égal à un sur cosinus 𝜃. Donc, sécante 𝜃 est égal à un sur 𝑥. En substituant dans l’abscisse 𝑥, nous avons sécante 𝜃 est égal à un divisé par quatre cinquièmes, ce qui est égal à cinq sur quatre, ou cinq quarts. Si 𝜃 est en position standard et que le côté terminal de l’angle passe par le point quatre cinquièmes, trois cinquièmes, alors sécante 𝜃 est égale à cinq quarts.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple où nous montrerons comment utiliser le cercle trigonométrique pour évaluer une fonction trigonométrique simple.

Le côté terminal de l’angle 𝐴𝑂𝐵 en position standard coupe le cercle trigonométrique 𝑂 au point 𝐵 de coordonnées trois sur radical 10, 𝑦, où 𝑦 est supérieur à zéro. Trouvez la valeur de sinus 𝐴𝑂𝐵.

Un angle est dit être en position standard si le sommet est à l’origine et que le côté initial se trouve sur l’axe des 𝑥 positif. Puisque l’angle 𝐴𝑂𝐵 est dans la position standard et que 𝐵 n’est pas sur l’axe des 𝑥, le point 𝐴 doit se trouver sur l’axe des 𝑥 positif. Nous pouvons donc esquisser l’angle 𝐴𝑂𝐵 égal à 𝜃 sur le cercle trigonométrique. Puisque les coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont positives, le point 𝐵 se situe dans le premier quadrant.

Nous savons que les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point sur le cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃. La valeur de sinus 𝐴𝑂𝐵 est donc égale à la valeur de l’ordonnée 𝑦 du point 𝐵.

En représentant le triangle 𝐴𝑂𝐵 comme un triangle rectangle, nous pouvons trouver la valeur de 𝑦 en utilisant le théorème de Pythagore. Nous avons 𝑦 au carré plus trois sur la racine de 10 au carré est égal à un carré. En simplifiant, notre équation devient 𝑦 au carré plus neuf sur 10 égal à un. En soustrayant neuf dixièmes des deux membres, nous avons 𝑦 au carré est égal à un dixième. En prenant la racine carrée des deux membres, et puisque 𝑦 est supérieur à zéro, nous obtenons 𝑦 est égal à un sur la racine de 10 unités. La valeur de sinus 𝐴𝑂𝐵 est un sur la racine 10.

Nous terminerons cette vidéo en récapitulant certains des points clés.

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon un, centré à l’origine du repère cartésien. Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 d’un point du cercle trigonométrique donné par un angle 𝜃 sont définies par 𝑥 est égal à cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à sinus 𝜃. Le rapport de la tangente peut également être défini pour les points sur le cercle trigonométrique 𝑥, 𝑦, où 𝑥 est différent de zéro, de sorte que tangente 𝜃 est égale à 𝑦 sur 𝑥. Les fonctions trigonométriques inverses sont définies comme suit. Cosécante 𝜃 est égale à un sur 𝑦, sécante 𝜃 est égale à un sur 𝑥, et cotangente 𝜃 est égale à 𝑥 sur 𝑦.