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Si la pente de la droite trois 𝑎 plus sept le tout multiplié par 𝑥 plus quatre 𝑎𝑦 plus quatre égale à zéro, est égal à moins un, trouvez la valeur de 𝑎.
Dans cette question, on nous donne l’équation d’une droite, et on nous dit que la pente de cette droite est égale à moins un. Nous devons utiliser cette information pour déterminer la valeur de 𝑎. Pour répondre à cette question, nous devons remarquer certaines choses : d’abord, la forme dans laquelle nous avons l’équation de notre droite. Cela s’appelle la forme générale de l’équation d’une droite, et il n’est pas facile de trouver la pente à partir de cette forme.
Cependant, nous connaissons une forme où il est facile de trouver la pente de notre droite. Nous savons que la forme impliquant l’ordonnée à l’origine d’une droite est l’équation 𝑦 égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente de notre droite et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine de notre droite. Si nous pouvons réorganiser l’équation de la droite qui nous est donnée sous cette forme, alors nous savons que le coefficient de 𝑥 doit être la pente. Il doit être égal à moins un. Et en fait, nous pouvons presque toujours faire cela. La seule fois où cela sera compliqué, c’est si nous avons affaire à une droite verticale, car lorsque nous avons affaire à une droite verticale, nous n’aurons pas de valeur pour la pente.
Cependant, dans ce cas, nous savons que la pente est égale à moins un, donc nous ne devons pas nous inquiéter de ce cas. Cela signifie que nous savons que nous pouvons trouver l’équation sous cette forme. Pour ce faire, nous voulons que 𝑦 soit isolé au côté gauche de notre équation. Commençons donc par soustraire les deux termes qui n’impliquent pas 𝑦. Donc, nous soustrayons trois 𝑎 plus sept fois 𝑥 des deux côtés de notre équation, et nous soustrayons quatre des deux côtés de notre équation. Cela nous donne l’équation quatre 𝑎𝑦 est égal à moins un fois trois 𝑎 plus sept multiplié par 𝑥 moins quatre.
Ensuite, dans notre forme de calcul de la pente, le coefficient de 𝑦 doit être un. Nous allons donc devoir diviser les deux côtés de notre équation par quatre 𝑎. Et il convient de rappeler ici que nous savons que la valeur de 𝑎 n’est pas égale à zéro car si notre valeur de 𝑎 était égale à zéro, nous perdrions le terme 𝑦 dans notre équation générale pour la droite. Ensuite, si nous résolvions cette équation, nous obtiendrions une solution pour 𝑥 et nous pourrions avoir n’importe quelle valeur pour 𝑦. En d’autres termes, nous obtenons une droite verticale. Mais nous savons que nous n’avons pas de droite verticale parce que nous savons que la pente est égale à moins un. Nous divisons donc les deux côtés de nos équations par quatre 𝑎. Nous obtenons 𝑦 est égal à moins un fois trois 𝑎 plus sept multiplié par 𝑥 moins quatre tous divisés par quatre 𝑎.
Mais nous voulons écrire cela sous une forme plus classique. Nous allons donc séparer ces deux termes de notre numérateur. Cela nous donne que 𝑦 est égal à moins un fois trois 𝑎 plus sept sur quatre 𝑎 le tout multiplié par 𝑥 moins quatre divisé par quatre 𝑎. Et nous pouvons simplifier cela bien que ce ne soit pas nécessaire ; dans notre deuxième terme, quatre divisé par quatre est égal à un. Rappelez-vous, dans la forme classique d’une droite, le coefficient de 𝑥 est la pente de notre droite, et on nous dit dans la question que c’est égale à moins un. Par conséquent, nous pouvons obtenir une équation pour 𝑎 si nous définissons simplement le coefficient de 𝑥 égal à moins un ; nous obtenons l’équation moins un est égal à moins un fois trois 𝑎 plus sept le tout divisé par quatre 𝑎.
Maintenant, tout ce que nous devons faire est de résoudre cette équation pour 𝑎. Nous allons commencer par la multiplication par quatre 𝑎. Nous obtenons moins quatre 𝑎 est égal à moins un fois trois 𝑎 plus sept. Ensuite, nous allons développer les parenthèses. Cela nous donne moins quatre 𝑎 est égal à moins trois 𝑎 moins sept. Ensuite, nous allons ajouter trois 𝑎 aux deux côtés de notre équation. Cela nous donne moins quatre 𝑎 plus trois 𝑎 est égal à moins sept. Nous savons que moins quatre plus trois est égal à moins un. Donc, cette équation se simplifie pour nous donner que moins 𝑎 est égal à moins sept et que nous pouvons trouver notre valeur de 𝑎 en multipliant par moins un. Nous obtenons que 𝑎 est égal à sept, ce qui est notre réponse finale.
Par conséquent, étant donné que la pente de la droite trois 𝑎 plus sept le tout multiplié par 𝑥 plus quatre 𝑎𝑦 plus quatre égale à zéro était égale à moins un, alors, en écrivant cette équation sous la forme pente-ordonnée à l’origine, nous avons pu montrer que la valeur de 𝑎 devait être égale à sept.
