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Fiche explicative de la leçon : Équation d’une droite : forme cartésienne Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer et formuler l’équation cartésienne d’une droite.

On rappelle que la droite de coefficient directeur 𝑚 et d’ordonnée 𝑦 à l’origine 𝑏 est décrite par l’équation 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.

Il s’agit de la forme réduite de l’équation d’une droite. Il existe plusieurs façons de décrire une droite. Par exemple, l’équation d’une droite de coefficient directeur 𝑚 passant par le point (𝑥;𝑦) s’écrit sous la forme point-pente𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥).

Toutes les différentes façons de représenter une droite sous forme d’équation ont un point commun. Un point (𝑥;𝑦) se situe sur la droite si, et seulement si, l’équation de la droite est vérifiée lorsque 𝑥=𝑥 et 𝑦=𝑦. Dans cette fiche explicative, nous allons introduire la forme cartésienne d’une droite.

Définition : Forme cartésienne de l’équation d’une droite

La forme cartésienne de l’équation d’une droite est donnée par 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles.

On remarque que toutes les droites peuvent être écrites sous la forme cartésienne, alors que certaines équations de droites ne peuvent pas être écrites sous la forme point-pente ou la forme réduite. Par exemple, la droite d’équation 𝑥=1 n’a pas d’équation réduite car le coefficient directeur de cette droite n’est pas défini. Néanmoins, l’équation 𝑥=1 peut être écrite sous forme cartésienne:𝑥1=0.

L’équation cartésienne d’une droite ne montre pas directement le coefficient directeur de la droite. Pour obtenir le coefficient directeur d’une droite à partir de sa forme cartésienne, il est pratique d’utiliser l’équation réduite:𝑦=𝑚𝑥+𝑏𝑚 représente le coefficient directeur de la droite. On peut convertir une équation cartésienne en une équation réduite en écrivant l’équation selon la variable 𝑦.

Pour l’équation 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 avec 𝑏0, on soustrait 𝑎𝑥 et 𝑐 aux deux membres pour obtenir 𝑏𝑦=𝑎𝑥𝑐.

Diviser ensuite les deux membres de l’équation par 𝑏 conduit à la forme réduite 𝑦=𝑎𝑏𝑥𝑐𝑏.

Ainsi, une droite représentée par l’équation cartésienne 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, si 𝑏0, a un coefficient directeur de 𝑎𝑏 et une ordonnée 𝑦 à l’origine de 𝑐𝑏.

Considérons un exemple où nous déduisons le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation cartésienne.

Exemple 1: Déterminer le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation cartésienne

Une droite est d’équation 15𝑥+3𝑦12=0. Quel est le coefficient directeur de la droite?

Réponse

L’équation de la droite est donnée sous forme cartésienne:15𝑥+3𝑦12=0.

Pour obtenir le coefficient directeur de la droite, il faut convertir l’équation ci-dessus sous la forme réduite 𝑦=𝑚𝑥+𝑏,𝑚 est le coefficient directeur de la droite et 𝑏 est l’ordonnée 𝑦 à l’origine. À partir de la forme réduite, on peut identifier le coefficient directeur, qui est donné par 𝑚.

Pour convertir l’équation sous forme réduite, on doit isoler 𝑦. On réalise cela par étapes. On ajoute d’abord 15𝑥 et 12 aux deux membres de l’équation pour obtenir 15𝑥+3𝑦12+15𝑥+12=0+15𝑥+12, ce qui conduit à 3𝑦=15𝑥+12.

Ensuite, on divise les deux membres par 3 pour obtenir 𝑦=5𝑥+4.

On obtient ainsi l’équation réduite 𝑦=5𝑥+4. Elle indique que le coefficient directeur de la droite est 5.

La droite d’équation 15𝑥+3𝑦12=0 a un coefficient directeur de 5.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine d’une droite à partir de son équation cartésienne.

Exemple 2: Déterminer l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses et l’ordonnée à l’origine d’une droite

Quelles sont l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite 3𝑥+2𝑦12=0?

Réponse

On étudie d’abord l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la droite. L’équation de la droite est donnée sous forme cartésienne:3𝑥+2𝑦12=0.

On rappelle que le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 d’une droite a des coordonnées de la forme (;0). L’abscisse du point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la droite doit donc satisfaire à l’équation ci-dessus avec 𝑦=0. En remplaçant par 𝑦=0 dans l’équation, on obtient 3𝑥+2012=03𝑥12=0.

On résout ensuite en 𝑥:3𝑥=12𝑥=4.

On étudie ensuite l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite. On rappelle que le point de l’ordonnée 𝑦 à l’origine a des coordonnées de la forme (0;), donc l’ordonnée 𝑦 à l’origine doit satisfaire l’équation 3𝑥+2𝑦12=0 avec 𝑥=0. Remplacer par 𝑥=0 dans l’équation donne 30+2𝑦12=02𝑦12=0.

On détermine ensuite 𝑦:2𝑦=12𝑦=6.

La droite donnée par l’équation 3𝑥+2𝑦12=0 coupe l’axe des 𝑥 au point d’abscisse 4 et a une ordonnée 𝑦 à l’origine de 6.

On note que le membre droit de l’équation cartésienne d’une droite est égal à zéro. Si on multiple les deux membres de l’équation cartésienne par une constante non nulle, on obtient toujours une équation cartésienne. Par exemple, si une droite donnée est d’équation cartésienne 2𝑥𝑦+3=0, on peut alors multiplier les deux membres par 2 pour obtenir 4𝑥2𝑦+6=0.

Donc, 4𝑥2𝑦+6 est une autre équation cartésienne de la même droite. Cette propriété est utile pour simplifier une équation avec des coefficients rationnels. Soit l’équation cartésienne d’une droite:34𝑥+𝑦5=0.

On peut multiplier les deux membres par 4 pour annuler le dénominateur 4:34𝑥×4+𝑦×45×4=0×43𝑥+4𝑦20=0.

L’équation cartésienne de la même droite est plus simplement formulée par 3𝑥+4𝑦20=0.

La forme cartésienne de l’équation d’une droite 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 est étroitement liée à sa forme standard:𝐴𝑥+𝐵𝑦=𝐶,𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des entiers et 𝐴 est positif. On peut convertir la forme standard en forme cartésienne en soustrayant la constante 𝐶 aux deux membres de l’équation.

Considérons différents exemples où nous déduisons l’équation cartésienne d’une droite. Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée 𝑦 à l’origine.

Exemple 3: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée à l’origine

Formulez l’équation de la droite de coefficient directeur 32 et d’ordonnée 𝑦 à l’origine (0;3) sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0.

Réponse

On connaît le coefficient directeur 32 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine (0;3) de la droite. On rappelle que l’équation réduite de cette droite est 𝑦=32𝑥+3.

On doit convertir cette équation sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, connue sous le nom d’équation cartésienne de la droite. On simplifie l’écriture des coefficients en multipliant les deux membres de l’équation par 2 pour obtenir 2𝑦=3𝑥+6.

On peut soustraire 2𝑦 aux deux membres de l’équation pour obtenir 0=3𝑥+62𝑦.

On peut ensuite reformuler l’équation sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0:3𝑥2𝑦+6=0.

Par conséquent, l’équation cartésienne de la droite de coefficient directeur 32 et d’ordonnée 𝑦 à l’origine (0;3) est 3𝑥2𝑦+6=0.

Quand on connaît deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) sur la droite, on rappelle que le coefficient directeur de la droite 𝑚 est donné par 𝑚==𝑦𝑦𝑥𝑥.VariationdelordonnéeVariationdelabscisse

Puis, en utilisant l’un des points (𝑥;𝑦), on peut écrire l’équation de la droite sous la forme point-pente:𝑦𝑦=𝑚(𝑥𝑥).

On peut utiliser l’un des points (𝑥;𝑦) ou (𝑥;𝑦) pour obtenir l’équation sous la forme point-pente. Bien que les équations résultantes soient différentes selon le point choisi, ce sont deux représentations équivalentes de la droite. Souvent, mais pas toujours, chaque choix conduira à la même expression lorsqu’elle est convertie sous forme cartésienne.

Dans l’exemple suivant, nous allons déduire l’équation cartésienne d’une droite à partir des coordonnées de deux points situés sur la droite.

Exemple 4: Déterminer l’équation d’une droite passant par deux points en donnant la réponse sous une forme spécifiée

Déterminez l’équation de la droite qui passe par les points 𝐴(10;2) et 𝐵(0;5), en donnant la réponse sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0.

  1. 3𝑥+10𝑦50=0
  2. 3𝑥+10𝑦50=0
  3. 10𝑥+3𝑦15=0
  4. 10𝑥+3𝑦15=0
  5. 10𝑥+3𝑦50=0

Réponse

On rappelle que le coefficient directeur de la droite 𝑚 passant par les points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) peut être calculé par 𝑚==𝑦𝑦𝑥𝑥.VariationdelordonnéeVariationdelabscisse

On sait que la droite passe par les points 𝐴(10;2) et 𝐵(0;5). En définissant 𝐴(10;2) comme (𝑥;𝑦) et 𝐵(0;5) comme (𝑥;𝑦), on obtient 𝑚=520(10)=310.

Le coefficient directeur de la droite est donc 310.

Pour formuler l’équation de cette droite, on a également besoin d’un point sur la droite. On connaît deux points au choix et les deux choix sont valides. Pour ce problème, on remarque que l’un des points, 𝐵(0;5), est en fait l’ordonnée 𝑦 à l’origine. Ainsi, choisir 𝐵 conduirait à la forme réduite de l’équation, alors que 𝐴 conduirait à une forme point-pente de l’équation. On va présenter les deux choix et on achèvera les deux méthodes en convertissant les équations résultantes sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0.

Méthode 1

On note que le point 𝐵(0;5) est sur l’axe des ordonnées 𝑦, c’est donc l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite. Comme on connaît le coefficient directeur de la droite, 𝑚=310, on peut écrire l’équation réduite de la droite:𝑦=310𝑥+5.

On doit convertir cette équation sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0. Multiplier les deux membres de l’équation par 10 donne 10𝑦=3𝑥+50.

En soustrayant 10𝑦 aux deux membres de l’équation, on obtient 0=3𝑥+5010𝑦.

Enfin, reformuler l’équation sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 donne 3𝑥10𝑦+50=0.

Afin de correspondre à l’une des options fournies, on multiplie les deux membres de cette équation par 1:3𝑥+10𝑦50=0.

Méthode 2

On utilise le point 𝐴(10;2) et le coefficient directeur 310 obtenu ci-dessus pour écrire l’équation de la droite sous la forme point-pente:𝑦2=310(𝑥+10).

En multipliant les deux membres par 10 et en développant les parenthèses, on obtient 10𝑦20=3𝑥+30.

Soustraire 3𝑥 et 30 aux deux membres de l’équation donne 3𝑥+10𝑦50=0.

On remarque que cette équation correspond à l’une des options fournies.

Ainsi, l’équation de la droite est celle donnée en option B.

Connaissant le point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (𝐴;0), et le point de l’ordonnée 𝑦 à l’origine, (0;𝐵), d’une droite où 𝐴 et 𝐵 sont non nuls, on peut écrire l’équation de la droite sous une forme faisant intervenir directement les intersections:𝑥𝐴+𝑦𝐵=1.

On remarque que le point d’intersection avec l’axe des 𝑥, (𝐴;0), se trouve sur la droite puisque quand 𝑥=𝐴 et 𝑦=0, cela donne 𝐴𝐴+0𝐵=1.

De même, on peut vérifier pour le point de l’ordonnée 𝑦 à l’origine, (0;𝐵), en remplaçant par 𝑥=0 et 𝑦=𝐵, ce qui donne 0𝐴+𝐵𝐵=1.

Cette forme est assez pratique car il n’est pas nécessaire de calculer le coefficient directeur de la droite pour la représenter et la droite est facile à dessiner car on peut marquer les deux points d’intersection avec les axes du repère et les relier par une droite comme illustré ci-dessous.

Puisque les deux termes du membre de gauche de l’équation sous la forme faisant intervenir les intersections sont des quotients, on commence le processus de conversion à la forme cartésienne en multipliant les deux membres de l’équation par le dénominateur commun.

Dans l’exemple suivant, nous allons déduire l’équation cartésienne d’une droite lorsque les deux points d’intersections avec les axes du repère sont connus.

Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite

Déterminez l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en 4 et l’axe des 𝑦 en 7.

Réponse

Puisque la droite coupe l’axe des 𝑥 en 4 et l’axe des 𝑦 en 7, l’abscisse de l’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite sont respectivement 4 et 7. On formule l’équation cartésienne:𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0. On présente deux façons différentes d’aborder ce problème. Dans la première méthode, on utilise les intersections avec les axes du repère pour écrire l’équation de la droite sous la forme faisant intervenir les intersections. Dans la deuxième méthode, on utilise les intersections avec les axes du repère pour déterminer le coefficient directeur de la droite, qui est utilisé pour écrire l’équation réduite de la droite.

Méthode 1

Comme l’abscisse de l’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite sont 4 et 7, on peut écrire l’équation de la droite sous la forme faisant intervenir les intersections:𝑥4+𝑦7=1.

Multiplier les deux membres de l’équation par le dénominateur commun 28 donne 7𝑥+4𝑦=28.

En soustrayant 28 aux deux membres de l’équation, on obtient la forme cartésienne 7𝑥+4𝑦28=0.

Méthode 2

Puisque l’abscisse de l’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine de la droite sont 4 et 7, on sait que la droite passe par les deux points (4;0) et (0;7). On rappelle que le coefficient directeur de la droite est donné par 𝑚==7004=74.VariationdelordonnéeVariationdelabscisse

Ainsi, le coefficient directeur de la droite est 74. On sait aussi que l’ordonnée 𝑦 à l’origine vaut 7. On peut ensuite écrire l’équation réduite de la droite:𝑦=74𝑥+7.

On peut simplifier l’écriture de cette équation en multipliant les deux membres par 4. Donc 4𝑦=7𝑥+28.

Reformuler l’équation donne 7𝑥+4𝑦28=0.

Ainsi, l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en 4 et l’axe des 𝑦 en 7 est 7𝑥+4𝑦28=0.

Points clés

  • L’équation cartésienne d’une droite est 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes.
  • Toutes les droites peuvent être représentées par une équation cartésienne.
  • Une droite représentée par une équation cartésienne 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐, avec 𝑏0, a un coefficient directeur de 𝑎𝑏 et une ordonnée 𝑦 à l’origine de 𝑐𝑏. L’équation réduite de cette droite est 𝑦=𝑎𝑏𝑥𝑐𝑏.
  • Une droite représentée par l’abscisse de l’intersection avec l’axe des 𝑥 et l’ordonnée 𝑦 à l’origine sous la forme 𝑥𝐴+𝑦𝐵=1 peut être représentée sous forme cartésienne en multipliant l’équation entière par le dénominateur commun (𝐴𝐵) et en réarrangeant les termes:𝐵𝑥+𝐴𝑦𝐴𝐵=0.

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