Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer et formuler l’équation cartésienne d’une droite.
On rappelle que la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine est décrite par l’équation
Il s’agit de la forme réduite de l’équation d’une droite. Il existe plusieurs façons de décrire une droite. Par exemple, l’équation d’une droite de coefficient directeur passant par le point s’écrit sous la forme point-pente
Toutes les différentes façons de représenter une droite sous forme d’équation ont un point commun. Un point se situe sur la droite si, et seulement si, l’équation de la droite est vérifiée lorsque et . Dans cette fiche explicative, nous allons introduire la forme cartésienne d’une droite.
Définition : Forme cartésienne de l’équation d’une droite
La forme cartésienne de l’équation d’une droite est donnée par où , et sont des constantes réelles.
On remarque que toutes les droites peuvent être écrites sous la forme cartésienne, alors que certaines équations de droites ne peuvent pas être écrites sous la forme point-pente ou la forme réduite. Par exemple, la droite d’équation n’a pas d’équation réduite car le coefficient directeur de cette droite n’est pas défini. Néanmoins, l’équation peut être écrite sous forme cartésienne : .
L’équation cartésienne d’une droite ne montre pas directement le coefficient directeur de la droite. Pour obtenir le coefficient directeur d’une droite à partir de sa forme cartésienne, il est pratique d’utiliser l’équation réduite : où représente le coefficient directeur de la droite. On peut convertir une équation cartésienne en une équation réduite en écrivant l’équation selon la variable .
Pour l’équation avec , on soustrait et aux deux membres pour obtenir
Diviser ensuite les deux membres de l’équation par conduit à la forme réduite
Ainsi, une droite représentée par l’équation cartésienne , si , a un coefficient directeur de et une ordonnée à l’origine de .
Considérons un exemple où nous déduisons le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation cartésienne.
Exemple 1: Déterminer le coefficient directeur d’une droite à partir de son équation cartésienne
Une droite est d’équation . Quel est le coefficient directeur de la droite ?
Réponse
L’équation de la droite est donnée sous forme cartésienne :
Pour obtenir le coefficient directeur de la droite, il faut convertir l’équation ci-dessus sous la forme réduite où est le coefficient directeur de la droite et est l’ordonnée à l’origine. À partir de la forme réduite, on peut identifier le coefficient directeur, qui est donné par .
Pour convertir l’équation sous forme réduite, on doit isoler . On réalise cela par étapes. On ajoute d’abord et 12 aux deux membres de l’équation pour obtenir ce qui conduit à
Ensuite, on divise les deux membres par 3 pour obtenir
On obtient ainsi l’équation réduite . Elle indique que le coefficient directeur de la droite est 5.
La droite d’équation a un coefficient directeur de 5.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine d’une droite à partir de son équation cartésienne.
Exemple 2: Déterminer l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses et l’ordonnée à l’origine d’une droite
Quelles sont l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite ?
Réponse
On étudie d’abord l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des de la droite. L’équation de la droite est donnée sous forme cartésienne :
On rappelle que le point d’intersection avec l’axe des d’une droite a des coordonnées de la forme . L’abscisse du point d’intersection avec l’axe des de la droite doit donc satisfaire à l’équation ci-dessus avec . En remplaçant par dans l’équation, on obtient
On résout ensuite en :
On étudie ensuite l’ordonnée à l’origine de la droite. On rappelle que le point de l’ordonnée à l’origine a des coordonnées de la forme , donc l’ordonnée à l’origine doit satisfaire l’équation avec . Remplacer par dans l’équation donne
On détermine ensuite :
La droite donnée par l’équation coupe l’axe des au point d’abscisse 4 et a une ordonnée à l’origine de 6.
On note que le membre droit de l’équation cartésienne d’une droite est égal à zéro. Si on multiple les deux membres de l’équation cartésienne par une constante non nulle, on obtient toujours une équation cartésienne. Par exemple, si une droite donnée est d’équation cartésienne , on peut alors multiplier les deux membres par 2 pour obtenir
Donc, est une autre équation cartésienne de la même droite. Cette propriété est utile pour simplifier une équation avec des coefficients rationnels. Soit l’équation cartésienne d’une droite :
On peut multiplier les deux membres par 4 pour annuler le dénominateur 4 :
L’équation cartésienne de la même droite est plus simplement formulée par .
La forme cartésienne de l’équation d’une droite est étroitement liée à sa forme standard : où , et sont des entiers et est positif. On peut convertir la forme standard en forme cartésienne en soustrayant la constante aux deux membres de l’équation.
Considérons différents exemples où nous déduisons l’équation cartésienne d’une droite. Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée à l’origine.
Exemple 3: Déterminer l’équation cartésienne d’une droite à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée à l’origine
Formulez l’équation de la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine sous la forme .
Réponse
On connaît le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite. On rappelle que l’équation réduite de cette droite est
On doit convertir cette équation sous la forme , connue sous le nom d’équation cartésienne de la droite. On simplifie l’écriture des coefficients en multipliant les deux membres de l’équation par 2 pour obtenir
On peut soustraire aux deux membres de l’équation pour obtenir
On peut ensuite reformuler l’équation sous la forme :
Par conséquent, l’équation cartésienne de la droite de coefficient directeur et d’ordonnée à l’origine est .
Quand on connaît deux points et sur la droite, on rappelle que le coefficient directeur de la droite est donné par
Puis, en utilisant l’un des points , on peut écrire l’équation de la droite sous la forme point-pente :
On peut utiliser l’un des points ou pour obtenir l’équation sous la forme point-pente. Bien que les équations résultantes soient différentes selon le point choisi, ce sont deux représentations équivalentes de la droite. Souvent, mais pas toujours, chaque choix conduira à la même expression lorsqu’elle est convertie sous forme cartésienne.
Dans l’exemple suivant, nous allons déduire l’équation cartésienne d’une droite à partir des coordonnées de deux points situés sur la droite.
Exemple 4: Déterminer l’équation d’une droite passant par deux points en donnant la réponse sous une forme spécifiée
Déterminez l’équation de la droite qui passe par les points et , en donnant la réponse sous la forme .
Réponse
On rappelle que le coefficient directeur de la droite passant par les points et peut être calculé par
On sait que la droite passe par les points et . En définissant comme et comme , on obtient
Le coefficient directeur de la droite est donc .
Pour formuler l’équation de cette droite, on a également besoin d’un point sur la droite. On connaît deux points au choix et les deux choix sont valides. Pour ce problème, on remarque que l’un des points, , est en fait l’ordonnée à l’origine. Ainsi, choisir conduirait à la forme réduite de l’équation, alors que conduirait à une forme point-pente de l’équation. On va présenter les deux choix et on achèvera les deux méthodes en convertissant les équations résultantes sous la forme .
Méthode 1
On note que le point est sur l’axe des ordonnées , c’est donc l’ordonnée à l’origine de la droite. Comme on connaît le coefficient directeur de la droite, , on peut écrire l’équation réduite de la droite :
On doit convertir cette équation sous la forme . Multiplier les deux membres de l’équation par 10 donne
En soustrayant aux deux membres de l’équation, on obtient
Enfin, reformuler l’équation sous la forme donne
Afin de correspondre à l’une des options fournies, on multiplie les deux membres de cette équation par :
Méthode 2
On utilise le point et le coefficient directeur obtenu ci-dessus pour écrire l’équation de la droite sous la forme point-pente :
En multipliant les deux membres par 10 et en développant les parenthèses, on obtient
Soustraire et 30 aux deux membres de l’équation donne
On remarque que cette équation correspond à l’une des options fournies.
Ainsi, l’équation de la droite est celle donnée en option B.
Connaissant le point d’intersection avec l’axe des , , et le point de l’ordonnée à l’origine, , d’une droite où et sont non nuls, on peut écrire l’équation de la droite sous une forme faisant intervenir directement les intersections :
On remarque que le point d’intersection avec l’axe des , , se trouve sur la droite puisque quand et , cela donne
De même, on peut vérifier pour le point de l’ordonnée à l’origine, , en remplaçant par et , ce qui donne
Cette forme est assez pratique car il n’est pas nécessaire de calculer le coefficient directeur de la droite pour la représenter et la droite est facile à dessiner car on peut marquer les deux points d’intersection avec les axes du repère et les relier par une droite comme illustré ci-dessous.
Puisque les deux termes du membre de gauche de l’équation sous la forme faisant intervenir les intersections sont des quotients, on commence le processus de conversion à la forme cartésienne en multipliant les deux membres de l’équation par le dénominateur commun.
Dans l’exemple suivant, nous allons déduire l’équation cartésienne d’une droite lorsque les deux points d’intersections avec les axes du repère sont connus.
Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite
Déterminez l’équation de la droite qui coupe l’axe des en 4 et l’axe des en 7.
Réponse
Puisque la droite coupe l’axe des en 4 et l’axe des en 7, l’abscisse de l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite sont respectivement 4 et 7. On formule l’équation cartésienne : . On présente deux façons différentes d’aborder ce problème. Dans la première méthode, on utilise les intersections avec les axes du repère pour écrire l’équation de la droite sous la forme faisant intervenir les intersections. Dans la deuxième méthode, on utilise les intersections avec les axes du repère pour déterminer le coefficient directeur de la droite, qui est utilisé pour écrire l’équation réduite de la droite.
Méthode 1
Comme l’abscisse de l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite sont 4 et 7, on peut écrire l’équation de la droite sous la forme faisant intervenir les intersections :
Multiplier les deux membres de l’équation par le dénominateur commun 28 donne
En soustrayant 28 aux deux membres de l’équation, on obtient la forme cartésienne
Méthode 2
Puisque l’abscisse de l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine de la droite sont 4 et 7, on sait que la droite passe par les deux points et . On rappelle que le coefficient directeur de la droite est donné par
Ainsi, le coefficient directeur de la droite est . On sait aussi que l’ordonnée à l’origine vaut 7. On peut ensuite écrire l’équation réduite de la droite :
On peut simplifier l’écriture de cette équation en multipliant les deux membres par 4. Donc
Reformuler l’équation donne
Ainsi, l’équation de la droite qui coupe l’axe des en 4 et l’axe des en 7 est
Points clés
- L’équation cartésienne d’une droite est où , et sont des constantes.
- Toutes les droites peuvent être représentées par une équation cartésienne.
- Une droite représentée par une équation cartésienne , avec , a un coefficient directeur de et une ordonnée à l’origine de . L’équation réduite de cette droite est
- Une droite représentée par l’abscisse de l’intersection avec l’axe des et l’ordonnée à l’origine sous la forme peut être représentée sous forme cartésienne en multipliant l’équation entière par le dénominateur commun et en réarrangeant les termes :
