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Vidéo de la leçon : Équation d’une droite : forme cartésienne Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer et écrire l’équation cartésienne d’une droite.

18:25

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer et écrire l’équation cartésienne d’une droite.

Il existe de nombreuses formes sous lesquelles l’équation d’une droite peut être écrite, et nous en connaissons peut-être déjà certaines. Par exemple, il y a la forme réduite, 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 représente le coefficient directeur de la droite et 𝑏 représente son ordonnée à l’origine. Une autre forme sous laquelle nous pouvons donner l’équation d’une droite est la forme point-pente, 𝑦 moins 𝑦 un est égal à 𝑚 multiplié par 𝑥 moins 𝑥 un, où 𝑚 représente le coefficient directeur de la droite comme avant et 𝑥 un, 𝑦 un représente les coordonnées de tout point situé sur la droite.

Ces deux formes de l’équation d’une droite sont utiles dans des contextes différents. Par exemple, à partir de la forme réduite, nous pouvons identifier en un coup d’œil le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite. Mais ces formes ont aussi leurs limites principalement parce qu’il n’est pas possible d’écrire l’équation de chaque droite sous l’une ou l’autre de ces formes, en particulier, les droites verticales d’équations de la forme 𝑥 égal 𝑘 pour une valeur constante de 𝑘. Cela peut être réarrangé à 𝑥 moins 𝑘 est égal à zéro. Mais il n’est pas possible de réorganiser cette équation sous l’une des deux formes dont nous avons déjà parlé car elle n’a pas de terme 𝑦, ou au moins le coefficient de 𝑦 est nul.

Nous allons donc introduire une troisième forme de l’équation d’une droite. Cela s’appelle la forme cartésienne car l’équation de chaque droite peut être écrite sous cette forme. La forme cartésienne de l’équation d’une droite est alors 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles qui peuvent être égales à zéro. Nous notons que les trois termes sont du même membre de l’équation, et que le membre droit est égal à zéro.

Il n’est pas nécessaire que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 soient des entiers, mais généralement lorsque nous donnons nos réponses, nous nous assurons qu’elles le sont. Dans le cas des droites verticales, ce qui nous préoccupait plus tôt, leurs équations peuvent être réarrangées à 𝑥 moins 𝑘 égal à zéro. Et cela est sous la forme générale avec 𝑎, le coefficient de 𝑥, égal à un, 𝑏, le coefficient de 𝑦, égal à zéro, et 𝑐, le terme constant, égal à moins 𝑘.

De la même manière, les équations des droites horizontales que nous pouvons écrire comme 𝑦 égale une constante 𝑘 deux peuvent être réarrangées en 𝑦 moins 𝑘 deux est égal à zéro. Et cela est également sous la forme cartésienne, cette fois avec 𝑎 égal à zéro, 𝑏 égal à un et 𝑐 égal à moins 𝑘 deux. L’équation de n’importe quelle droite diagonale peut également être écrite sous cette forme. Et nous verrons des exemples de cela au cours de la vidéo. Maintenant cette forme, l’équation cartésienne d’une droite, est étroitement liée à la forme standard de l’équation d’une droite. C’est 𝐴𝑥 plus 𝐵𝑦 est égal à 𝐶, où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont des entiers et 𝐶 est positif. Nous devons nous assurer que nous sommes clairs sur la distinction entre les deux, qui est principalement dans la position du terme constant.

Un inconvénient de la forme cartésienne de l’équation d’une droite est que nous ne pouvons pas identifier directement le coefficient directeur d’une droite donnée sous cette forme à partir de son équation. Afin de trouver le coefficient directeur, nous devons réorganiser l’équation sous la forme réduite puis lire le coefficient de 𝑥. Nous allons montrer comment faire cela dans notre premier exemple.

Une ligne droite a l’équation moins 15𝑥 plus trois 𝑦 moins 12 égale zéro. Quelle est le coefficient directeur de cette droite ?

L’équation de cette droite a été donnée sous la forme cartésienne. C’est-à-dire 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro avec 𝑎 égal à moins 15, 𝑏 égal à plus trois, et 𝑐 égal à moins 12. Pour déterminer le coefficient directeur de cette droite, nous pouvons réorganiser son équation sous la forme réduite. C’est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où la valeur de 𝑚, le coefficient de 𝑥, est le coefficient directeur de la droite. Maintenant la valeur de 𝑏 dans cette équation donne l’ordonnée à l’origine. Et ce n’est pas nécessairement la même chose que la valeur de 𝑏 dans la forme cartésienne, mais ce sont les lettres généralement utilisées, nous allons donc les conserver.

Nous allons donc prendre l’équation qui nous a été donnée, et nous allons la réorganiser pour faire 𝑦 le sujet. Premièrement, nous devons isoler le terme 𝑦, ce que nous pouvons faire en ajoutant 15𝑥 et 12 à chaque membre de l’équation. Cela donne trois 𝑦 égale 15𝑥 plus 12. Nous divisons ensuite l’équation entière par trois, ce qui donne 𝑦 est égal à cinq 𝑥 plus quatre. Cette équation est maintenant sous la forme réduite. Et nous pouvons identifier que le coefficient de 𝑥 est de cinq. Ainsi le coefficient directeur de la droite avec l’équation moins 15𝑥 plus trois 𝑦 moins 12 égale zéro est cinq.

Dans l’exemple que nous venons de considérer, nous avons trouvé le coefficient directeur d’une droite en réorganisant son équation de la forme cartésienne à la forme réduite. Nous avons constaté que le coefficient directeur de cette droite était de cinq, et cela venait de la simplification de la fraction 15 sur trois. Maintenant, cette valeur de 15 au numérateur est l’opposé du coefficient de 𝑥 sous la forme cartésienne, et la valeur de trois au dénominateur est le coefficient de 𝑦. Cela illustre un résultat général. Si nous devions réorganiser la forme cartésienne de l’équation d’une droite sous sa forme algébrique, nous obtiendrions 𝑦 est égal à moins 𝑎 sur 𝑏 𝑥 moins 𝑐 sur 𝑏. Le coefficient directeur de cette droite sera donné par le coefficient de 𝑥, qui est moins 𝑎 sur 𝑏, et nous pouvons donc énoncer un résultat général.

Le coefficient directeur de la droite 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égale à zéro, où 𝑏 est différent de zéro, est moins 𝑎 sur 𝑏. Cela fournit un raccourci pour trouver le coefficient directeur d’une droite donnée dans la forme cartésienne. Nous pouvons également identifier que l’ordonnée à l’origine de cette droite est moins 𝑐 sur 𝑏, et encore 𝑏 doit être différent de zéro. Considérons maintenant un exemple dans lequel nous déterminerons les points d’intersections avec les axes des 𝑥 et 𝑦 respectivement d’une droite à partir de sa forme cartésienne.

Quelles sont les points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦 de la droite trois 𝑥 plus deux 𝑦 moins 12 égale zéro ?

Rappelons d’abord que les points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦 respectivement d’une droite sont les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en lesquelles la droite coupe cet axe. Le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 a une ordonnée 𝑦 de zéro, et le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 a une abscisse 𝑥 de zéro. Pour obtenir d’abord la valeur du point d’intersection avec l’axe des 𝑥, nous pouvons remplacer 𝑦 égal à zéro dans l’équation de la droite. Cela donne trois 𝑥 plus deux multiplié par zéro moins 12 est égal à zéro, ou simplement trois 𝑥 moins 12 est égal à zéro. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑥. Tout d’abord, nous ajoutons 12 à chaque membre, ce qui donne trois 𝑥 égale 12. Et puis nous divisons les deux membres de l’équation par trois, donnant 𝑥 est égal à quatre. Et donc le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de cette droite est quatre.

Pour trouver le point d’intersection avec l’axe des 𝑦, nous remplaçons 𝑥 égal à zéro dans l’équation de la droite. Et cela donne trois multiplié par zéro plus deux 𝑦 moins 12 est égal à zéro. C’est juste deux 𝑦 moins 12 est égal à zéro. Et puis nous résolvons pour 𝑦. Tout d’abord, nous ajoutons 12 à chaque membre de l’équation, puis nous divisons par deux, ce qui donne 𝑦 est égal à six. Et donc le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de cette droite est six. Nous pouvons alors dire que les points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦 de la droite trois 𝑥 plus deux 𝑦 moins 12 est égal à zéro sont respectivement quatre et six.

Nous avons maintenant vu comment trouver le coefficient directeur et les points d’intersection avec les axes 𝑥 et 𝑦 d’une droite à partir de son équation donnée dans la forme cartésienne. Voyons maintenant comment nous pouvons trouver l’équation d’une droite sous la forme cartésienne étant donné son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.

Écrivez l’équation de la droite avec le coefficient directeur trois sur deux et une ordonne à l’origine de zéro, trois sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro.

On nous donne à la fois le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de cette droite. Nous pouvons donc écrire son équation en rappelant d’abord la forme réduite de l’équation d’une droite. C’est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 représente le coefficient directeur de la droite et 𝑏 représente son ordonnée à l’origine. Le coefficient directeur de cette droite est de trois sur deux, et l’ordonnée de son point d’intersection avec l’axe des 𝑦 est de trois. Voilà donc la valeur de 𝑏. En remplaçant trois sur deux par 𝑚 et trois par 𝑏, nous avons 𝑦 égale trois sur deux 𝑥 plus trois.

Maintenant, c’est l’équation de la droite que nous recherchons, mais on nous a demandé de donner notre réponse sous une forme spécifique : 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro. C’est la forme cartésienne de l’équation d’une droite. Nous devons donc réorganiser l’équation que nous avons écrite. Nous notons d’abord que dans la forme cartésienne, les trois termes se situent au même membre de l’équation. Nous allons donc commencer par soustraire le terme 𝑦 dans notre équation des deux membres. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons zéro est égal à trois sur deux 𝑥 moins 𝑦 plus trois. Et nous pouvons, bien sûr, écrire les deux membres de l’équation dans l’autre sens.

Maintenant, bien que ce ne soit pas strictement nécessaire, il est habituel que les valeurs de 𝑎, 𝑏, et 𝑐 dans la forme cartésienne soient des entiers. Nous avons un coefficient de 𝑥 qui est une fraction. Ainsi, afin d’éliminer le dénominateur de deux, nous pouvons multiplier chaque terme de notre équation par deux. Cela donne trois 𝑥 moins deux 𝑦 plus six est égal à zéro. Ceci est maintenant sous la forme cartésienne avec 𝑎, le coefficient de 𝑥, égal à trois, 𝑏, le coefficient de 𝑦, égal à moins deux, et 𝑐, le terme constant, égal à plus six. Nous avons donc trouvé que l’équation de la droite avec un coefficient directeur de trois sur deux et une ordonnée à l’origine de zéro, trois dans la forme cartésienne est trois 𝑥 moins deux 𝑦 plus six égale zéro.

Considérons maintenant un exemple dans lequel nous trouvons l’équation d’une droite sous forme cartésienne, étant donné un ensemble différent d’informations. Cette fois, les informations données seront les coordonnées de deux points qui se trouvent sur la droite.

Trouvez l’équation de la droite qui passe par les points 𝐴 moins 10, deux et 𝐵 zéro, cinq, en donnant votre réponse sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

On nous donne les coordonnées de deux points qui se trouvent sur cette droite. La forme dans laquelle on nous demande de donner notre réponse est la forme cartésienne de l’équation d’une droite : 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles. Pour commencer, cependant, nous aborderons ce problème en utilisant la forme réduite de l’équation d’une droite. C’est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est le coefficient directeur de la droite et 𝑏 est son ordonnée à l’origine. Nous devons être conscients que cette valeur de 𝑏 n’est pas nécessairement la même que la valeur de 𝑏 dans la forme cartésienne, mais ce sont les lettres qui sont généralement utilisées pour les deux formes.

Maintenant, nous savons que cette droite passe par le point 𝐵, qui a les coordonnées zéro, cinq. C’est le point sur l’axe des 𝑦. Et donc l’ordonnée à l’origine de la droite est cinq. Cela signifie que la valeur de 𝑏 dans notre forme réduite est également de cinq. Et donc l’équation est maintenant de la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus cinq. Et nous devons calculer le coefficient directeur de la droite.

Pour ce faire, nous rappelons que le coefficient directeur d’une droite est sa variation de 𝑦 divisée par sa variation de 𝑥. Si nous avons deux points qui se trouvent sur une droite avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le coefficient directeur peut être calculé comme 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Nous pouvons considérer 𝐴 le point 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 le point 𝑥 deux, 𝑦 deux, puis remplacer les valeurs de ces coordonnées dans la formule du coefficient directeur. Cela donne cinq moins deux au numérateur et zéro moins moins 10 au dénominateur. Et nous devons être particulièrement prudents ici pour nous assurer d’inclure ces deux signes négatifs.

Cela simplifie à trois sur 10 parce que zéro moins moins 10 dans le dénominateur est zéro plus 10, ce qui est 10. En remplaçant 𝑚 est égal à trois dixièmes dans la forme réduite, nous avons 𝑦 est égal à trois dixièmes de 𝑥 plus cinq. Nous devons cependant réorganiser cette équation, afin qu’elle soit sous la forme cartésienne. Et pour ce faire, nous devons rassembler tous les termes du même membre de l’équation. En soustrayant trois dixièmes de 𝑥 et cinq de chaque membre, nous avons moins trois dixièmes de 𝑥 plus 𝑦 moins cinq égal à zéro.

Maintenant, il est également habituel que dans la forme cartésienne, les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 soient des entiers, nous allons donc multiplier toute l’équation par 10, ce qui donne moins trois 𝑥 plus 10𝑦 moins 50 est égal à zéro. Et cela est sous la forme cartésienne avec 𝑎 égal à moins trois, 𝑏 égal à 10 et 𝑐 égal à moins 50. Maintenant, nous aurions pu regrouper les termes de l’autre membre de l’équation si, après cette étape, nous avions soustrait 𝑦 de chaque membre, puis multiplié par 10. Cela aurait donné trois 𝑥 moins 10𝑦 plus 50 égal à zéro, ce qui est l’opposé exact de notre équation, et donc une réponse alternative aussi dans sa forme cartésienne. Notre réponse est moins trois 𝑥 plus 10𝑦 moins 50 est égal à zéro.

Dans notre dernier exemple, nous trouverons l’équation cartésienne d’une droite, cette fois étant donné ses points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦.

Déterminez l’équation de la droite qui coupe l’axe des 𝑥 en quatre et l’axe des 𝑦 en sept.

Bien que ce ne soit pas entièrement nécessaire, nous pouvons trouver utile d’esquisser cette droite. Elle coupe l’axe des 𝑥 en quatre, et elle coupe l’axe des 𝑦 en sept. Donc, cela ressemble à quelque chose comme ça. Nous pouvons voir que cette droite descend de gauche à droite, et donc elle a un coefficient directeur négatif. Cela nous donnera un moyen de vérifier si notre réponse, lorsque nous y parvenons, semble raisonnable. Pour répondre à cette question, nous commencerons par utiliser la forme réduite de l’équation d’une droite : 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est le coefficient de la droite et 𝑏 est son ordonnée à l’origine. Nous connaissons déjà la valeur de 𝑏 car elle a été donnée dans la question. On nous a dit que la droite coupe l’axe des 𝑦 en sept. Donc notre droite est 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus sept. Et nous devons calculer son coefficient directeur.

Le coefficient directeur d’une droite passant par les deux points avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. En utilisant alors les coordonnées des points d’intersection avec les axes des 𝑥 et 𝑦, qui sont quatre, zéro et zéro, sept, nous pouvons calculer le coefficient directeur de cette droite. C’est zéro moins sept sur quatre moins zéro, ce qui se simplifie en moins sept sur quatre. Il s’agit d’une valeur négative, nous pouvons donc être rassurés sur le fait que ce que nous avons fait jusqu’à présent est correct. L’équation de cette droite est donc 𝑦 égale moins sept sur quatre 𝑥 plus sept.

Nous pouvons maintenant laisser notre réponse sous cette forme, mais cela semble un peu hostile parce que nous avons un quotient. Nous pouvons trouver une forme équivalente à cette équation en la réarrangeant en forme cartésienne. Nous allons commencer par multiplier chaque terme de l’équation par quatre, ce qui donne quatre 𝑦 égale moins sept 𝑥 plus 28. Ensuite, nous allons regrouper tous les termes du même membre de l’équation, en choisissant le membre gauche afin que les coefficients de 𝑥 et 𝑦 soient positifs. Donc en ajoutant sept 𝑥 et en soustrayant 28 de chaque membre, nous avons sept 𝑥 plus quatre 𝑦 moins 28 est égal à zéro. C’est l’équation de cette droite sous sa forme cartésienne. C’est 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 est égal à zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. La forme cartésienne de l’équation d’une droite est 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes réelles, qui sont généralement des entiers. Cela s’appelle la forme cartésienne car chaque ligne droite, qu’elle soit diagonale, verticale ou horizontale, peut être représentée par une équation sous cette forme. Pourvu que 𝑏 soit différent de zéro, le coefficient directeur d’une droite donnée sous forme cartésienne est moins 𝑎 sur 𝑏, et l’ordonnée à l’origine est moins 𝑐 sur 𝑏. Nous avons également vu que nous pouvons trouver l’équation d’une droite sous la forme cartésienne à partir de différents ensembles d’informations sur la droite et que nous pouvons réorganiser l’équation d’une droite donnée sous toute autre forme à la forme cartésienne en utilisant la manipulation algébrique.

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