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Lequel des énoncés suivants est vrai pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins un, pour 𝑥 inférieur ou égal à zéro ?
Nous avons cinq options parmi lesquelles choisir ici. La première, l’option A est que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle zéro, plus ∞, où aucune des bornes n’est incluse dans l’intervalle ; c’est un intervalle ouvert. L’option B est que 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle zéro, plus ∞ et croissante sur l’intervalle moins ∞, zéro. L’option C est que 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle moins ∞, zéro. L’option D est que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle zéro, plus ∞ et décroissante sur l’intervalle moins ∞, zéro. Et enfin, l’option E est que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle moins ∞, zéro.
Toutes ces options ont quelque chose à voir avec le fait que la fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante ou décroissante, et cela suggère donc que nous devrions tracer sa représentation graphique. La fonction que nous avons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins un est une fonction du second degré de terme constant moins un. Et donc l’ordonnée à l’origine sur le graphique est égale à moins un. Quelle autre information est-il utile de connaitre pour dessiner précisément la courbe représentative de la fonction ? Eh bien, c’est une fonction du second degré. Alors trouvons ses racines.
Nous pouvons reconnaître 𝑥 au carré moins un comme la différence de deux carrés. Cela est égal à 𝑥 plus un fois 𝑥 moins un. Et donc ses racines sont moins un et un. Nous avons connaissons maintenant trois points de notre courbe, et nous pouvons lisser une courbe – une parabole – passant par ces points. Et nous remarquons qu’il s’agit d’une courbe de fonction convexe, ce qui est logique étant donné que le coefficient de 𝑥 au carré est un, qui est positif.
Bien, alors sommes-nous prêts à passer en revue les options une par une ? Eh bien, pas tout à fait ; il y a aussi cette information ici. Cela dit « pour 𝑥 inférieur ou égal à zéro », ce qui détermine le domaine de définition de notre fonction. Nous devons donc nous débarrasser de la partie de la courbe qui se trouve à droite de l’axe des ordonnées.
Bien, maintenant nous sommes prêts. Passons en revue les options une par une. Est-ce que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle zéro, plus ∞ ? Eh bien, que ce soit en regardant la courbe ou la définition de la fonction, dans la question, nous voyons que la fonction 𝑓 de 𝑥 n’est même pas définie sur cet intervalle. Donc elle ne peut pas y être croissante. Donc ce n’est pas la bonne réponse.
Pour une raison similaire, nous pouvons exclure l’option B qui dit que 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle zéro, plus ∞. Puisqu’en fait, 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie sur cet intervalle.
Qu’en est-il de l’option C, 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle moins ∞, zéro ? Eh bien, 𝑓 de 𝑥 est au moins définie sur cet intervalle. Et si nous suivons l’axe des 𝑥 dans le sens croissant, nous pouvons voir que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 diminuent lorsque 𝑥 augmente. Par exemple, la valeur de 𝑓 de 𝑥 pour cette valeur de 𝑥 est inférieure à la valeur de 𝑓 de 𝑥 pour une plus petite valeur de 𝑥. Lorsque 𝑥 augmente, 𝑓 de 𝑥 diminue et cela se produit jusqu’au point final, en 𝑥 égale zéro. Ceci est donc notre réponse.
Voyons les deux autres options qui restent pour nous assurer de bien comprendre pourquoi elles sont fausses. L’option D dit que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle zéro, plus ∞. Mais bien sûr, nous avons dit que 𝑓 de 𝑥 n’y est pas définie ; cela ne fait pas partie du domaine de définition et donc 𝑓 de 𝑥 ne peut pas être croissante ici. Donc cela n’est pas vrai.
Et enfin, l’option E que 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle moins ∞, zéro. Eh bien, 𝑓 de 𝑥 est au moins définie sur cet intervalle, mais elle y est décroissante, comme nous l’avons vu précédemment, car lorsque 𝑥 augmente, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 diminuent. Pour que 𝑓 de 𝑥 soit croissante, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 devraient augmenter à mesure que 𝑥 augmente. Et donc cette option E est également fausse.
