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Supposons que 𝑓 est dérivable. Quelle est la dérivée de 𝑥 au cube fois 𝑓 de 𝑥 ?
Si on observe l’expression 𝑥 au cube fois 𝑓 de 𝑥, on peut voir que c’est 𝑥 au cube multiplié par une fonction. Alors comment allons-nous dériver cela ? Eh bien, nous allons utiliser une règle appelée la règle du produit. Et la raison pour laquelle on va l’utiliser est que si on a 𝑦 égale 𝑢𝑣, donc si on a deux expressions multipliées entre elles, comme ici 𝑥 au cube et 𝑓 de 𝑥, alors la dérivée, c’est-à-dire 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥, est égale à 𝑢 fois 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥, plus 𝑣 fois 𝑑u sur 𝑑𝑥. Donc 𝑢 multiplié par la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 multiplié par la dérivée de 𝑢.
Si on revient à notre expression, on peut voir qu’on a 𝑥 au cube, qui va être notre 𝑢, et 𝑓 de 𝑥, qui va être notre 𝑣. Et donc, si 𝑢 est égal à 𝑥 au cube, alors 𝑑u sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré. Rappelons rapidement comment obtenir ce résultat : on a notre puissance, trois, qui est multipliée par notre coefficient de 𝑥, un. Puis on a 𝑥 puissance trois moins un, car on doit diminuer de un la puissance d’origine. Et trois moins un est égal à deux, donc on obtient une dérivée égale à trois 𝑥 au carré. Ensuite, si 𝑣 est notre fonction 𝑓 de 𝑥, alors 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥 est sa dérivée, 𝑓 prime de 𝑥.
On peut donc écrire que notre dérivée est égale à 𝑥 au cube fois 𝑓 prime de 𝑥, ce qui correspond à notre 𝑢 multiplié par notre 𝑑𝑣 sur 𝑑𝑥. Plus trois 𝑥 au carré fois 𝑓 de 𝑥, ce qui correspond à notre 𝑣 multiplié par notre 𝑑u sur 𝑑𝑥. On avait en effet posé que 𝑣 est égal à 𝑓 de 𝑥 et on avait montré que 𝑑u sur 𝑑𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré. On peut aussi écrire ces deux termes dans l’autre sens si on préfère que nos puissances de 𝑥 soient dans l’ordre croissant. Ainsi, on a montré que si 𝑓 est une fonction dérivable, alors la dérivée de 𝑥 au cube fois 𝑓 de 𝑥 est égale trois 𝑥 au carré fois 𝑓 de 𝑥 plus 𝑥 au cube fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥.
