Vidéo : Règle de dérivation d’un produit

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la dérivée d’une fonction à l’aide de la règle du produit.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la règle du produit pour trouver la dérivée d’une fonction qui est le produit de deux ou plusieurs autres fonctions. Nous commencerons par apprendre quelle est la règle du produit avant de l’appliquer pour nous aider à trouver la dérivée d’un certain nombre de fonctions, y compris celles qui sont elles-mêmes produites par au moins trois fonctions différentes. Nous examinerons également brièvement l’application de la règle du produit pour calculer les coordonnées des points critiques ou des points stationnaires sur une courbe.

Prenons l’exemple de 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus un fois 𝑥 moins quatre 𝑥 à la puissance cinq.

Réfléchissons comment nous pourrions trouver la dérivée de cette expression par rapport à 𝑥. Dans le passé, nous aurions peut-être cherché à répartir ces parenthèses avant d’appliquer les règles normales de dérivation à chacun des termes résultants. En fait, cette expression est le produit de deux fonctions distinctes. La première est la fonction 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus un. La seconde est la fonction 𝑥 moins quatre 𝑥 à la puissance cinq.

Et il existe une règle qui nous permettra de dériver toute expression qui est le produit de deux fonctions ou plus. Curieusement, cette règle s’appelle la règle du produit. Maintenant, la preuve de la règle du produit est un peu longue et c’est en dehors des contraintes de cette vidéo. Au lieu de cela, nous énoncerons simplement la règle du produit et examinerons son application au calcul.

La règle du produit indique que la dérivée du produit de fonctions 𝑓 et 𝑔 est égale à 𝑓 multipliée par la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 multipliée par 𝑔. Et cela est parfois alternativement écrit en tant que dérivée de 𝑢𝑣 par rapport à 𝑥 est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, où ici 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions de 𝑥. C’est vraiment une question de préférence personnelle quant à ce que vous décidez d’utiliser. Mais cette règle doit être mémorisée. Nous allons commencer par considérer un exemple simple d’application de cette règle.

Déterminer la dérivée première de la fonction 𝑦 est égale à trois 𝑥 à la puissance cinq plus sept multiplié par sept moins trois 𝑥 à la puissance cinq.

Ici, nous avons une équation qui est le produit de deux fonctions. Puisque c’est le cas, nous pouvons trouver la dérivée de cette fonction en appliquant la règle du produit. Rappelez-vous cette règle dit que la dérivée du produit de 𝑓 et 𝑔 est égale à 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Il est toujours judicieux d’écrire ce que nous savons réellement sur l’expression que nous cherchons à dériver. On peut dire que c’est le produit de deux fonctions. Appelons la première 𝑓 de 𝑥 trois 𝑥 à la puissance cinq plus sept. Et nous appellerons la deuxième 𝑔 de 𝑥. C’est sept moins trois 𝑥 à la puissance cinq. Nous allons devoir trouver la dérivée première de chacune de ces fonctions.

Rappelez-vous la dérivée d’une simple expressions algébrique telle que 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles, est 𝑛 fois 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant, puis réduisons cet exposant de un. Et cela signifie en fait que la dérivée d’une constante est zéro car une constante — disons le nombre un — est en fait un 𝑥 à la puissance zéro. Lorsque nous multiplions par l’exposant, nous obtenons une réponse nulle. Cela signifie que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est cinq fois trois 𝑥 à la puissance quatre et zéro qui est simplement 15𝑥 à la puissance quatre. De même, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est égal à zéro moins cinq fois trois 𝑥 à la puissance quatre qui est moins 15𝑥 à la puissance quatre.

Substituons ce que nous savons dans la formule à la règle du produit. d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois 𝑥 à la puissance cinq et sept fois moins 15𝑥 à la puissance quatre, plus 15𝑥 à la puissance quatre fois sept fois moins trois 𝑥 à la puissance cinq. Nous distribuons ensuite ces parenthèses en multipliant chaque terme par le terme extérieur. Et nous obtenons moins 45𝑥 à la puissance neuf moins 105𝑥 à la puissance quatre plus 105𝑥 à la puissance quatre moins 45𝑥 à la puissance neuf. Moins 105𝑥 à la puissance quatre, plus 105𝑥 à la puissance quatre est zéro. Et nous pouvons voir que la dérivée première de notre fonction est moins 90𝑥 à la puissance neuf. Il est également utile de savoir que nous pouvons appliquer cette règle pour trouver la dérivée en un point donné. Prenons un exemple de cela.

Déterminer la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 est égal à neuf 𝑥 carré moins 𝑥 moins sept fois sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept à la puissance moins un, 24.

Ici, nous avons une équation qui est le produit de deux fonctions. Puisque c’est le cas, nous pouvons trouver la dérivée de cette fonction en appliquant la règle du produit. Rappelez-vous qu’elle dit que nous pouvons trouver la dérivée du produit de 𝑓 et 𝑔 en trouvant 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Maintenant, en fait notre équation est 𝑓 de 𝑥. Donc, nous allons diviser nos deux fonctions en 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. On peut dire que 𝑔 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 carré moins 𝑥 moins sept et ℎ de 𝑥 est égal à sept 𝑥 carré moins huit 𝑥 moins sept. Et puis, j’ai changé la règle du produit. Cette fois -ci, elle dit que la dérivée de 𝑔 fois ℎ est 𝑔 fois la dérivée de ℎ plus la dérivée de 𝑔 fois ℎ. Trouvons la dérivée de 𝑔.

La dérivée de neuf 𝑥 carré est 18𝑥 et la dérivée de moins 𝑥 est moins un. Ainsi, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est de 18𝑥 moins un. De même, la dérivée de ℎ de 𝑥 est 14𝑥 moins huit. Substituons ce que nous savons dans la formule de la règle du produit. La dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est donc neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept fois 14𝑥 moins huit plus sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept fois 18𝑥 moins un. Nous distribuons les parenthèses avec soin et recueillons les mêmes termes. Et nous voyons que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est 252𝑥 au cube moins 237𝑥 au carré moins 208𝑥 plus 63.

Mais nous n’avons pas tout à fait fini. On nous a demandé de trouver la dérivée au point moins un, 24. Ce point est dans notre plan cartésien, où 𝑥 est égal à moins un et 𝑦 est égal à 24. On peut donc remplacer 𝑥 est égal à moins un dans notre expression pour la dérivée. C’est 252 fois moins un cube moins 237 fois moins un carré moins 208 fois moins un plus 63, ce qui est moins 218. En fait, il est utile de se rappeler que cela nous indique en fait la pente de la tangente à la courbe en moins un, 24. Dans notre prochain exemple, nous verrons comment appliquer la règle du produit pour dériver une expression qui est le produit de plus de deux fonctions.

La règle du produit indique que la dérivée de 𝑓𝑔 est égale à la dérivée de 𝑓 fois 𝑔, plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔. Utilisez ceci pour dériver une formule pour la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ.

Dans cette question, nous avons reçu la règle du produit et demandé de l’utiliser pour trouver une formule pour la dérivée du produit de trois fonctions. Ce sont 𝑓, 𝑔 et ℎ. Nous allons commencer par le fractionnement 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ vers le haut. Nous allons écrire comme 𝑓𝑔 fois ℎ. Rappelez-vous puisque la multiplication est commutative, nous aurions pu encore écrire 𝑓 fois 𝑔 ℎ et nous allons obtenir la même réponse de toute façon. On peut donc dire que la dérivée de 𝑓𝑔ℎ est égale à la dérivée de 𝑓𝑔 fois ℎ.

Et nous allons maintenant appliquer la règle du produit. Nous pouvons voir que cela équivaut à la dérivée de 𝑓𝑔 fois ℎ 𝑓𝑔 fois la dérivée de ℎ. Et maintenant, nous apercevons que le premier terme que nous avons est la dérivée de 𝑓𝑔. Nous savons bien que la définition de la règle du produit que ce soit le même que la dérivée de 𝑓 fois 𝑔, plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔. Nous remplaçons donc ceci dans notre formule. Et nous allons distribuer ces parenthèses.

Quand nous faisons, nous voyons que la formule pour la dérivée de 𝑓𝑔ℎ est la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois 𝑔 fois la dérivée de ℎ. Vous aimerez aussi voir si vous pouvez appliquer cette idée de vous aider à trouver une formule pour la dérivée du produit de quatre fonctions, disons 𝑓𝑔ℎ𝑖. Ensuite, nous allons voir comment cet exemple peut nous aider à trouver la dérivée d’une expression qui est le produit de trois fonctions.

Trouver la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance huit plus quatre fois trois 𝑥 racine 𝑥 moins sept fois trois 𝑥 racine 𝑥 plus sept à 𝑥 est égal à moins un.

Pour répondre à cette question, nous avons deux options. Nous pourrions utiliser la règle du produit deux fois ou rappeler la définition de la dérivée du produit de trois fonctions. La dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ est la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois 𝑔 fois la dérivée de ℎ. Maintenant, puisque notre fonction est en fait 𝑓 de 𝑥, j’ai changé les fonctions de cette formule pour être 𝑢 𝑣 et 𝑤. Donc, nous allons travailler à ce que les fonctions 𝑢, 𝑣 et 𝑤 sont en réalité. On peut dire que 𝑢 de 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance huit plus quatre. 𝑣 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 racine 𝑥 moins sept. Et 𝑤 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 racine 𝑥 plus sept.

Nous devons dériver chacune de ces fonctions en ce qui concerne 𝑥 selon la formule de la règle du produit à trois fonctions. La dérivée de 𝑢 est assez simple. C’est huit 𝑥 puissance sept. Mais qu’en est-il de 𝑣 et 𝑤 ? Nous pourrions utiliser la règle du produit. Mais en réalité, nous pouvons simplement réécrire chacune de ces expressions. Nous savons que la racine carrée de 𝑥 est la même chose que 𝑥 à la puissance un demi. Et les lois des exposants nous disent que nous pouvons simplifier cette expression en ajoutant les puissances.

Et quand nous le faisons, nous voyons que 𝑣 de 𝑥 peut être écrit comme trois 𝑥 à la puissance trois sur deux moins sept et 𝑤 de 𝑥 est trois 𝑥 à la puissance trois plus de deux plus sept. Et cela signifie que la dérivée du 𝑣 est trois plus de deux fois trois 𝑥 à la puissance d’un demi ou neuf sur deux 𝑥 à la puissance d’un demi. Et en réalité, la dérivée de 𝑤 est la même.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour intégrer cela dans notre formule à la règle du produit. Maintenant, à ce stade, vous pourriez être tenté de passer directement à la substitution de 𝑥 est égal à moins un dans la dérivée. Cependant, nous avons quelques racines ici et là pourrait causer des problèmes. Au lieu de cela, nous distribuons soigneusement chaque ensemble de parenthèses et simplifions complètement. Et quand nous le faisons, nous voyons que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est de 99𝑥 à la puissance 10 moins 392𝑥 à la puissance sept plus 108𝑥 à la puissance deux.

Et nous pouvons maintenant évaluer cela lorsque 𝑥 est égal à moins un. C’est 99 fois moins un à la puissance 10 moins 392 fois moins un à la puissance sept plus 108 fois moins un au carré, ce qui est égal à 599. Dans notre dernier exemple, nous examinerons comment utiliser la règle du produit pour résoudre des problèmes impliquant des points critiques.

Trouver les coordonnées des points critiques sur la courbe d’équation 𝑦 est égale à 𝑥 sur 16 plus 𝑥 carré.

Les points critiques d’une courbe sont trouvés lorsque la dérivée est rendue égale à zéro. Nous commencerons ensuite en dérivant notre équation 𝑦 en fonction de 𝑥. Nous pouvons commencer par la réécriture de notre équation 𝑥 fois 16 plus 𝑥 au carré à la puissance moins un. Et nous pouvons maintenant dériver cela en utilisant la règle du produit. Nous allons poser notre première fonction — je l’ai appelé 𝑢 — comme étant égale à 𝑥. Et nous dirons que notre deuxième fonction est 16 plus 𝑥 au carré à la puissance moins un. Il est assez simple de trouver la dérivée de 𝑢. Nous venons d’obtenir un. Mais nous allons avoir besoin d’utiliser la règle de la chaîne pour dériver les 16 plus 𝑥 carré à la puissance moins un.

Nous allons poser 𝑡 égale à 16 plus 𝑥 au carré. Ensuite, dériver 𝑡 par rapport à 𝑥 nous donne deux 𝑥. Et nous pouvons maintenant dire que 𝑣 est égal à 𝑡 à la puissance moins un. Nous devons dériver 𝑣 en ce qui concerne 𝑡. Et quand nous le faisons, nous voyons que c’est moins un à la puissance moins deux. La dérivée de notre fonction 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑣 sur d𝑡 fois d𝑡 sur d𝑥. À ce moment, c’est moins 𝑡 à la puissance moins deux fois deux 𝑥. Nous pouvons maintenant remplacer 𝑡 avec 16 plus 𝑥 au carré. Et nous avons dérivé 𝑣 en fonction de 𝑥.

Nous pouvons maintenant libérer de l’espace et appliquer la règle du produit. Il est 𝑢 multipliée par la dérivée de 𝑣 ainsi 𝑣 multipliée par la dérivée de 𝑢. Nous le réécrivons ensuite légèrement. Nous disons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est moins deux 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 au carré, plus un au carré sur plus de 16 plus 𝑥 au carré. Nous allons simplifier cette expression en multipliant le dénominateur et le numérateur de notre seconde fraction par 16 plus 𝑥 au carré. Et nous voyons que nous avons maintenant moins deux 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 carré au carré plus 16, plus 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 carré au carré.

En ajoutant les numérateurs, nous constatons que nous avons trouvé la dérivée. C’est moins 𝑥 carré plus 16 sur 16 plus 𝑥 carré le tout au carré. Plus tôt, nous avons dit que les coordonnées des points critiques pourraient être trouvées en posant la dérivée égale à zéro. Nous allons donc dire que notre fraction moins 𝑥 carré plus 16 sur 16 plus 𝑥 carré est égale à zéro. Et ensuite, nous considérons ce qui doit être vrai pour que cela soit le cas. Eh bien, peu importe le dénominateur de notre fraction. Si le numérateur de notre fraction est zéro, alors la fraction entière doit être égale à zéro.

Nous disons donc que moins 𝑥 carré plus 16 est égal à zéro et nous résolvons ce problème. Nous ajoutons 𝑥 carré des deux côtés, ce qui nous donne 𝑥 carré égal à 16. Et ensuite, nous trouvons la racine carrée des deux côtés de l’équation, sans oublier de prendre à la fois les racines carrées positives et négatives de 16. Et nous aboutissons à deux valeurs pour 𝑥 : plus et moins quatre. Donc, les points critiques de notre courbe se produisent lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins quatre. Nous allons devoir remplacer ceci dans l’équation originale pour trouver les coordonnées des points critiques.

Lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑦 est quatre sur 16 plus quatre carré ce qui est un huitième. Et quand 𝑥 est égal à moins quatre, 𝑦 est moins quatre sur 16 plus moins quatre carré qui est moins un huitième. Ainsi, les coordonnées des points critiques sur la courbe d’équation 𝑦 est égale à 𝑥 plus de 16, plus 𝑥 carré sont quatre, un huitième et moins quatre, moins un huitième.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons appliquer la règle du produit pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions. Nous avons appris que deux fonctions 𝑓 et 𝑔, la dérivée de leur produit est 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Et enfin, nous avons vu que, si nous pouvons appliquer la règle du produit successivement, nous pouvons également trouver le produit de trois fonctions en utilisant la formule donnée.

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