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Vidéo de la leçon : La règle du produit Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d’une fonction en utilisant la règle du produit.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser la règle du produit pour calculer la dérivée d’une fonction qui est le produit de deux ou plusieurs autres fonctions. Nous allons commencer par énoncer la règle du produit avant de l’utiliser pour déterminer la dérivée d’un certain nombre de fonctions, y compris des fonctions qui sont elles-mêmes le produit d’au moins trois fonctions différentes. Nous allons également aborder brièvement l’application de la règle du produit pour calculer les coordonnées des points critiques ou des points stationnaires d’une courbe.

Prenons l’exemple de 𝑥 carré plus trois 𝑥 plus un fois 𝑥 moins quatre 𝑥 puissance cinq.

Voyons comment calculer la dérivée de cette expression par rapport à 𝑥. Auparavant, nous aurions peut-être développé l’expression et utiliser les propriétés classiques de dérivation pour chacun des termes obtenus. En fait, cette expression est le produit de deux fonctions distinctes. La première est la fonction 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus un. La seconde est la fonction 𝑥 moins quatre 𝑥 puissance cinq.

Il existe une règle qui nous permet de dériver toute expression qui est le produit de deux fonctions ou plus. Curieusement, cette règle s’appelle la règle du produit. Alors, la démonstration de cette règle du produit est assez longue et dépasse le cadre de cette vidéo. Nous allons donc simplement énoncer la règle du produit et la mettre en application avec quelques calculs.

La règle du produit dit que la dérivée du produit des fonctions 𝑓 et 𝑔 est égale à 𝑓 multipliée par la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 multipliée par 𝑔. Et on dit aussi parfois que la dérivée de 𝑢𝑣 par rapport à 𝑥 s’écrit 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, où ici 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions de 𝑥. Vous choisissez la formulation que vous voulez, c’est à vous de voir. Mais il faut connaître cette règle par cœur. Nous allons commencer par regarder un exemple simple d’application de cette règle.

Calculez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale trois 𝑥 puissance cinq plus sept multipliée par sept moins trois 𝑥 puissance cinq.

Ici, nous avons une fonction qui est le produit de deux fonctions. Dans ce cas, nous pouvons calculer la dérivée de cette fonction en appliquant la règle du produit. Rappelons que cette règle dit que la dérivée du produit de 𝑓 et 𝑔 est égale à 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Il est toujours préférable d’écrire ce que nous savons de l’expression que l’on veut dériver. On peut dire que c’est le produit de deux fonctions. Appelons la première 𝑓 de 𝑥, trois 𝑥 puissance cinq plus sept. Et nous allons appeler la seconde 𝑔 de 𝑥. Elle vaut sept moins trois 𝑥 puissance cinq. Nous allons devoir calculer la dérivée première de ces deux fonctions.

Rappelons que la dérivée d’une expression algébrique simple telle que 𝑎𝑥 puissance 𝑛, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles, est 𝑛 fois 𝑎𝑥 puissance 𝑛 moins un. Il faut multiplier par l’exposant, puis réduire cet exposant de un. Et cela signifie en fait que la dérivée d’une constante est zéro puisqu’une constante - prenons le nombre un - est en fait 𝑥 puissance zéro. En multipliant par l’exposant, nous obtenons en fait zéro. Cela signifie que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est cinq fois trois 𝑥 puissance quatre plus zéro, ce qui fait simplement 15𝑥 puissance quatre. De même, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est zéro moins cinq fois trois 𝑥 puissance quatre, ce qui fait moins 15𝑥 puissance quatre.

Remplaçons les expressions connues dans la formule de la règle du produit. d𝑦 sur d𝑥 est égal à trois 𝑥 puissance cinq plus sept fois moins 15𝑥 puissance quatre plus 15𝑥 puissance quatre fois sept moins trois 𝑥 puissance cinq. Nous développons ensuite les parenthèses en multipliant chaque terme par le terme extérieur. Et nous obtenons moins 45𝑥 puissance neuf moins 105𝑥 puissance quatre plus 105𝑥 puissance quatre moins 45𝑥 puissance neuf. Moins 105𝑥 puissance quatre plus 105𝑥 puissance quatre est égal à zéro. Et nous pouvons voir que la dérivée première de la fonction est égale à moins 90𝑥 puissance neuf. Il faut aussi savoir qu’il est possible d’utiliser cette règle pour calculer la dérivée en un point donné.

Prenons un exemple.

Calculez la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 égale neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept fois sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept au point moins un, 24.

Ici, nous avons une fonction qui est le produit de deux fonctions. Dans ce cas, nous pouvons calculer la dérivée de cette fonction en appliquant la règle du produit. Rappelons que cette règle dit que nous pouvons déterminer la dérivée du produit de 𝑓 et 𝑔 en calculant 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Alors, ici, la fonction est 𝑓 de 𝑥. Nous allons donc appeler les deux fonctions 𝑔 de 𝑥 et ℎ de 𝑥. On peut dire que 𝑔 de 𝑥 est égale à neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept et que ℎ de 𝑥 est égale à sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept. Et puis, j’ai modifié la règle du produit. Cette fois, nous avons que la dérivée de 𝑔 fois ℎ est 𝑔 fois la dérivée de ℎ plus la dérivée de 𝑔 fois ℎ. Calculons la dérivée de 𝑔.

La dérivée de neuf 𝑥 au carré est 18𝑥 et la dérivée de moins 𝑥 est moins un. Donc, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 est 18 𝑥 moins un. De même, la dérivée de ℎ de 𝑥 est 14𝑥 moins huit. Remplaçons les expressions connues dans la formule de la règle du produit. La dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est donc neuf 𝑥 au carré moins 𝑥 moins sept fois 14𝑥 moins huit plus sept 𝑥 au carré moins huit 𝑥 moins sept fois 18𝑥 moins un. Nous développons les parenthèses avec précaution et nous regroupons les termes similaires. Et nous obtenons que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est 252𝑥 au cube moins 237𝑥 au carré moins 208𝑥 plus 63.

Mais nous n’avons pas tout à fait terminé. On nous demande de calculer la dérivée au point moins un, 24. C’est le point du plan cartésien, où 𝑥 est égal à moins un et 𝑦 est égal à 24. Nous pouvons donc remplacer 𝑥 par moins un dans l’expression de la dérivée. Soit 252 fois moins un cube moins 237 fois moins un carré moins 208 fois moins un plus 63, soit moins 218. Il est utile de rappeler que cela correspond en fait à la pente de la tangente à la courbe au point moins un, 24.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer la règle du produit pour dériver une expression qui est le produit de plus de deux fonctions.

La règle du produit dit que la dérivée de 𝑓𝑔 est égale à la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔. Utilisez cette règle pour déterminer la formule de la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ.

Dans cette question, on nous rappelle la règle du produit et on nous demande de l’utiliser pour trouver une formule pour la dérivée du produit de trois fonctions. Ces fonctions sont 𝑓, 𝑔 et ℎ. Nous allons commencer par séparer 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ en deux. Nous allons l’écrire comme 𝑓𝑔 fois ℎ. Rappelons que comme la multiplication est commutative, nous aurions aussi pu écrire 𝑓 fois 𝑔ℎ et obtenir le même résultat dans les deux cas. On peut donc dire que la dérivée de 𝑓𝑔ℎ est égale à la dérivée de 𝑓𝑔 fois ℎ.

Et nous allons maintenant appliquer la règle du produit. Nous pouvons voir que cette expression est égale à la dérivée de 𝑓𝑔 fois ℎ plus 𝑓𝑔 fois la dérivée de ℎ. Alors, nous remarquons que le premier terme que nous avons est la dérivée de 𝑓𝑔. Mais nous savons avec la règle du produit, que cette expression est égale la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔. Nous remplaçons donc cela dans la formule. Et nous allons développer les parenthèses.

En faisant cela, nous obtenons que la formule de la dérivée de 𝑓𝑔ℎ est la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois 𝑔 fois la dérivée de ℎ. Si cela vous intéresse, vous pouvez aussi appliquer cette idée pour déterminer la formule de la dérivée du produit de quatre fonctions, par exemple 𝑓𝑔ℎ𝑖.

Dans la suite, nous allons voir comment cet exemple peut nous aider à calculer la dérivée d’une expression qui est le produit de trois fonctions.

Calculez la dérivée première de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 puissance huit plus quatre fois trois 𝑥 racine de 𝑥 moins sept fois trois 𝑥 racine de 𝑥 plus sept au point 𝑥 égal moins un.

Pour répondre à cette question, nous avons deux options. Nous pouvons utiliser la règle du produit deux fois ou nous pouvons utiliser la formule de la dérivée du produit de trois fonctions. La dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ est la dérivée de 𝑓 fois 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 fois ℎ plus 𝑓 fois 𝑔 fois la dérivée de ℎ. Alors, comme la fonction s’appelle en fait 𝑓 de 𝑥, j’ai changé les fonctions de cette formule en 𝑢 𝑣 et 𝑤. Voyons donc comment écrire les fonctions 𝑢, 𝑣 et 𝑤. Nous avons 𝑢 de 𝑥 égale 𝑥 puissance huit plus quatre. 𝑣 de 𝑥 égale trois 𝑥 racine de 𝑥 moins sept. Et 𝑤 de 𝑥 égale trois 𝑥 racine de 𝑥 plus sept.

Nous devons dériver chacune de ces fonctions par rapport à 𝑥 pour utiliser la formule de la règle du produit avec trois fonctions. La dérivée de 𝑢 est assez simple. Nous avons juste huit 𝑥 puissance sept. Mais qu’en est-il de 𝑣 et 𝑤 ? Eh bien, nous pourrions utiliser la règle du produit. Mais en fait, il est plus simple de réécrire ces expressions. Nous savons que la racine carrée de 𝑥 est égale à 𝑥 puissance un demi. Et avec les propriétés des exposants, nous pouvons simplifier cette expression en ajoutant les puissances.

Et en faisant cela, nous obtenons que 𝑣 de 𝑥 s’écrit aussi comme trois 𝑥 puissance trois sur deux moins sept et 𝑤 de 𝑥 s’écrit trois 𝑥 puissance trois sur deux plus sept. Et cela signifie que la dérivée de 𝑣 est trois sur deux fois trois 𝑥 puissance un demi ou neuf sur deux 𝑥 puissance un demi. Et en fait, la dérivée de 𝑤 est identique.

Nous avons maintenant tout ce dont nous avons besoin pour remplacer les valeurs dans la formule de la règle du produit. Alors, à ce point, vous pourriez être tenté de remplacer directement 𝑥 par moins un dans la dérivée. Mais nous avons quelques racines carrées ici et cela pourrait poser problèmes. Au lieu ça, nous développons toutes les parenthèses avec précaution et nous simplifions l’expression. Et en faisant cela, nous obtenons que la dérivée de 𝑓 de 𝑥 est 99𝑥 puissance 10 moins 392𝑥 puissance sept plus 108𝑥 puissance deux.

Et nous pouvons maintenant calculer cette expression pour 𝑥 égal moins un. C’est 99 fois moins un puissance 10 moins 392 fois moins un puissance sept plus 108 fois moins un au carré, ce qui est égal à 599.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment utiliser la règle du produit pour résoudre des problèmes impliquant des points critiques.

Déterminez les coordonnées des points critiques de la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 sur 16 plus 𝑥 au carré.

Les points critiques d’une courbe correspondent aux points où la dérivée est égale à zéro. Alors, nous allons commencer par dériver l’expression de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous pouvons commencer par réécrire l’expression comme 𝑥 fois 16 plus 𝑥 au carré puissance moins un. Et nous pouvons maintenant dériver cela en utilisant la règle du produit. La première fonction – que j’ai appelée 𝑢 – est égale à 𝑥. Et la deuxième fonction est 16 plus 𝑥 au carré puissance moins un. La dérivée de 𝑢 est assez simple à calculer. C’est juste un. Mais nous allons devoir utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour dériver 16 plus 𝑥 au carré puissance moins un.

Nous allons prendre 𝑡 égal à 16 plus 𝑥 au carré. Ensuite, en dérivant 𝑡 par rapport à 𝑥, nous obtenons deux 𝑥. Et nous pouvons maintenant dire que 𝑣 est égal à 𝑡 puissance moins un. Nous devons dériver 𝑣 par rapport à 𝑡. Et en faisant cela, nous obtenons moins 𝑡 puissance moins deux. La dérivée de la fonction 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑣 sur d𝑡 fois d𝑡 sur d𝑥. Pour le moment, c’est moins 𝑡 puissance moins deux fois deux 𝑥. Nous pouvons maintenant remplacer 𝑡 par 16 plus 𝑥 au carré. Et nous avons dérivé 𝑣 par rapport à 𝑥.

Nous pouvons maintenant faire un peu de place et appliquer la règle du produit. La formule est 𝑢 multiplié par la dérivée de 𝑣 plus 𝑣 multiplié par la dérivée de 𝑢. Nous modifions ensuite un peu cette expression. Nous écrivons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est moins deux 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 au carré, le tout au carré plus un sur 16 plus 𝑥 au carré. Nous allons simplifier cette expression en multipliant le dénominateur et le numérateur de la deuxième fraction par 16 plus 𝑥 au carré. Et nous voyons que nous avons maintenant moins deux 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 au carré plus 16 plus 𝑥 au carré sur 16 plus 𝑥 au carré.

En ajoutant les numérateurs, nous obtenons la dérivée. Elle vaut moins 𝑥 carré plus 16 sur 16 plus 𝑥 carré, tout au carré. Nous avons dit qu’il est possible de déterminer les coordonnées des points critiques en trouvant les points où la dérivée est égale à zéro. Nous allons donc écrire que la fraction moins 𝑥 carré plus 16 sur 16 plus 𝑥 carré est égale à zéro. Et puis, regardons comment résoudre cette équation. Alors, peu importe la valeur du dénominateur de la fraction. Si le numérateur de la fraction est égal à zéro, alors la fraction entière est égale à zéro.

Nous disons donc que moins 𝑥 au carré plus 16 est égal à zéro et nous résolvons cette équation. Il faut ajouter 𝑥 au carré des deux côtés, ce qui nous donne 𝑥 au carré égale 16. Et puis, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, en faisant attention de prendre la racine carrée positive et négative de 16. Et nous obtenons deux valeurs pour 𝑥 : quatre et moins quatre. Donc, les points critiques de la courbe correspondent aux points 𝑥 égal quatre et 𝑥 égal moins quatre. Nous allons ensuite remplacer ces valeurs dans l’équation initiale pour trouver les coordonnées des points critiques.

Lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑦 est égal à quatre sur 16 plus quatre au carré, ce qui est égal à un huitième. Et lorsque 𝑥 est égal à moins quatre, 𝑦 est égal à moins quatre sur 16 plus moins quatre au carré, ce qui est égal à moins un huitième. Donc, les coordonnées des points critiques de la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑥 sur 16 plus 𝑥 au carré sont quatre, un huitième et moins quatre, moins un huitième.

Dans cette vidéo, nous avons vu qu’il est possible d’utiliser la règle du produit pour calculer la dérivée du produit de deux fonctions. Nous avons vu que pour deux fonctions 𝑓 et 𝑔, la dérivée de leur produit est 𝑓 fois la dérivée de 𝑔 plus la dérivée de 𝑓 fois 𝑔. Et enfin, nous avons vu que même s’il est possible d’utiliser la règle du produit successivement, il est aussi possible de déterminer une formule pour calculer la dérivée du produit de trois fonctions.

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