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Fiche explicative de la leçon : Règle du produit Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée d’une fonction en utilisant la règle du produit.

Une fois que l’on sait dériver des fonctions usuelles, on peut commencer à se demander comment dériver des fonctions plus compliquées. Généralement, les fonctions plus compliquées sont créées à partir de diverses combinaisons de fonctions plus simples. Il y a plusieurs façons de combiner deux fonctions 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥):

  1. somme ou différence:𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥);
  2. produit ou quotient:𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ou 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥);
  3. composition:𝑓(𝑔(𝑥)).

Pour pouvoir dériver des fonctions plus compliquées, il serait très utile de disposer de formules qui nous permettent de dériver de telles combinaisons de fonctions. À ce stade du cours d’analyse, nous savons déjà que la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées:(𝑓±𝑔)=𝑓±𝑔.

De plus, nous savons que la dérivation est une opération linéaire. Cela signifie qu’en plus de la règle de dérivation d’une somme, nous disposons de la formule suivante pour la multiplication d’une fonction par une constante:(𝑐𝑓)=𝑐𝑓,𝑐 est une constante. Dans cette fiche explicative, nous allons nous concentrer sur la recherche de dérivées de produits.

D’après les règles de dérivation d’une somme et de la multiplication par une constante, on pourrait penser que la dérivée d’un produit est égale au produit des dérivées. Ce n’est absolument pas le cas, comme nous allons le montrer avec le premier exemple.

Exemple 1: Explorer les dérivées de produits

On considère les fonctions 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥.

  1. Déterminez 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥).
  2. Déterminez 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).
  3. Sachant que 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑥, déterminez sa dérivée.

Réponse

Partie 1

En utilisant la règle de dérivation d’une puissance, dd𝑥𝑥=𝑛𝑥, on a 𝑓(𝑥)=1 et 𝑔(𝑥)=2𝑥.

Partie 2

En multipliant 𝑓 par 𝑔, on a 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=2𝑥.

Partie 3

Une fois encore, on peut appliquer la règle de dérivation d’une puissance pour trouver la dérivée de 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑥 comme suit:dddd𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=𝑥𝑥=3𝑥.

Cet exemple permet de montrer qu’en général, dddddd𝑥(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))𝑓𝑥𝑔𝑥.

Cela nous amène à nous demander quelle est la règle du produit. Nous allons commencer par étudier l’interprétation géométrique du produit. Calculer le produit de deux valeurs revient en fait à calculer l’aire d’un rectangle. Ainsi, pour deux fonctions 𝑢=𝑓(𝑥) et 𝑣=𝑔(𝑥), on peut considérer leur produit comme l’aire du rectangle dont les côtés mesurent 𝑢 et 𝑣 comme illustré sur la figure ci-dessous.

On aimerait alors savoir comment cette aire varie en réponse à une petite variation de 𝑥. Si 𝑥 varie d’une petite quantité notée Δ𝑥, il y aura une variation correspondante de 𝑢 et 𝑣 que l’on représente par Δ𝑢=𝑓(𝑥+Δ𝑥)𝑓(𝑥),Δ𝑣=𝑔(𝑥+Δ𝑥)𝑔(𝑥).

L’aire du rectangle après la variation sera (𝑢+Δ𝑢)(𝑣+Δ𝑣). La variation de l’aire sera donc

Δ(𝑢𝑣)=(𝑢+Δ𝑢)(𝑣+Δ𝑣)𝑢𝑣=𝑢Δ𝑣+𝑣Δ𝑢+Δ𝑢Δ𝑣.(1)

La figure ci-dessous représente cette variation d’aire. (La figure montre l’effet pour une variation d’aire positive mais une figure similaire pourrait être tracée pour représenter une variation négative.

En revenant à l’équation (1), on peut diviser par Δ𝑥, ce qui donne Δ(𝑢𝑣)Δ𝑥=𝑢Δ𝑣Δ𝑥+𝑣Δ𝑢Δ𝑥+Δ𝑢Δ𝑣Δ𝑥.

En prenant la limite quand Δ𝑥0, on obtient la dérivée de 𝑢𝑣:ddlimlim𝑥(𝑢𝑣)=Δ(𝑢𝑣)Δ𝑥=𝑢Δ𝑣Δ𝑥+𝑣Δ𝑢Δ𝑥+Δ𝑢Δ𝑣Δ𝑥.

En utilisant les propriétés des limites finies sur les fonctions continues, on a ddlimlimlimlim𝑥(𝑢𝑣)=𝑢Δ𝑣Δ𝑥+𝑣Δ𝑢Δ𝑥+Δ𝑢Δ𝑣Δ𝑥.

Comme limddΔ𝑣Δ𝑥=𝑣𝑥 et limddΔ𝑢Δ𝑥=𝑢𝑥, on peut réécrire ceci comme ddddddlimdd𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥+Δ𝑢𝑣𝑥.

Quant à la limite limΔ𝑢, on sait que la variation de 𝑢 tend vers 0 quand la variation de 𝑥 tend vers 0. Par conséquent, la valeur de cette limite est 0. On a donc dddddd𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥.

Ce résultat est appelé la règle du produit, que nous énonçons formellement ci-dessous.

Règle : Règle du produit

Pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit est définie par dddddd𝑥(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))=𝑢(𝑥)𝑥(𝑣(𝑥))+𝑣(𝑥)𝑥(𝑢(𝑥)).

Cela peut être écrit plus succinctement en utilisant la notation « prime »:(𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

Étudions donc un exemple où nous devons appliquer la règle du produit.

Exemple 2: Dériver à l’aide de la règle du produit

Déterminez la dérivée première de la fonction;𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥5𝑥+3𝑥3𝑥.

Réponse

Pour un exemple comme celui-ci, nous pouvons développer les parenthèses puis dériver, ou appliquer la règle du produit pour trouver la dérivée puis développer les parenthèses si nécessaire. Dans cet exemple, nous allons utiliser la règle du produit qui nous dit que dddddd𝑥(𝑢𝑣)=𝑢𝑣𝑥+𝑣𝑢𝑥,𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions de 𝑥.

Soit 𝑢=2𝑥+𝑥5 et 𝑣=𝑥+3𝑥3𝑥.

On commence par trouver dd𝑢𝑥 en appliquant les règles de dérivation d’une somme et d’une puissance:dd𝑢𝑥=8𝑥+1.

Pour trouver dd𝑣𝑥, on exprime d’abord chaque terme de 𝑣 en utilisant des exposants:𝑣=𝑥+3𝑥3𝑥.

En utilisant ensuite la règle de dérivation d’une puissance, on a dd𝑣𝑥=2𝑥+312𝑥3(1)𝑥=2𝑥+32𝑥+3𝑥.

On peut maintenant substituer les deux dérivées dans la formule de la règle du produit, ce qui donne 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥52𝑥+32𝑥+3𝑥+𝑥+3𝑥3𝑥8𝑥+1.

En développant les parenthèses:𝑓(𝑥)=4𝑥+3𝑥+6𝑥+2𝑥+32𝑥+3𝑥10𝑥152𝑥15𝑥+8𝑥+𝑥+24𝑥+3𝑥24𝑥3𝑥.

Enfin, on regroupe les termes semblables et on reformule l’expression en puissances décroissantes de 𝑥:𝑓(𝑥)=12𝑥15𝑥10𝑥+27𝑥+92𝑥152𝑥15𝑥=12𝑥+27𝑥𝑥15𝑥+92𝑥10𝑥152𝑥15𝑥.

Dans le prochain exemple, nous allons appliquer la règle du produit à des fonctions dont nous ne connaissons pas l’expression.

Exemple 3: Utiliser la règle du produit

Soit 𝑔(𝑥)=3𝑓(𝑥)[(𝑥)1]. Sachant que 𝑓(4)=1, (4)=9, (4)=6 et 𝑓(4)=1, calculez 𝑔(4).

Réponse

On commence par appliquer la règle du produit pour trouver une expression de 𝑔. On rappelle que la règle du produit nous dit que (𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑣𝑢.

En définissant 𝑢=3𝑓(𝑥) et 𝑣=(𝑥)1, on a 𝑢=3𝑓(𝑥),𝑣=.

En substituant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on obtient 𝑔(𝑥)=3𝑓(𝑥)(𝑥)3𝑓(𝑥)[(𝑥)1].

Par conséquent, 𝑔(4)=3𝑓(4)(4)3𝑓(4)[(4)1].

Substituer les valeurs de 𝑓(4)=1, (4)=9, (4)=6 et 𝑓(4)=1 donne 𝑔(4)=3(1)(9)3(1)((6)1)=2721=48.

La règle du produit peut être combinée à d’autres règles de dérivation. La règle du produit peut être généralisée au produit de plus de deux fonctions. Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la règle du produit avec une autre règle de dérivation.

Exemple 4: Dériver un produit de trois fonctions

La règle du produit nous dit que (𝑓𝑔)=𝑓𝑔+𝑓𝑔. Utilisez cette règle pour en déduire une formule de la dérivée (𝑓𝑔).

Réponse

On commence par considérer le produit 𝑓𝑔 comme le produit de la fonction 𝑓 et de la fonction 𝑔. On peut maintenant appliquer la règle du produit:(𝑓𝑔)=(𝑓(𝑔))=𝑓𝑔+𝑓(𝑔).

Et l’appliquer à nouveau pour trouver la dérivée du produit 𝑔:(𝑔)=𝑔+𝑔.

Par conséquent, (𝑓𝑔)=𝑓𝑔+𝑓(𝑔+𝑔)=𝑓𝑔+𝑓𝑔+𝑓𝑔.

L’exemple précédent montre que la règle du produit peut être généralisée au produit de plus de deux fonctions. En fait, on peut généraliser la règle du produit à tout produit fini de fonctions. Dans le dernier exemple, nous allons étudier une fonction définie par le produit de trois fonctions.

Exemple 5: Dériver des produits

Déterminez la dérivée première de 𝑓(𝑥)=𝑥+43𝑥𝑥73𝑥𝑥+7 en 𝑥=1.

Réponse

La fonction 𝑓 est le produit de trois fonctions. On pourrait penser qu’il est préférable d’appliquer la règle du produit pour le produit de trois fonctions. Nous remarquons cependant que le produit des deux derniers ensembles de parenthèses est égal à la différence de deux carrés sous forme factorisée. Par conséquent, il peut être plus facile de développer d’abord ces parenthèses, puis d’appliquer la règle du produit à l’expression résultante. C’est l’approche que nous allons adopter dans cet exemple. Par conséquent, 𝑓(𝑥)=𝑥+43𝑥𝑥73𝑥𝑥+7=𝑥+49𝑥49.

On peut maintenant appliquer la règle du produit:(𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.

En définissant 𝑢=𝑥+4 et 𝑣=9𝑥49, on a 𝑢=8𝑥,𝑣=27𝑥.

En substituant ces expressions dans la formule de la règle du produit, on a 𝑓(𝑥)=27𝑥𝑥+4+8𝑥(9𝑥49).

En calculant pour 𝑥=1, on a 𝑓(1)=27(1)(1)+4+8(1)9(1)49=(27)(5)+(8)(58)=599.

Points clés

  • Pour déterminer la dérivée du produit de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, on peut utiliser la règle du produit qui nous dit que dddddd𝑥(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))=𝑢(𝑥)𝑥(𝑣(𝑥))+𝑣(𝑥)𝑥(𝑢(𝑥)). Elle est souvent écrite de manière plus succincte en utilisant la notation « prime »:(𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑢𝑣.
  • La règle du produit peut être généralisée au produit de tout nombre de fonctions. Par exemple, la formule de la dérivée d’un produit de trois fonctions est (𝑢𝑣𝑤)=𝑢𝑣𝑤+𝑢𝑣𝑤+𝑢𝑣𝑤.
  • La règle du produit peut être combinée avec d’autres règles de dérivations.

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