Transcription de la vidéo
Sur la figure ci-dessous, la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐸 est égale à 26,9 degrés, la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐵 est égale à 82,9 degrés et la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐸 est égale à 59,1 degrés. Est-ce que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible ?
Nous pouvons rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets sont inscrits sur un cercle. Une propriété d’angle que nous pouvons utiliser pour prouver qu’un quadrilatère est inscriptible est que si un angle formé par une diagonale et un côté est égal en mesure à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, alors le quadrilatère est inscriptible.
Voyons donc ce quadrilatère. Et nous allons commencer par remplir les mesures d’angle qui nous ont été données. Voici alors les mesures d’angles. 𝐴𝐷𝐸 est de 26,9 degrés, 𝐴𝐸𝐵 est de 82,9 degrés et 𝐴𝐵𝐸 est de 59,1 degrés. Nous pourrions alors remarquer qu’au sein de ce triangle de 𝐴𝐵𝐸, nous avons deux mesures d’angle et une inconnue. En utilisant le fait que les angles intérieurs d’un triangle totalisent 180 degrés, nous pourrons calculer la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐵. Nous aurons donc 82,9 degrés plus 59,1 degrés plus la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐵 est égale à 180 degrés.
La simplification de 82,9 degrés plus 59,1 degrés nous donne 142 degrés. La soustraction de 142 degrés des deux membres nous laisse avec la mesure de l’angle 𝐸𝐴𝐵 égal à 38 degrés. Pour l’instant, nous n’avons toujours pas les mesures d’une paire d’angles formés aux diagonales. Par exemple, si nous considérons cet angle en 𝐸𝐴𝐵 et voyons s’il est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, c’est-à-dire l’angle 𝐶𝐷𝐵, nous pourrions vérifier si le quadrilatère est inscriptible. Une autre paire d’angles que nous pourrions vérifier serait les angles 𝐷𝐶𝐴 et l’angle 𝐷𝐵𝐴.
Pour chaque paire d’angles, nous devrons continuer et voir quels autres angles nous pouvons déterminer sur cette figure. Le fait que 𝐷𝐵 soit une droite nous permettra de calculer cette mesure d’angle de 𝐴𝐸𝐷. Ainsi, la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 est égale à 180 degrés moins 82,9 degrés, ce qui nous laisse avec 97,1 degrés. En observant alors que nous avons ce triangle 𝐴𝐸𝐷 et deux angles connus, nous pourrons calculer le troisième angle 𝐷𝐴𝐸. Parce que ces trois angles font 180 degrés, nous pouvons écrire que 26,9 degrés plus 97,1 degrés plus la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 est égal à 180 degrés.
Nous pouvons simplifier cela et ensuite soustraire 124 degrés des deux membres de l’équation. Et donc la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐸 est de 56 degrés.
Pour effectuer d’autres calculs sur cette figure, nous devons observer quelques marquages importants. On nous donne que les segments 𝐴𝐷 et 𝐶𝐷 sont de longueur égale. Lorsque nous considérons ces segments comme faisant partie du triangle 𝐴𝐶𝐷, cela signifie que le triangle 𝐴𝐶𝐷 est un triangle isocèle. Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux mesures d’angle égales. Et cela signifie que la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 doit être égale à la mesure de l’angle 𝐷𝐶𝐴. Et donc ils seront tous les deux de 56 degrés.
Alors rappelez-vous que nous avons fait tous ces calculs de mesure d’angles afin de voir si nous avons une paire d’angles égaux aux diagonales. Et nous avons maintenant une paire d’angles que nous pouvons comparer : l’angle 𝐴𝐵𝐷 et l’angle 𝐴𝐶𝐷. Et nous pouvons voir que, bien sûr, 56 degrés n’est pas égal à 59,1 degrés. Cela signifie qu’un angle formé par une diagonale et un côté n’est pas égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Nous pouvons donc répondre non, car nous avons prouvé que 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible.
