Vidéo question :: Dériver une combinaison de fonctions racines et polynomiales en utilisant la règle du produit Mathématiques • Deuxième secondaire

Transcription de la vidéo

Déterminez une expression de la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 égale sept 𝑥 au carré moins la racine de 𝑥 multiplié par moins 𝑥 au carré plus sept racine de 𝑥.

On nous demande de trouver que la dérivée première de 𝑦 est égale à une fonction de 𝑥. Cela signifie que nous devons dériver 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous pouvons voir que l’on nous donne 𝑦 comme un produit de deux fonctions. Nous allons donc dériver en utilisant la règle du produit pour la dérivation. Nous rappelons que la règle du produit nous dit que si nous avons deux fonctions 𝑢 et 𝑣, alors la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥.

Ainsi, pour dériver cela en utilisant la règle du produit, nous allons définir 𝑢 est égal à sept 𝑥 carré moins la racine de 𝑥 et 𝑣 est égal à moins 𝑥 carré plus sept racine de 𝑥. Pour utiliser la règle du produit, nous allons donc avoir besoin d’expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de sept 𝑥 racine au carrée moins la racine de 𝑥 par rapport à 𝑥. La première chose que nous allons faire est de réécrire moins la racine de 𝑥 comme moins 𝑥 à la puissance un demi en utilisant nos lois des exposants.

Nous pouvons maintenant dériver ces deux termes en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un. Cela nous donne deux fois sept fois 𝑥 à la puissance deux moins un moins un-demi fois 𝑥 à la puissance un demi moins un. Cela se simplifie pour nous donner 14𝑥 moins 𝑥 à la puissance moins un demi divisé par deux. Nous pouvons faire la même chose pour trouver d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de moins 𝑥 au carré plus sept racine de 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, en utilisant nos lois des exposants, nous réécrivons sept racine de 𝑥 comme sept 𝑥 à la puissance un demi.

En appliquant la règle des puissances pour la dérivation à chaque terme, nous obtenons moins deux fois 𝑥 à la puissance deux moins un plus un demi fois sept 𝑥 à la puissance un demi moins un. Nous pouvons simplifier cela pour nous donner moins deux 𝑥 plus sept 𝑥 à la puissance moins un demi divisé par deux. Nous sommes maintenant prêts à trouver la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle du produit. Nous aurons 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. En utilisant nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous obtenons l’expression suivante pour d𝑦 sur d𝑥.

Nous sommes maintenant prêts à simplifier cette expression. Nous allons commencer par distribuer notre premier terme. Nous obtenons moins 14𝑥 au cube plus 49 sur deux 𝑥 à la puissance trois sur deux plus deux 𝑥 à la puissance trois sur deux moins sept sur deux. Nous pouvons ajouter 49 sur deux 𝑥 à la puissance trois sur deux et deux 𝑥 à la puissance trois sur deux ensemble. Cela nous donne 53𝑥 à la puissance trois sur deux divisé par deux. Nous écrivons ceci comme 53𝑥 racine 𝑥 sur deux. Ainsi, en simplifiant notre premier terme, nous avons obtenu moins 14𝑥 au cube plus 53𝑥 racine de 𝑥 sur deux moins sept sur deux.

Nous voulons maintenant faire la même chose avec notre deuxième terme. En faisant cela, nous obtenons moins 14𝑥 au cube plus 𝑥 à la puissance trois sur deux divisé par deux plus 98𝑥 à la puissance trois sur deux moins sept sur deux. Nous pouvons alors ajouter 𝑥 à la puissance trois sur deux sur deux et 98𝑥 à la puissance trois sur deux pour obtenir 197𝑥 à la puissance trois sur deux divisé par deux. Nous écrivons ceci comme 197𝑥 racine de 𝑥 sur deux. Nous avons donc montré que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 14𝑥 au cube plus 53𝑥 racine de 𝑥 sur deux moins sept sur deux moins 14𝑥 au cube plus 197𝑥 racine de 𝑥 sur deux moins sept sur deux.

Nous pouvons alors simplifier cela en rassemblant des termes similaires. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons moins 28𝑥 au cube plus 125𝑥 racine de 𝑥 moins sept. Par conséquent, pour 𝑦 est égal à sept 𝑥 carré moins racine de 𝑥 fois moins 𝑥 carré plus sept racine de 𝑥, nous avons montré que la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à moins 28𝑥 au cube plus 125𝑥 racine de 𝑥 moins sept.