Transcription de la vidéo
Déterminez l’intégrale de huit divisée par la racine cinquième de 𝑥 à la puissance six par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de calculer l’intégrale indéfinie d’un radical. Et nous pouvons voir que nous ne pouvons pas calculer cette intégrale directement sous sa forme suivante. Cependant, nous pouvons utiliser nos lois des exposants pour les réécrire sous une forme que nous pouvons intégrer.
Tout d’abord, nous voulons simplifier l’expression au dénominateur. C’est la racine cinquième de 𝑥 à la puissance six. Nous pouvons le faire en rappelant que la 𝑛ième racine de 𝑎 est égale à 𝑎 à la puissance un sur 𝑛. Dans notre cas, la valeur de 𝑛 est cinq et la valeur de 𝑎 est 𝑥 à la puissance six. Nous pouvons donc réécrire le dénominateur de notre terme à intégrer comme 𝑥 à la puissance six élevée à la puissance un sur cinq.
Cependant, nous ne pouvons toujours pas calculer cette intégrale directement. Nous pouvons voir dans notre dénominateur que nous avons 𝑥 à la puissance six tous élevés à la puissance un cinquième. Nous pouvons réécrire ceci en utilisant l’une de nos lois des exposants. Cette fois, nous devons rappeler que 𝑎 élevé à la puissance 𝑏, le tout, élevé à la puissance 𝑐 est la même chose que 𝑎 élevé à la puissance 𝑏 fois 𝑐. Nous pouvons appliquer cela en fixant notre valeur de 𝑎 égale à 𝑥, 𝑏 égale à six et 𝑐 égale à un cinquième. Cela nous permet de réécrire le dénominateur de notre terme à intégrer comme 𝑥 à la puissance six fois un cinquième. Et, bien sûr, nous pouvons simplifier notre exposant. Six fois un cinquième est égal à six sur cinq.
Alors maintenant, nous avons réécrit notre intégrale comme l’intégrale de huit divisé par 𝑥 à la puissance six sur cinq par rapport à 𝑥. Et c’est presque sous une forme que nous pouvons intégrer en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Nous avons juste besoin d’utiliser nos lois des exposants pour introduire le terme 𝑥 au numérateur. Et nous pouvons le faire en utilisant une autre de nos lois des exposants.
Nous rappelons que diviser par 𝑥 à la puissance 𝑏 revient à multiplier par 𝑥 à la puissance moins 𝑏. Donc en utilisant 𝑎 est égal à huit et 𝑏 est égal à six sur cinq, nous pouvons réécrire notre intégrale comme l’intégrale de huit fois 𝑥 à la puissance moins six sur cinq par rapport à 𝑥. Et maintenant nous avons réécrit notre intégrale sous une forme que nous pouvons calculer en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.
Nous rappelons que cela nous indique que pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛, si 𝑛 n’est pas égale à moins un, l’intégrale de 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝐶. Nous ajoutons un à notre exposant 𝑥 puis divisons par ce nouvel exposant. Dans notre cas, l’exposant de 𝑥 est moins six sur cinq. Donc d’abord, nous devons ajouter un à notre exposant de moins six sur cinq. Cela nous donne moins six sur cinq plus un. Et nous pouvons calculer cela. C’est égal à moins un sur cinq. Donc notre nouvel exposant est moins un cinquième, et cela nous dit que nous devons diviser par moins un cinquième.
Enfin, nous devons ajouter notre constante d’intégration 𝐶. Et nous pouvons simplifier cela. Au lieu de diviser par moins un cinquième, nous pouvons multiplier par l’inverse de moins un cinquième. Cela nous donne moins cinq multiplié par huit fois 𝑥 à la puissance moins un cinquième plus 𝐶. Et nous pouvons simplement calculer cela. Moins cinq multiplié par huit est égal à moins 40. Cela nous donne moins 40𝑥 à la puissance moins un cinquième plus 𝐶.
Et il convient de souligner que nous pourrions utiliser notre loi des exposants pour amener 𝑥 au dénominateur et l’écrire comme la racine cinquième de 𝑥. Cela ne changera pas la valeur de notre réponse. Cependant, nous pouvons le faire. C’est une préférence personnelle. Nous laisserons notre réponse telle quelle.
Par conséquent, nous avons pu montrer que l’intégrale de huit divisé par la racine cinquième de 𝑥 à la puissance six par rapport à 𝑥 est égal à moins 40 fois 𝑥 à la puissance moins un sur cinq plus 𝐶.
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