Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les intégrales indéfinies des fonctions polynômes et des fonctions puissances en général en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.
On rappelle que la primitive d’une fonction est une autre fonction dont la dérivée est égale à la fonction d’origine .
Définition : Une primitive d’une fonction
Pour toute fonction définie sur un sous-ensemble et une fonction dérivable , si nous avons alors on dit que est une primitive de .
La primitive d’une fonction est équivalente à l’intégrale indéfinie de cette fonction, que l’on définit comme suit.
Définition : L’intégrale indéfinie
L’intégrale indéfinie de par rapport à peut s’écrire sous la forme d’une primitive comme suit : où est aussi appelée la constante d’intégration.
Les primitives de existent toujours lorsque est continue, et il existe en fait une infinité de primitives de , que l’on obtient en additionnant la constante arbitraire à . Cette constante, aussi connue sous le nom de la constante d’intégration, est très importante, car elle génère une famille de primitives paramétrées par . Autrement dit, est la fonction la plus générale ayant pour dérivée , pour tout . Par exemple, la dérivée de est donnée par
Par conséquent, on peut dire que est une primitive de 1, mais est la primitive de 1 la plus générale, ce qui signifie que , , , , pour n’en citer que quelques-unes, sont toutes des primitives de 1. C’est ce que l’on appelle l’intégrale indéfinie et que l’on exprime par
De la même manière, la dérivée de est ce qui implique que l’intégrale indéfinie de est
On rappelle que la dérivée vérifie la propriété
Ceci signifie que tout facteur constant peut être toujours sorti de la dérivée. Par conséquent, est une primitive de et est la primitive générale de pour tout , ce qui correspond aussi à l’intégrale indéfinie. Autrement dit, si la dérivée est multipliée par une constante, la primitive est aussi multipliée par cette constante et inversement. Il en découle la propriété des intégrales indéfinies suivante :
En utilisant l’intégrale indéfinie de ci-dessus, on peut utiliser cette propriété pour sortir le facteur 2 de l’intégrale puis diviser par 2 chaque membre de l’expression pour obtenir où l’on note que la constante reste inchangée car il s’agit d’une constante arbitraire et est simplement une autre constante. Dans cette fiche explicative, nous nous intéresserons particulièrement à déterminer les intégrales indéfinies de la forme en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Cette formule découle directement de la règle de dérivation d’une puissance. Imaginons que l’on ait , où . On peut trouver la dérivée de cette fonction en appliquant la règle de dérivation d’une puissance comme suit :
Il peut également être utile de réécrire ceci sous la forme où l’on a divisé par la constante , car un facteur constant n’affecte ni la dérivée ni la primitive. Mais que se passe-t-il si l’on veut faire le processus inverse ? (étant donné , on veut déterminer la primitive). Ceci signifie que nous allons trouver la fonction la plus générale dont la dérivée est .
On a déjà montré que la dérivée de est , pour . Donc, en posant , on a
Par conséquent, est une primitive de , à condition que . On exprime ceci sous la forme d’une intégrale indéfinie dans la définition suivante.
Règle : La règle de puissance pour l’intégration
La règle de puissance pour l’intégration nous permet de déterminer l’intégrale indéfinie de , à condition que , comme suit :
Par exemple, en utilisant cette règle, on trouve que l’intégrale indéfinie de est ce que l’on peut vérifier en constatant que si l’on dérive le membre de droite pour obtenir l’intégrande .
Dans le premier exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant une puissance entière positive de en utilisant la règle de puissance pour l’intégration et la propriété qui nous permet de sortir un facteur constant de l’intégrale.
Exemple 1: La règle de puissance pour l’intégration
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie d’une puissance entière positive de , en particulier de la fonction .
Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser la propriété des intégrales indéfinies suivante :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
On peut utiliser la propriété pour sortir le facteur constant de l’intégrale et la règle de puissance pour l’intégration pour déterminer l’intégrale indéfinie de :
Passons à présent à un exemple, dans lequel nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant une puissance entière négative de en utilisant la règle de puissance pour l’intégration et la propriété qui nous permet de sortir un facteur constant de l’intégrale.
Exemple 2: Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction en utilisant la règle de puissance pour l’intégration avec un exposant négatif
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie d’une puissance entière négative de , en particulier de la fonction .
Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser la propriété des intégrales indéfinies suivante :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
On peut utiliser la propriété pour sortir le facteur de l’intégrale et la règle de puissance pour l’intégration pour déterminer l’intégrale indéfinie de :
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies.
On peut utiliser la règle de puissance pour l’intégration pour déterminer non seulement l’intégrale indéfinie aux puissances entières de , mais aussi l’intégrale indéfinie de n’importe quelle puissance à condition qu’elle ne soit pas égale à . Dans le prochain exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant une puissance fractionnaire positive de en réécrivant le radical sous la forme d’une puissance de et en utilisant la règle de puissance pour l’intégration ainsi que la propriété qui nous permet de sortir un facteur constant de l’intégrale.
Exemple 3: Trouver la primitive générale d’une fonction en utilisant la règle de puissance pour l’intégration avec une puissance fractionnaire
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie d’une puissance fractionnaire positive de , en particulier de la fonction .
Commençons par utiliser le fait que pour réécrire l’intégrande sous la forme
Pour déterminer l’intégrale, nous allons utiliser la propriété des intégrales indéfinies suivante :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
On peut utiliser la propriété pour sortir le facteur 7 de l’intégrale et la règle de puissance pour l’intégration pour déterminer l’intégrale indéfinie de . Pour finir, on peut réécrire la réponse sous forme de radical :
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies, et la racine carrée est définie seulement pour les nombres positifs.
Passons à présent à un exemple dans lequel nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant une puissance fractionnaire négative de en réécrivant le radical sous la forme d’une puissance de et en utilisant la règle de puissance pour l’intégration, ainsi que la propriété qui nous permet de sortir un facteur constant de l’intégrale.
Exemple 4: Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction en utilisant la règle de puissance pour l’intégration avec des radicaux
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie d’une puissance fractionnaire négative de , en particulier de la fonction .
Commençons tout d’abord, par utiliser le fait que , pour réécrire l’intégrande sous la forme
Pour déterminer l’intégrale, nous allons utiliser la propriété des intégrales indéfinies suivante :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
On peut utiliser la propriété pour sortir le facteur 6 de l’intégrale et la règle de puissance pour l’intégration pour déterminer l’intégrale indéfinie de :
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies, et la racine huitième est définie seulement pour les nombres positifs.
On rappelle que la dérivation est une application linéaire, car elle vérifie
Il en découle une règle similaire pour les intégrales indéfinies :
Par conséquent, pour déterminer l’intégrale indéfinie d’une somme de fonctions, il suffit de trouver une intégrale indéfinie pour chacune de ces fonctions et de les additionner, sans oublier d’ajouter à la fin. On devrait normalement obtenir une constante d’intégration pour chaque partie intégrée, mais on peut les combiner toutes en une seule constante d’intégration. On peut également combiner cette propriété avec celle qui nous permet de sortir les facteurs constants de l’intégrale.
Propriété: Propriété de linéarité de l’intégration
Pour toutes fonctions continues et définies sur un sous-ensemble , on a la propriété de linéarité pour .
La règle de puissance pour l’intégration combinée avec cette propriété de linéarité nous permettent de déterminer les intégrales indéfinies de sommes de puissances de dont les fonctions polynômes, inverses et radicales. Par exemple, on peut déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction affine comme suit :
Dans le prochain exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction polynôme en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration et la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 5: Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction polynôme en utilisant le règle de puissance pour l’intégration
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction polynôme .
Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en trois parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Passons à présent à un exemple, dans lequel nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction polynôme en la développant et en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration et la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 6: Trouver l’intégrale indéfinie d’un polynôme en le développant et en appliquant la règle de puissance pour l’intégration
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction polynôme .
Commençons par simplifier l’intégrande en la développant :
Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en deux parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Dans le prochain exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction rationnelle en la factorisant et en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration et la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 7: Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction rationnelle en factorisant une différence de deux carrés
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction rationnelle .
Simplifions d’abord l’intégrande en observant que le numérateur est une différence de deux carrés et peut être réécrit sous la forme factorisée , l’intégrande se simplifie alors en pour . Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en deux parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies.
Passons maintenant à un exemple dans lequel nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction rationnelle avec des puissances négatives de en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration et la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 8: Trouver l’intégrale indéfinie en utilisant la règle de puissance pour l’intégration avec une puissance négative
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction rationnelle .
Commençons par réécrire l’intégrande sous forme de puissances de :
Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en trois parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies.
Dans le prochain exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction avec des radicaux et des puissances négatives en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration et la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 9: Trouver l’intégrale indéfinie d’une fonction en utilisant la règle de puissance pour l’intégration avec des racines carrées et des puissances négatives
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction .
Commençons par réécrire l’intégrande sous forme de puissances de en utilisant le fait que : pour . Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en trois parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies, et la racine carrée est définie seulement pour les nombres positifs.
Dans le dernier exemple, nous déterminerons l’intégrale indéfinie d’une fonction impliquant des puissances fractionnaires en la factorisant et en utilisant la propriété de linéarité de l’intégration, ainsi que la règle de puissance pour l’intégration.
Exemple 10: Trouvez l’intégrale indéfinie d’une fonction par factorisation
Déterminez .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons déterminer l’intégrale indéfinie de la fonction .
On observe que le numérateur de l’intégrande est une différence de deux carrés et peut se réécrire comme . Cela nous permet de simplifier l’intégrande et de la réécrire sous forme de puissance de en utilisant le fait que : pour . Pour déterminer cette intégrale, nous allons utiliser les propriétés des intégrales indéfinies suivantes :
Nous allons aussi utiliser la règle de puissance pour l’intégration :
La première propriété nous permet de séparer l’intégrale en deux parties. On utilise ensuite la seconde propriété pour sortir les facteurs constants de l’intégrale, puis on détermine l’intégrale indéfinie de chacun des termes en utilisant la règle de puissance pour l’intégration :
On notera que les constantes d’intégration obtenues pour chaque partie intégrée ont été combinées en une seule constante d’intégration, .
Ce résultat est valable pour tout , car l’intégrande et l’intégrale doivent être continues et définies, et la racine huitième est définie seulement pour les nombres positifs.
Pour finir, récapitulons les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
Pour déterminer l’intégrale indéfinie des fonctions impliquant différentes puissances de , y compris les fonctions polynômes, inverses et radicales, on utilise les propriétés suivantes :
- La propriété de linéarité de l’intégration : pour .
- La règle de puissance pour l’intégration :
