Vidéo : Intégrales indéfinies : la règle de puissance

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intégrales indéfinies des fonctions polynômes et puissances en utilisant la règle de puissance pour l’intégration.

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Intégrales indéfinies : la règle de puissance

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intégrales indéfinies des fonctions polynômes et puissances en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Commençons par rappeler en quoi consiste la primitive d’une fonction. On peut dire que 𝐹 majuscule est la primitive de 𝑓 minuscule si 𝐹 majuscule prime de 𝑥 égale 𝑓 minuscule de 𝑥. Nous pouvons en fait dire que cela est vrai pour toute fonction 𝑔 de 𝑥 où 𝑔 de 𝑥 égale 𝐹 majuscule de 𝑥 plus 𝐶 pour toute constante 𝐶. Ceci est très utile car nous allons l’utiliser pour définir une intégrale indéfinie.

On peut dire que l’intégrale indéfinie de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 𝐹 majuscule de 𝑥 plus 𝐶 où 𝐹 majuscule est la primitive de 𝑓 minuscule. Il est très important de se rappeler la constante d’intégration en effectuant une intégrale indéfinie. Voyons rapidement pourquoi cette constante se trouve ici. Si nous effectuons l’opération inverse sur cette équation, qui est donc la dérivation par rapport à 𝑥, puisqu’on effectue simplement l’opération inverse à gauche, la dérivée par rapport à 𝑥 de l’intégrale de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 sera simplement 𝑓 minuscule de 𝑥.

À droite, lorsque nous dérivons 𝐹 majuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥, nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 et notre constante 𝐶 disparaîtra car la dérivation d’une constante donne zéro. Maintenant, lorsque nous allons de l’autre côté de notre intégrale, la constante apparaîtra à nouveau. Cependant, nous ne connaissons pas la valeur de cette constante, et ainsi on la notera 𝐶. C’est juste une constante inconnue. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous intégrons une fonction par rapport à 𝑥, par exemple, trois 𝑥.

Nous connaissons l’équation pour déterminer une intégrale indéfinie. Nous savons que l’intégrale de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 𝐹 majuscule de 𝑥 plus 𝐶, où 𝐹 majuscule est la primitive de 𝑓 minuscule. Or, dans notre cas, 𝑓 minuscule de 𝑥 égale trois 𝑥. Il nous faut donc simplement trouver la primitive de trois 𝑥. Essayons de le faire par essais et erreurs. Nous essayons de déterminer ce qu’il faut dériver pour obtenir trois 𝑥. Commençons par dériver 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Cela nous donne deux 𝑥 qui est très proche de trois 𝑥. Cependant, nous n’en sommes pas encore là.

Essayons de multiplier notre dérivée par un demi. En dérivant 𝑥 au carré sur deux par rapport à 𝑥 nous donne 𝑥, ce qui représente un tiers de ce que nous essayons de trouver. Alors, essayons maintenant de multiplier notre dérivée par trois. Et la dérivation de trois 𝑥 au carré sur deux par rapport à 𝑥 nous donne trois 𝑥. Ainsi, nous avons trouvé notre primitive. Et c’est trois 𝑥 au carré sur deux. Donc, tout cela est 𝐹 majuscule de 𝑥. Par conséquent, nous pouvons dire que notre intégrale égale trois 𝑥 au carré sur deux plus 𝐶. Mais c’est une méthode assez longue pour trouver des primitives de fonctions puissances.

Considérons la règle de puissance des dérivées. Nous savons que la dérivée de 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un par rapport à 𝑥 est 𝑛 plus un fois 𝑥 à la puissance 𝑛 puisque pour la règle de puissance des dérivées, nous multiplions par la puissance, puis diminuons la puissance de un. Ce que cela nous dit, c’est que 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un est la primitive de 𝑛 plus un fois 𝑥 à la puissance 𝑛. On peut donc rappeler 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un 𝐹 majuscule de 𝑥 et 𝑛 plus un fois 𝑥 à la puissance 𝑛 𝑓 minuscule de 𝑥. Et nous pouvons substituer ces fonctions dans notre équation de l’intégrale indéfinie d’une fonction. Et cela nous donne que l’intégrale de 𝑛 plus un multipliée par 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un plus 𝐶.

Maintenant, nous avons une constante dans notre intégrale. Et on peut en fait factoriser. Voyons rapidement pourquoi on peut le faire. Nous savons que si nous dérivons une constante multipliée par une fonction 𝑔 de 𝑥, cela égale la constante multipliée par la dérivée de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Cela nous indique donc que l’intégrale de 𝑎 multipliée par 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons donc factoriser notre constante 𝑛 plus un. Et alors nous pouvons simplement diviser par cette constante. Et cela nous donne que l’intégrale de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶 sur 𝑛 plus un.

Cependant, comme 𝐶 et 𝑛 plus un sont des constantes, cela signifie que 𝐶 sur 𝑛 plus un sera également une constante. Et on peut appeler cette constante 𝐷. Ainsi, nous arrivons à notre règle de puissance pour l’intégration. Celle-ci nous dit que l’intégrale de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Ici, j’ai redéfini la constante d’intégration comme 𝐶 juste pour rester cohérent avec notre définition d’intégrale indéfinie. Cependant, peu importe ce que vous appelez cette constante. Un moyen facile de se rappeler de cette règle est que, lorsque nous intégrons une fonction puissance, nous augmentons la puissance d’une unité, puis nous divisons par la nouvelle puissance. Et bien sûr, il ne faut pas oublier d’ajouter notre constante d’intégration.

Maintenant, cette règle de puissance pour l’intégration fonctionne pour toute valeur réelle de 𝑛, à l’exception d’une valeur spécifique. Et c’est lorsque 𝑛 égale moins un. Si nous essayons d’utiliser 𝑛 égale moins un, nous obtiendrons que l’intégrale indéfinie de 𝑥 à la puissance moins un par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance moins un plus un sur moins un plus un plus 𝐶. Comme moins un plus un égale zéro, cela signifie que nous avons zéro au dénominateur de notre fraction. Par conséquent, cette fraction est indéfinie, de même que l’intégrale. Nous pouvons donc affirmer que notre règle de puissance pour l’intégration fonctionne pour toutes les valeurs réelles de 𝑛, à l’exception de la valeur moins un. Il est maintenant possible d’intégrer 𝑥 à la puissance moins un par rapport à 𝑥. Cependant, nous ne couvrirons pas cela dans cette vidéo. Nous allons maintenant passer à un exemple sur l’utilisation de la règle de puissance.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥.

Pour trouver cette intégrale, il faut utiliser la règle de puissance pour l’intégration. Nous avons l’intégrale de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Et nous essayons de trouver l’intégrale de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥. Commençons par factoriser avec le moins un. Nous savons que notre intégrale égale l’intégrale négative de 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥. Maintenant, lorsque nous examinons notre intégrale et la comparons à l’intégrale de la formule, nous pouvons voir que dans notre cas, 𝑛 égale neuf. Ainsi, nous substituons simplement avec 𝑛 égale neuf dans la formule. Nous obtenons moins 𝑥 à la puissance neuf plus un le tout sur neuf plus un plus 𝐶. Cela donne moins 𝑥 à la puissance 10 sur 10 moins 𝐶.

Maintenant, moins 𝐶 n’est qu’une autre constante. Nous pouvons donc l’appeler 𝐷. Et maintenant, nous sommes arrivés à notre solution. L’intégrale indéfinie de moins 𝑥 à la puissance neuf par rapport à 𝑥 égale moins 𝑥 à la puissance 10 sur 10 plus 𝐷.

Voyons maintenant comment nous allons intégrer un polynôme. Nous savons que la dérivée d’une somme de fonctions, donc 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥, est égale à la somme des dérivées des fonctions. Donc 𝑑 par d𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑 par d𝑥 de 𝑔 de 𝑥. On en déduit que l’intégrale d’une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales des fonctions.

En utilisant cette règle, nous pouvons diviser les intégrales de polynômes en intégrales de fonctions puissances. Par exemple, l’intégrale de 𝑥 au carré plus 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous savons déjà comment intégrer ces fonctions puissances à droite. À l’aide de ça, nous pouvons intégrer n’importe quel polynôme. Voyons maintenant un exemple.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36 par rapport à 𝑥.

Commençons par diviser cette intégrale en utilisant le fait que l’intégrale d’une somme de fonctions égale la somme des intégrales des fonctions. Nous trouvons que notre intégrale égale l’intégrale de 25𝑥 au carré par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de moins 65𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de 36 par rapport à 𝑥. Nous pouvons factoriser avec la constante dans chaque intégrale. Maintenant, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour l’intégration qui nous dit que l’intégrale de 𝑥 à la puissance de 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶.

Dans le cas de notre première intégrale, 𝑛 est deux. Ainsi, elle égale 25 fois 𝑥 au cube sur trois plus une constante que nous appellerons 𝐶 un. Pour notre deuxième intégrale, nous intégrons 𝑥. 𝑥 égale 𝑥 à la puissance un. Par conséquent, 𝑛 égale un. Elle égale donc moins 65 fois 𝑥 au carré sur deux plus une certaine constante que nous appellerons 𝐶 deux. Pour notre troisième intégrale, nous intégrons un. Un est aussi 𝑥 à la puissance zéro. Par conséquent, notre valeur de 𝑛 est zéro. Ainsi, elle égale 36 fois 𝑥 à la puissance un sur un plus une constante que nous appellerons 𝐶 trois.

En développant puis en simplifiant, nous trouvons que notre intégrale égale 25𝑥 au cube sur trois moins 65𝑥 au carré sur deux plus 36𝑥 plus 25𝐶 un moins 65𝐶 deux plus 36𝐶 trois. Maintenant, puisque 𝐶 un, 𝐶 deux et 𝐶 trois sont toutes des constantes, alors 25𝐶 un moins 65𝐶 deux plus 36𝐶 trois est également une constante. Et nous pouvons la renommer 𝐶. Et ainsi nous atteignons notre solution. Et c’est que l’intégrale indéfinie de 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36 par rapport à 𝑥 est égale à 25𝑥 au cube sur trois moins 65𝑥 au carré sur deux plus 36𝑥 plus 𝐶.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment intégrer simplement une fonction polynôme sans la diviser en intégrales distinctes.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 𝑥 moins six fois 𝑥 moins cinq fois 𝑥 moins trois.

Commençons par développer les parenthèses. En développant les deux premières parenthèses, on obtient 𝑥 au carré moins 11𝑥 plus 30. Puis on multiplie par 𝑥 moins trois. On obtient l’intégrale indéfinie de 𝑥 au cube moins 14𝑥 au carré plus 63𝑥 moins 90, qui est en fait un polynôme. Et on peut utiliser la règle de puissance pour l’intégration pour intégrer ce polynôme terme par terme. La règle de puissance nous dit que l’intégrale de 𝑥 à la puissance de 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance de 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Si au lieu de cela nous intégrons 𝑥 à la puissance 𝑛 fois une certaine constante 𝑎, nous pourrons alors factoriser avec une constante de notre intégrale, et elle sera simplement égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶.

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’avons pas multiplié le 𝐶 par 𝑎. C’est parce que 𝑎 est aussi une constante. Ainsi, 𝑎 fois 𝐶 est une constante. Et nous pouvons simplement renommer cette nouvelle constante 𝐶. Alors maintenant, appliquons cette règle à notre intégrale terme par terme. Le premier terme est 𝑥 au cube. Donc 𝑛 égale trois. Nous augmentons la puissance d’une unité et divisons par la nouvelle puissance pour obtenir 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. Le terme suivant est moins 14𝑥 au carré. Moins 14 est juste une constante. Donc ça restera. Notre puissance est deux. Donc 𝑛 est deux. Nous augmentons la puissance d’une unité pour obtenir 𝑥 au cube puis divisons par la nouvelle puissance.

Pour le terme suivant, nous avons 63𝑥. Nous pouvons donc commencer par écrire notre constante, 63. Nous notons ensuite que 𝑥 égale 𝑥 à la puissance un. Donc 𝑛 égale un. Lorsque nous intégrons ceci, nous obtenons 𝑥 au carré sur deux. Pour notre dernier terme, nous avons moins 90. Et nous savons que cela peut également être écrit comme moins 90𝑥 à la puissance zéro puisque 𝑥 à la puissance zéro est un. Alors maintenant nous pouvons l’intégrer. Nous commençons par écrire notre constante, moins 90. Puisque notre puissance de 𝑥 est zéro, nous augmentons la puissance d’une unité, ce qui nous donne 𝑥 à la puissance un, puis divisons par la nouvelle puissance. Donc, on divise par un. Et il nous manque d’ajouter notre constante d’intégration 𝐶.

On peut écrire cela plus soigneusement pour représenter notre solution qui est 𝑥 à la puissance quatre sur quatre moins 14𝑥 au cube sur trois plus 63𝑥 au carré sur deux moins 90𝑥 plus 𝐶.

Remarquons rapidement que cette règle d’intégration fonctionne pour tout réel 𝑛, sauf moins un. Cela inclut donc les puissances négatives et non entières de 𝑥.

Voyons comment ça marche dans les exemples suivants.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept fois 𝑥 à la puissance moins neuf par rapport à 𝑥.

Dans notre intégrale, nous avons simplement une fonction puissance. Nous pouvons donc utiliser la règle de puissance pour l’intégration afin de déterminer cette intégrale. Cette règle dit que l’intégrale indéfinie de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Dans notre cas, nous intégrons moins deux-septièmes 𝑥 à la puissance moins neuf par rapport à 𝑥. Donc notre puissance de 𝑥 est moins neuf. Nous pouvons commencer par écrire notre constante qui est moins deux septièmes.

Puisque la valeur de 𝑛 est moins neuf, il faut ensuite écrire 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un. C’est donc 𝑥 à la puissance moins neuf plus un qui est 𝑥 à la puissance moins huit sur moins neuf plus un. Donc, c’est moins huit. Ensuite, il ne faut pas oublier d’ajouter notre constante d’intégration 𝐶. Pour notre dernière étape ici, nous avons juste besoin de simplifier. Et nous obtenons notre solution qui est que l’intégrale indéfinie de moins deux septième fois 𝑥 à la puissance moins neuf par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance moins huit sur 28 plus 𝐶.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment intégrer une fonction avec des puissances non entières de 𝑥.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins quatre fois la cinquième racine de 𝑥 à la puissance neuf plus huit le tout multiplié par la cinquième racine de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Commençons par écrire ces racines comme puissances. Nous savons que la 𝑛ième racine de 𝑥 est 𝑥 à la puissance un sur 𝑛. Une fois que nous avons écrit nos racines comme puissances, nous pouvons les combiner avec les puissances existantes, en utilisant le fait que 𝑥 à la puissance 𝑛 à la puissance 𝑚 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 fois 𝑚. Ainsi, 𝑥 à la puissance neuf à la puissance un cinquième devient 𝑥 à la puissance neuf cinquièmes. Et 𝑥 au carré de la puissance un cinquième devient 𝑥 à la puissance deux cinquièmes. Maintenant, nous pouvons développer les parenthèses, en utilisant le fait que 𝑥 à la puissance 𝑛 fois 𝑥 à la puissance 𝑚 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus 𝑚. Notre intégrale devient donc l’intégrale de moins quatre 𝑥 à la puissance onze cinquièmes plus huit fois 𝑥 à la puissance deux cinquièmes par rapport à 𝑥.

Ici, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour l’intégration qui nous dit que l’intégrale indéfinie de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Nous pouvons appliquer cette règle à notre intégrale terme par terme. Pour le premier terme, nous avons moins quatre 𝑥 à la puissance onze cinquièmes. Par conséquent, 𝑛 égale onze cinquièmes. Lorsque nous intégrons ce terme, nous obtenons moins quatre multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un. Et 𝑛 plus un, c’est simplement seize cinquièmes. Donc c’est 𝑥 à la puissance seize cinquièmes. Et nous devons ensuite diviser par 𝑚 plus un. On divise donc par seize cinquièmes.

Pour la deuxième fois, nous avons huit 𝑥 à la puissance deux cinquièmes. Donc 𝑛 est deux cinquièmes. Nous ajoutons donc huit fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un qui 𝑥 est à la puissance sept cinquièmes. Et nous divisons ensuite par sept cinquièmes. Et il ne faut pas oublier d’ajouter notre constante d’intégration 𝐶. Tout ce qu’il nous reste à faire maintenant c’est de simplifier. Nous obtenons donc que l’intégrale indéfinie de moins quatre fois la cinquième racine de 𝑥 à la puissance neuf plus huit le tout multiplié par la cinquième racine de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 égale moins cinq fois 𝑥 à la puissance seize cinquièmes sur quatre plus 40 fois 𝑥 à la puissance sept cinquièmes sur sept plus 𝐶.

Nous avons couvert une variété d’exemples d’intégrales indéfinies de fonctions puissances. Récapitulons quelques points clés de la vidéo. Points clés. L’intégrale indéfinie de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 égale 𝐹 majuscule de 𝑥 plus 𝐶, où 𝐹 majuscule de 𝑥 est la primitive de 𝑓 minuscule de 𝑥 et 𝐶 est une constante. La règle de puissance pour l’intégration. L’intégrale indéfinie de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶 pour tout nombre réel 𝑛, sauf moins un.

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