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Vidéo de la leçon : Intégrales indéfinies: formule de la primitive d’une puissance Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intégrales indéfinies de fonctions polynomiales et puissances en utilisant la formule de la primitive d’une puissance.

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Transcription de vidéo

Formule de la primitive d’une puissance

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les intégrales indéfinies de fonctions polynomiales et puissances en utilisant la formule de la primitive d’une puissance. Commençons par rappeler ce qu’est la primitive d’une fonction. On peut dire que grand 𝐹 est une primitive de 𝑓 si grand 𝐹 prime de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Cela est en fait vrai pour toute fonction 𝑔 de 𝑥 où 𝑔 de 𝑥 égale grand de 𝑥 plus 𝐶 pour tout constante 𝐶. Cette définition est très utile car nous allons l’utiliser pour définir une intégrale indéfinie.

L’intégrale indéfinie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑥 plus 𝐶, où grand 𝐹 est une primitive de 𝑓. Il est très important d’inclure la constante d’intégration lorsque vous évaluez une intégrale indéfinie. Voyons rapidement pourquoi cette constante est nécessaire. Si on effectue l’opération réciproque sur cette équation, c’est-à-dire que l’on dérive par rapport à 𝑥, alors la dérivée par rapport à 𝑥 de l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 sera simplement égale à 𝑓 de 𝑥 sur le membre gauche car il s’agit d’une opération réciproque.

Pour le membre droit, lorsque l’on dérive grand de 𝑥 par rapport à 𝑥, on obtient grand 𝐹 prime de 𝑥 et la constante 𝐶 disparaît car la dérivée d’une constante est égale à zéro. Si on effectue maintenant l’opération dans l’autre sens et que l’on intègre, la constante apparaîtra à nouveau. On ne connaît pas la valeur de cette constante, c’est donc pourquoi on la nomme 𝐶. Il s’agit simplement d’une constante inconnue. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous intégrons une fonction par rapport à 𝑥, par exemple, trois 𝑥.

Nous connaissons l’équation qui permet de déterminer une intégrale indéfinie. L’intégrale de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑥 plus 𝐶, où grand 𝐹 est une primitive de 𝑓. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥. Nous devons donc seulement trouver la primitive de trois 𝑥. Essayons de la déterminer par tâtonnements. On essaie donc de déterminer ce qui doit être dérivée pour obtenir trois 𝑥. On commence par dériver 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Cela donne deux 𝑥, ce qui est très proche de trois 𝑥. Ce n’est cependant pas encore le résultat attendu.

On essaie alors de multiplier cette fonction par un sur 2. Dériver 𝑥 au carré sur deux par rapport à 𝑥 donne 𝑥, ce qui est égal à un tiers de 3 . On essaie donc maintenant de multiplier par trois la fonction que l’on dérive. Et dériver trois 𝑥 carré sur deux par rapport à 𝑥 donne trois 𝑥. On a donc trouvé une primitive. Elle est égale à trois 𝑥 carré sur deux. Grand 𝐹 de 𝑥 est donc égale à cette fonction. Par conséquent, nous pouvons dire que l’intégrale indéfinie est égale à trois 𝑥 carré sur deux plus 𝐶. Cette méthode de recherche des primitives de fonctions puissances est cependant assez longue.

Considérons la formule de la dérivée d’une puissance. Nous savons que la dérivée de 𝑥 puissance 𝑛 plus un par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 plus un fois 𝑥 puissance 𝑛 car la formule de la dérivée d’une puissance implique de multiplier par la puissance puis de diminuer la puissance de un. Cela nous dit alors que 𝑥 puissance 𝑛 plus un est une primitive de 𝑛 plus un fois 𝑥 puissance 𝑛. On peut donc appeler 𝑥 puissance 𝑛 plus un, grand 𝐹 de 𝑥, et 𝑛 plus un fois 𝑥 puissance 𝑛, petit 𝑓 de 𝑥. Et on peut substituer ces fonctions dans l’équation de l’intégrale indéfinie d’une fonction. Cela donne: intégrale de 𝑛 plus un fois 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale 𝑥 puissance 𝑛 plus un plus 𝐶.

Il y a une constante plus un dans l’intégrale. Et nous pouvons en fait la sortir. Voyons rapidement pourquoi nous pouvons faire cela. On sait que si on dérive une constante fois une fonction 𝑔 de 𝑥, cela est égal à la constante multipliée par la dérivée de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Cela indique donc que l’intégrale de 𝑎 fois 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois l’intégrale de 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Par conséquent, on peut sortir la constante 𝑛 plus un de l’intégrale. On peut ensuite diviser par cette constante. Et cela nous donne que l’intégrale de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶 sur 𝑛 plus un.

Cependant, comme 𝐶 et 𝑛 plus un sont toutes les deux des constantes, 𝐶 sur 𝑛 plus un est également une constante. Et on peut appeler cette constante 𝐷. Nous arrivons ainsi à la formule de la primitive d’une puissance. Elle stipule que l’intégrale de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. J’ai renommé la constante d’intégration 𝐶 par cohérence avec la définition d’une intégrale indéfinie. Le nom de cette constante n’a cependant aucune importance. Un moyen facile de se souvenir de cette formule est de se rappeler que lorsque l’on intègre une fonction puissance, on doit augmenter la puissance d’une unité puis diviser par la nouvelle puissance. Et bien sûr, nous ne devons pas oublier d’ajouter la constante d’intégration.

Cette formule de la primitive d’une puissance fonctionne pour toute valeur réelle de 𝑛 à l’exception d’une valeur spécifique. Et cette valeur est quand 𝑛 égale moins un. Si on avait 𝑛 égale moins un, on obtiendrait que l’intégrale indéfinie de 𝑥 puissance moins un par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance moins un plus un sur moins un plus un plus 𝐶. Comme moins un plus un égale zéro, cela signifie que l’on aurait un zéro au dénominateur de la fraction. Par conséquent, cette fraction et donc l’intégrale ne seraient pas définies. Nous pouvons donc dire que la formule de la primitive d’une puissance est valable pour toutes les valeurs réelles de 𝑛 à l’exception de moins un. Il est en fait possible d’intégrer 𝑥 puissance moins un par rapport à 𝑥. Mais cela sort du cadre de cette vidéo. Nous allons maintenant passer à un exemple d’utilisation de la formule de la primitive d’une puissance.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥.

Pour déterminer cette intégrale, nous devons utiliser la formule de la primitive d’une puissance. On rappelle que l’intégrale de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Et on essaie de trouver l’intégrale de moins 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥. On commence par sortir le moins un de l’intégrale. L’intégrale est alors égale à moins l’intégrale de 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥. Lorsque l’on observe l’intégrale et qu’on la compare à la formule, on peut voir que 𝑛 est égal à neuf dans ce cas. Par conséquent, on substitue simplement 𝑛 égale neuf dans la formule. Et on obtient moins 𝑥 puissance neuf plus un sur neuf plus un plus 𝐶. Cela donne moins 𝑥 puissance 10 sur 10 moins 𝐶.

Moins 𝐶 n’est en fait qu’une autre constante. On peut donc l’appeler 𝐷. Nous avons maintenant obtenu la solution finale. L’intégrale indéfinie de moins 𝑥 puissance neuf par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑥 puissance 10 sur 10 plus 𝐷.

Voyons maintenant comment intégrer une fonction polynomiale. Nous savons que la dérivée d’une somme de fonctions 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥, est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. Soit 𝑑 de 𝑓 de 𝑥 sur d𝑥 plus 𝑑 de 𝑔 de 𝑥 sur d𝑥. On en déduit que l’intégrale d’une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.

En utilisant cette propriété, nous pouvons séparer les intégrales de fonctions polynomiales en intégrales de fonctions puissances. Par exemple, l’intégrale de 𝑥 au carré plus 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l’intégrale de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous savons déjà comment intégrer les fonctions puissances du membre droit. Avec cette propriété, nous pouvons donc intégrer n’importe quelle fonction polynomiale. Étudions maintenant un exemple.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 25𝑥 carré moins 65𝑥 plus 36 par rapport à 𝑥.

Commençons par séparer cette intégrale en utilisant le fait que l’intégrale d’une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales des fonctions. On obtient que l’intégrale initiale est égale à l’intégrale de 25𝑥 au carré par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de moins 65𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de 36 par rapport à 𝑥. On peut sortir la constante de chaque intégrale. Puis utiliser la formule de la primitive d’une puissance qui stipule que l’intégrale de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶.

Pour la première intégrale, 𝑛 égale deux. Par conséquent, elle est égale à 25 fois 𝑥 au cube sur trois plus une constante que l’on appelle 𝐶 un. Pour la deuxième intégrale, on intègre 𝑥. 𝑥 égale 𝑥 puissance un. Par conséquent, 𝑛 égale un. L’intégrale est donc égale à moins 65 fois 𝑥 au carré sur deux plus une constante que l’on appelle 𝐶 deux. Pour la troisième intégrale, on intègre un. Un est également 𝑥 puissance zéro. La valeur de 𝑛 est donc zéro. L’intégrale est alors égale à 36 fois 𝑥 puissance un sur un plus une constante que l’on appelle 𝐶 trois.

En développant et en simplifiant, on obtient 25𝑥 cube sur trois moins 65𝑥 carré sur deux plus 36𝑥 plus 25 𝐶 un moins 65 𝐶 deux plus 36 𝐶 trois. Comme 𝐶 un, 𝐶 deux et 𝐶 trois sont toutes des constantes, 25 𝐶 un moins 65 𝐶 deux plus 36 𝐶 trois est également une constante. Et on peut la renommer 𝐶. Nous arrivons donc à la solution. L’intégrale indéfinie de 25𝑥 carré moins 65𝑥 plus 36 par rapport à 𝑥 est égale à 25𝑥 au cube sur trois moins 65𝑥 au carré sur deux plus 36𝑥 plus 𝐶.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment nous pouvons simplement intégrer une fonction polynomiale sans la séparer en intégrales individuelles.

Déterminez l’intégrale indéfinie de 𝑥 moins six fois 𝑥 moins cinq fois moins trois.

Commençons par développer les parenthèses. En développant les deux premiers ensembles de parenthèses, on obtient 𝑥 carré moins 11𝑥 plus 30. Et on multiplie ensuite cela par 𝑥 moins trois. On obtient l’intégrale indéfinie de 𝑥 cube moins 14𝑥 carré plus 63𝑥 moins 90, qui est en fait une fonction polynomiale. Et nous pouvons utiliser la formule de la primitive d’une puissance pour l’intégrer terme par terme. La formule de la primitive d’une puissance stipule que l’intégrale de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Si on intègre plutôt 𝑥 puissance 𝑛 multiplié par une constante 𝑎, on peut sortir la constante de l’intégrale et cela donne simplement 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶.

Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’avons pas multiplié 𝐶 par 𝑎. C’est parce que 𝑎 est également une constante. Par conséquent, 𝑎 fois 𝐶 est une constante. Et on peut simplement renommer cette nouvelle constante, 𝐶. Appliquons maintenant cette formule à notre intégrale terme par terme. Le premier terme est 𝑥 au cube. Donc 𝑛 égale trois. On augmente la puissance d’une unité et on divise par la nouvelle puissance pour obtenir 𝑥 puissance quatre sur quatre. Le terme suivant est moins 14𝑥 au carré. Le moins 14 est une constante. Donc on la conserve. La puissance est deux. Donc 𝑛 égale deux. On augmente la puissance d’une unité pour obtenir 𝑥 au cube et on divise par la nouvelle puissance.

Le terme suivant est 63𝑥. On peut donc commencer par écrire la constante 63. On remarque ensuite que 𝑥 égale 𝑥 puissance un. Donc 𝑛 égale un. Lorsqu’on l’intègre, on obtient 𝑥 carré sur deux. Le dernier terme est moins 90. Et nous savons que cela peut également être considéré comme moins 90 fois 𝑥 puissance zéro car 𝑥 puissance zéro égale un. On peut maintenant l’intégrer. On commence par écrire la constante moins 90. Comme la puissance de 𝑥 est zéro, on augmente la puissance de un, ce qui donne 𝑥 puissance un, et on divise par la nouvelle puissance. Cela revient à diviser par un. Il ne manque plus que la constante d’intégration 𝐶.

Nous pouvons donc simplifier pour obtenir la solution qui est 𝑥 puissance quatre sur quatre moins 14𝑥 cube sur trois plus 63𝑥 carré sur deux moins 90𝑥 plus 𝐶.

Rappelons rapidement que la formule de la primitive d’une puissance fonctionne pour tout réel 𝑛 sauf moins un. Elle inclut donc les puissances négatives et non entières de 𝑥.

Les exemples suivants montrent quelques applications de cela.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins deux sur sept fois 𝑥 puissance moins neuf par rapport à 𝑥.

Cette intégrale ne contient qu’une fonction puissance. Nous pouvons donc utiliser la formule de la primitive d’une puissance afin de la calculer. La formule stipule que l’intégrale indéfinie de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Dans ce cas, on intègre moins deux sur sept 𝑥 puissance moins neuf par rapport à 𝑥. Donc la puissance de 𝑥 est moins neuf. On commence par écrire la constante qui est moins deux sur 7.

Comme la valeur de 𝑛 est moins neuf, on doit ensuite écrire 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un. Cela donne 𝑥 puissance moins neuf plus un, soit 𝑥 puissance moins huit, sur moins neuf plus un. Soit moins huit. On ne doit pas oublier d’ajouter la constante d’intégration 𝐶. On termine par simplifier l’expression. Et nous obtenons la solution: l’intégrale indéfinie de moins deux sur 7 fois 𝑥 puissance moins neuf par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance moins huit sur 28 plus 𝐶.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment intégrer une fonction avec des puissances non entières de 𝑥.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins quatre racine cinquième de 𝑥 puissance neuf plus huit multiplié par racine cinquième de 𝑥 carré par rapport à 𝑥.

Commençons par écrire ces racines comme des puissances. Nous savons que racine 𝑛-ième de 𝑥 est égale à 𝑥 puissance un sur 𝑛. Une fois que nous avons écrit les racines en tant que puissances, nous pouvons les combiner avec les puissances existantes, en utilisant le fait que 𝑥 𝑛 puissance 𝑚 est égal à 𝑥 puissance 𝑛 fois 𝑚. Par conséquent, 𝑥 puissance neuf puissance un sur 5 devient 𝑥 puissance neuf sur 5. Et 𝑥 carré puissance un sur 5 devient 𝑥 puissance deux sur 5. On peut développer les parenthèses, en utilisant le fait que 𝑥 puissance 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑚 est égal à 𝑥 puissance 𝑛 plus 𝑚. Par conséquent, l’intégrale devient l’intégrale de moins quatre 𝑥 puissance onze sur 5 plus huit 𝑥 puissance deux sur 5 par rapport à 𝑥.

Nous pouvons alors utiliser la formule de la primitive d’une puissance qui stipule que l’intégrale indéfinie de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶. Nous pouvons l’appliquer à notre intégrale terme par terme. Pour le premier terme, on a moins quatre 𝑥 puissance onze sur 5. Par conséquent, 𝑛 égale onze sur 5. En intégrant ce terme, on obtient moins quatre fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur plus un. Et 𝑛 plus un égale seize sur 5. On a donc 𝑥 puissance seize sur 5. Que l’on doit diviser par 𝑛 plus un. C’est-à-dire par seize sur 5.

Pour le second terme, on a huit 𝑥 puissance deux sur 5. Par conséquent, 𝑛 égale deux sur 5. On ajoute donc huit 𝑥 puissance 𝑛 plus un, qui est puissance sept sur 5. Puis on divise par sept sur 5. Et on ne doit pas oublier d’ajouter la constante d’intégration 𝐶. Tout ce qui reste maintenant à faire est de simplifier. Nous obtenons donc la solution : l’intégrale indéfinie de moins quatre racine cinquième de 𝑥 puissance neuf plus huit multiplié par racine cinquième de 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 égale moins cinq 𝑥 puissance seize sur 5 sur quatre plus 40 𝑥 puissance sept sur 5 sur sept plus 𝐶.

Nous avons maintenant couvert des exemples variés d’intégrales indéfinies de fonctions puissances. Récapitulons quelques points clés de cette vidéo. Points clés. L’intégrale indéfinie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand de 𝑥 plus 𝐶 où grand 𝐹 de 𝑥 est une primitive de 𝑓 de 𝑥 et 𝐶 est une constante. Formule de la primitive d’une puissance. L’intégrale indéfinie de 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus 𝐶 pour tout nombre réel 𝑛 à l’exception de moins un.

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