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Déterminez l’équation d’une courbe qui passe par le point zéro, zéro et qui, pour chaque point 𝑎, 𝑏 de la courbe, la pente de la tangente en ce point est de moins trois 𝑥 à la puissance cinq multiplié par la racine neuvième de 𝑥 à la puissance huit.
Dans cette question, on nous donne la fonction de pente ou d𝑦 sur d𝑥, qui est égale à moins trois 𝑥 à la puissance cinq multiplié par la racine neuvième de 𝑥 à la puissance huit. Nous savons que pour trouver l’équation de la courbe, nous devons intégrer cette function de pente. Cependant, avant de faire cela, nous allons essayer de simplifier l’expression de d𝑦 sur d𝑥. Nous commençons par rappeler l’une des lois sur les exposants. Elle dit que la racine 𝑛-ième de 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance un sur 𝑛. Nous pouvons donc réécrire le deuxième terme de notre expression comme 𝑥 à la puissance huit élevée à la puissance un neuvième.
Ensuite, nous rappelons la règle des puissances des exposants. Elle indique que 𝑥 à la puissance 𝑎 élevée à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑏. En multipliant huit par un neuvième, notre expression se simplifie en moins trois 𝑥 à la puissance cinq multiplié par 𝑥 à la puissance huit neuvièmes. Enfin, nous rappelons que 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Nous devons ajouter les exposants cinq et huit neuvièmes. Puisque cinq peut être réécrit comme quarante-cinq neuvièmes, nous avons quarante-cinq neuvièmes plus huit neuvièmes. Cela équivaut à cinquante-trois neuvièmes.
Notre expression de la fonction de la pente d𝑦 sur d𝑥 se simplifie en moins trois 𝑥 à la puissance cinquante-trois neuvièmes. Nous sommes maintenant en mesure d’intégrer cette expression pour trouver l’équation de la courbe. 𝑦 est égale à la primitive de moins trois 𝑥 à la puissance cinquante-trois neuvièmes par rapport à 𝑥. La règle des puissances de l’intégration stipule que l’intégrale de 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝐶. Ajouter un, ou neuf neuvièmes, à la puissance nous donne soixante-deux neuvièmes. 𝑦 est donc égal à moins trois 𝑥 à la puissance 62 sur neuf divisé par 62 sur neuf plus 𝐶. Cela se simplifie en 𝑦 est égal à moins 27𝑥 à la puissance 62 sur neuf le tout divisé par 62 plus la constante d’intégration 𝐶.
La prochaine étape consiste à trouver la valeur de la constante d’intégration 𝐶. On nous dit que la courbe passe par l’origine, le point de coordonnées zéro, zéro. En substituant 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à zéro dans l’équation, nous voyons que 𝐶 est également égal à zéro. Nous pouvons donc en conclure que l’équation de la courbe est 𝑦 égale moins 27𝑥 à la puissance 62 sur neuf divisé par 62.
