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Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un inscriptible ?
Un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets sont inscrits sur un cercle. Une façon de prouver qu’un quadrilatère est inscriptible est de vérifier les angles formés avec les diagonales. Par exemple, si nous pouvions démontrer que la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 était égale à la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶, cela montrerait que 𝐴𝐵𝐶𝐷 était inscriptible. Une autre paire d’angles que nous pourrions vérifier serait la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵 et la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵. Montrer que ces deux mesures d’angle sont égales montrerait que le quadrilatère est inscriptible. Mais regardons la première paire d’angles. Cela signifie que nous devons calculer la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶.
Nous avons ici un triangle 𝐵𝐶𝐸, ce qui nous aidera, mais bien sûr nous avons besoin de deux angles pour trouver celui qui manque. Utiliser le fait que les angles sur une droite font 180 degrés nous permettra de calculer cette mesure d’angle de 𝐶𝐸𝐵. Ce sera 180 degrés moins 83 degrés, ce qui nous laisse avec 97 degrés. Maintenant, nous avons les deux angles dans le triangle, nous pouvons calculer cette mesure d’angle inconnue de 𝐷𝐵𝐶.
Vu que nous savons que les mesures d’angle dans un triangle font 180 degrés, nous avons 41 degrés plus 97 degrés plus la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶 est égale à 180 degrés. En simplifiant le membre de gauche, nous avons 138 degrés plus la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶 est de 180 degrés. Lorsque nous soustrayons 138 degrés des deux membres, cela nous laisse avec la mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶 qui est de 42 degrés. Cela montre maintenant que nous avons deux mesures d’angle égales. La mesure de l’angle 𝐷𝐵𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶. Et donc, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible.
Nous aurions également pu examiner l’autre paire d’angles. Et nous pouvons choisir cette paire d’angles aux diagonales parce qu’on nous a donné la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴. En utilisant la droite 𝐴𝐶, nous aurions pu déterminer que cette mesure d’angle à 𝐷𝐸𝐴 est également de 97 degrés. L’utilisation du triangle 𝐴𝐸𝐷 et le fait que les angles font 180 degrés nous auraient permis de montrer que l’angle 𝐴𝐷𝐵 est de 41 degrés. Cela montrerait également qu’un angle formé avec une diagonale et un côté est égal à l’angle formé avec l’autre diagonale et le côté opposé. Notez que nous n’avons pas besoin de montrer que les deux paires d’angles sont superposables. Un seul de ces éléments est suffisant pour prouver que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscriptible. Et donc, nous pouvons donner la réponse oui, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible.
