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Déterminez le troisième terme dans le développement du binôme 10𝑥 au carré plus deux sur trois 𝑥 à la puissance quatre.
Ici, nous avons un binôme, une expression à deux termes, élevé à la puissance quatre. Alors, nous allons citer la formule du binôme de Newton pour nous faciliter la tâche. Elle dit que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛, avec 𝑛 entier positif, est égal à la somme de 𝑘 allant de zéro à 𝑛 de C 𝑛 𝑛 fois 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑘 fois 𝑏 puissance 𝑘. Maintenant, cela peut être assez fastidieux à traiter, nous pouvons donc passer à la forme développée. On obtient 𝑎 puissance 𝑛 plus C 𝑛 un 𝑎 puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 plus C 𝑛 deux 𝑎 puissance 𝑛 moins deux 𝑏 au carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑏 puissance 𝑛. Remarquez comment nous réduisons de un l’exposant de 𝑎 à chaque fois et nous augmentons l’exposant de 𝑏.
Comparons notre binôme à la forme générale. Nous pouvons voir et poser 𝑎 égal à 10𝑥 au carré. 𝑏 étant le deuxième terme de notre binôme, deux sur trois 𝑥. Et 𝑛 est l’exposant ; il est quatre. Maintenant, nous n’allons pas effectuer le développement complet de cette expression. Nous cherchons simplement le troisième terme. Il s’agit de C 𝑛 deux 𝑎 puissance 𝑛 moins deux fois 𝑏 au carré. C 𝑛 deux sera C quatre deux. 𝑎 puissance 𝑛 moins deux est 10𝑥 au carré à la puissance quatre moins deux. Et 𝑏 puissance deux est deux sur trois 𝑥 le tout au carré.
Ensuite, nous calculerons C quatre deux. Nous rappelons que la formule de C 𝑛 𝑟 est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Et cela signifie que C quatre deux est factorielle quatre sur factorielle deux fois factorielle quatre moins deux ou factorielle quatre sur factorielle deux fois factorielle deux. Nous pouvons écrire factorielle quatre comme quatre fois trois fois deux fois un. Et nous pouvons écrire factorielle deux comme deux fois un. Puis nous remarquons que nous pouvons diviser notre numérateur et notre dénominateur par quatre. Nous nous retrouvons donc avec trois fois deux fois un sur un fois un. C’est simplement six sur un, ce qui fait six.
Nous pouvons également simplifier la deuxième partie de notre expression puisque quatre moins deux font deux. Nous avons donc six fois 10𝑥 au carré fois deux sur trois 𝑥 au carré. En distribuant le deux sur 10 et sur le 𝑥 au carré nous obtenons 100𝑥 puissance quatre. Nous savons que 10 au carré est 100 et ici nous multiplions les exposants. De même, avec deux sur trois 𝑥, nous mettons le numérateur et le dénominateur au carré. Nous obtenons donc quatre sur neuf 𝑥 au carré. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons simplifier par trois et par 𝑥 au carré. Alors deux fois 100 fois quatre font 800. Nous avons donc 800𝑥 au carré sur trois.
Et nous avons trouvé le troisième terme dans le développement de 10𝑥 au carré plus deux sur trois 𝑥 à la puissance quatre. C’est 800 sur trois 𝑥 au carré.
