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Déterminez la mesure de l'angle entre le vecteur 𝐚 neuf, 10, moins quatre et le vecteur unitaire 𝐣. Arrondissez votre réponse au degré près.
Nous avons ici deux vecteurs : le vecteur 𝐚 et le vecteur unitaire 𝐣. Et nous devons déterminer la mesure de l’angle entre ces deux vecteurs. En arrondissant notre réponse au degré près. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler comment calculer la mesure de l’angle entre deux vecteurs. Si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Nous pouvons utiliser cette formule pour calculer la mesure de l’angle 𝜃. Il suffit simplement d’appliquer la réciproque du cosinus aux deux membres de l’équation.
Et il convient de souligner ici que puisque l’ensemble image de la fonction réciproque du cosinus va de zéro à 180 degrés, la réciproque donne toujours le plus petit angle entre les vecteurs 𝐮 et 𝐯. Pour calculer la mesure de l’angle entre les deux vecteurs qui nous sont donnés, nous allons donc devoir calculer leur produit scalaire et leur norme. Commençons par calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. Et nous allons pour cela écrire le vecteur unitaire 𝐣 en fonction de ses composantes.
Nous connaissons la norme et la direction de ce vecteur. Sa norme est égale à un car il s’agit d’un vecteur unitaire et sa direction est 𝐣. Qui correspond à la direction de la deuxième composante. Ce vecteur est donc le vecteur zéro, un, zéro. Par conséquent, le produit scalaire entre 𝐚 et 𝐣 est égal au produit scalaire entre le vecteur neuf, 10, moins quatre et le vecteur zéro, un, zéro.
Mais nous avons pour cela besoin de la formule du produit scalaire. Il est égal à la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs. Pour nos deux vecteurs, cela fait neuf fois zéro plus 10 fois un plus moins quatre fois zéro. Ce qui signifie que le premier et le troisième termes sont tous les deux égaux à zéro. Donc le produit scalaire de 𝐚 et 𝐣 est égal à 10.
Nous allons maintenant calculer la norme de ces deux vecteurs. Commençons par la norme de 𝐚. On rappelle pour cela que la norme d’un vecteur est égal à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. En d’autres termes, la norme du vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal à racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. Nous pouvons l’utiliser pour calculer la norme du vecteur 𝐚. Elle est égale à racine carrée de neuf au carré plus 10 au carré plus moins quatre au carré. Et en calculant l’expression sous la racine carrée, on trouve que la norme de 𝐚 est égale à racine carrée de 197.
Nous pourrions alors faire exactement la même chose pour trouver la norme de 𝐣. Mais cela n’est pas nécessaire. Nous savons déjà qu’il s’agit d’un vecteur unitaire. Ce qui signifie que sa norme doit être égale à un. Par convention, les vecteurs unitaires sont souvent appelés 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Ils représentent les vecteurs unitaires dans les trois directions de l’espace. Nous sommes maintenant prêts à calculer 𝜃 puisque nous connaissons le produit scalaire de ces deux vecteurs et leur norme.
D’après la formule, cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐚 et 𝐣 divisé par la norme de 𝐚 fois la norme de 𝐣. Nous pouvons donc à présent substituer les valeurs du produit scalaire de 𝐚 et 𝐣 et de leurs normes. Et obtient cosinus de 𝜃 égale 10 divisé par racine carrée de 197 fois un. Nous pouvons ensuite calculer la valeur de 𝜃. Tout d’abord, diviser par un ne change pas la valeur. Et ensuite, on peut appliquer la réciproque du cosinus aux deux membres de l’équation. Puisque nous devons donner une réponse au degré près, nous devons nous assurer que la calculatrice est bien paramétrée en mode degrés.
Cela nous donne 𝜃 égale cosinus moins un de 10 sur racine carrée de 197, ce qui est égal à 44,56 degrés. Nous devons cependant donner une réponse au degré près. Et on remarque pour cela que le premier chiffre après la virgule est cinq. Nous devons donc arrondir à l’excès, ce qui nous permet de conclure que l’angle entre le vecteur 𝐚 neuf, 10, moins quatre et le vecteur unitaire 𝐣 mesure 45 degrés au degré près.
