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Utilisez des dérivées pour déterminer lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré plus trois ? Réponse (A), (B), (C), (D) ou (E).
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de déterminer laquelle des cinq courbes données représente la courbe de cette fonction. Le moyen le plus simple de répondre à cette question est d’éliminer les réponses en utilisant les propriétés de la fonction. Par exemple, nous pouvons déterminer l’intersection de la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 avec l’axe des 𝑦 en utilisant 𝑥 est égal à zéro dans la fonction. Si nous faisons cela, nous obtenons 𝑓 de zéro est égal à zéro au cube plus deux fois zéro au carré plus trois, que nous pouvons calculer et cela donne trois. Par conséquent, l’ordonnée à l’origine de la courbe de cette fonction doit être de trois. Nous pouvons voir que la réponse (A) n’a pas une ordonnée à l’origine de trois. La réponse (C) n’a pas une ordonnée à l’origine de trois. La réponse (D) n’a pas non plus une ordonnée à l’origine de trois.
Nous pouvons continuer à utiliser cette logique pour déterminer laquelle des deux options données est correcte, la réponse (B) ou la (E). Une façon de le faire est de noter que dans la réponse (B), l’intersection avec l’axe des 𝑥 est moins un. Cela signifie que 𝑓 de moins un devrait être nul. Si nous utilisons moins un pour la fonction 𝑓 de 𝑥, nous obtenons moins un au cube plus deux fois moins un au carré plus trois. Nous pouvons calculer ceci et cela donne quatre. Par conséquent, 𝑥 est égal à moins un n’est pas l’intersection avec l’axe des 𝑥 de la courbe 𝑓 de 𝑥. Ainsi, la réponse (B) ne peut pas être correcte. Cela suffit alors pour conclure que la réponse (E) doit être le graphique correct.
Cependant, il y a quelques problèmes avec cette méthode. Tout d’abord, cela nous oblige à avoir des options pour pouvoir utiliser le processus d’élimination. Deuxièmement, la question nous demande spécifiquement d’utiliser des dérivées et nous n’avons pas utilisé de dérivées pour trouver la courbe de cette fonction. De plus, il s’agit d’une compétence très utile pour pouvoir esquisser des graphiques de fonctions. Alors, essayons de répondre à cette question en traçant la courbe de 𝑓 de 𝑥. Nous ferons cela en analysant la fonction donnée 𝑓 de 𝑥. Commençons par effacer les cinq réponses données et notons que nous avons déjà montré que l’ordonnée à l’origine de ce graphique devrait être de trois.
La prochaine chose que nous pouvons remarquer est que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme. En particulier, le degré le plus élevé de 𝑥 est trois. Il s’agit donc d’un polynôme de degré trois, appelé cubique. Cela nous permet de déterminer le domaine et l’ensemble image de notre fonction. Premièrement, le domaine d’un polynôme est constitué de toutes les valeurs réelles de 𝑥. Cela signifie que lorsque nous traçons notre fonction, nous le faisons pour toutes les valeurs de 𝑥. Deuxièmement, nous pouvons nous rappeler que les polynômes cubiques ont un comportement opposé aux limites. Cela signifie que l’ensemble image de la fonction cubique sera toujours constitué de toutes les valeurs réelles. Nous pourrions maintenant essayer de déterminer les racines de la fonction 𝑓 de 𝑥. Une façon de le faire serait d’utiliser les valeurs de 𝑥 dans la fonction et de voir lesquelles sont proches de zéro.
Par exemple, nous pouvons calculer 𝑓 en moins trois, moins deux, moins un et zéro. Nous trouverions que 𝑓 de moins trois est moins six, 𝑓 de moins deux est trois, 𝑓 de moins un est quatre et 𝑓 de zéro est trois. Nous pouvons voir que les images de la fonction changent de signe entre 𝑥 est égal à moins deux et 𝑥 est égal à moins trois. Nous pouvons conclure que cela signifie qu’il y a une racine entre 𝑥 est égal à moins deux et 𝑥 est égal à moins trois.
Nous pourrions analyser les comportements limites de la fonction pour déterminer qu’il s’agit de la seule racine. Cependant, ce n’est pas le seul moyen ; nous pouvons aussi utiliser des dérivées. Puisque la question nous a demandé d’utiliser des dérivées, nous allons utiliser cette méthode. Nous allons simplement noter que nous avons montré qu’il existe une racine, ou une intersection avec l’axe des 𝑥, pour le graphique entre 𝑥 est égal à moins trois et 𝑥 est égal à moins deux.
Pour utiliser les dérivées afin d’analyser cette fonction, nous devons trouver la dérivée première de 𝑓 de 𝑥. Nous ferons cela en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions chaque terme par l’exposant 𝑥 puis le réduisons de un. Cela nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥. Il y a plusieurs choses différentes pour lesquelles nous pouvons utiliser la dérivée première d’une fonction pour déterminer son graphique. Tout d’abord, nous rappelons que les points critiques d’une fonction sont les points où la dérivée n’est pas définie ou là où elle est égale à zéro. Dans le cas des polynômes, la dérivée existe toujours. Ainsi, les seuls points critiques seront lorsque sa dérivée première donne zéro. Nous voulons trouver trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 est égal à zéro.
Nous pouvons le faire en isolant le facteur commun de 𝑥 du côté gauche de l’équation. Cela nous donne que 𝑥 fois trois 𝑥 plus quatre est égal à zéro. Maintenant, nous pouvons résoudre cette équation en calculant chaque facteur égal à zéro. Nous obtenons 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à moins quatre sur trois. Ce sont les coordonnées 𝑥 des deux points critiques de notre fonction où sa pente est nulle. Cela signifie que ce seront les points où le graphique de la fonction change de variation. Nous pouvons trouver les coordonnées exactes de ces points en utilisant ces valeurs dans notre fonction 𝑓 de 𝑥.
Premièrement, nous avons déjà calculé 𝑓 en zéro ; son image était de trois. Ainsi, l’un de nos points critiques sera l’ordonnée à l’origine zéro, trois. Ensuite, si nous calculons 𝑓 en moins quatre sur trois, nous obtenons 113 sur 27, dont le développement décimal donne 4,185 périodique. Ceci est trop spécifique pour être exact dans notre graphique. Cependant, il convient de noter où se situent les points critiques et il peut être souvent utile de les écrire sous la forme décimale, nous avons donc le point moins 1,3 périodique, 4,185 périodique.
Avant de passer à la dérivée seconde, nous pouvons également rappeler que ce n’est pas la seule chose que nous pouvons utiliser avec la dérivée première. Nous pourrions également déterminer les intervalles de croissance et de décroissance du graphique de la fonction en utilisant le signe de sa dérivée première. La façon la plus simple de le faire est de tracer le graphique de trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥. Nous ferons cela en utilisant sa forme factorisée.
Nous avons une expression du second degré avec un coefficient dominant positif et nous avons ses deux racines en zéro et moins quatre sur trois. Son graphique ressemble à ceci. Maintenant, nous pouvons facilement voir que lorsque 𝑥 est compris entre zéro et moins quatre sur trois, le signe de la dérivée première est négatif. Lorsque 𝑥 est inférieur à moins quatre sur trois ou supérieur à zéro, le signe de la dérivée première est positif.
Par conséquent, nous avons montré que la courbe de 𝑓 de 𝑥 croît lorsque 𝑥 est inférieur à moins quatre sur trois ou 𝑥 est supérieur à zéro et décroît lorsque 𝑥 est compris entre moins quatre sur trois et zéro.
Examinons maintenant la dérivée seconde de notre fonction. Cela permettra de mesurer le taux de variation de la dérivée première. Elle mesure le taux de variation de la pente de la courbe. Nous pouvons l’utiliser pour déterminer la convexité de la courbe. Nous trouvons 𝑓 double prime de 𝑥 en dérivant 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥 terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous obtenons 𝑓 double prime de 𝑥 est égal à six 𝑥 plus quatre.
Nous pouvons déterminer quand la courbe est concave en déterminant quand sa dérivée seconde est positive, c’est-à-dire quand la pente de la courbe augmente. Nous devons calculer six 𝑥 plus quatre est supérieur à zéro. Nous pouvons résoudre cette inégalité en soustrayant quatre des deux côtés, en divisant par six et en simplifiant. Nous obtenons que 𝑥 doit être supérieur à moins deux sur trois.
Par conséquent, lorsque 𝑥 est supérieur à moins deux sur trois, la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est positive, sa pente augmente. En d’autres termes, la courbe est concave. Sur cet intervalle, toutes les droites tangentes se trouveront sous la courbe. Nous pouvons faire la même chose pour déterminer où la courbe est convexe. Nous voulons calculer six 𝑥 plus quatre est inférieur à zéro et nous voyons que nous obtenons 𝑥 est inférieur à moins deux sur trois. Ainsi, sur cet intervalle, les droites tangentes se situeront au-dessus de la courbe puisque la pente de la courbe augmente sur cet intervalle.
Il y a une dernière chose que nous pouvons remarquer. La convexité de la courbe change lorsque 𝑥 est égal à moins deux sur trois. Nous appelons les points sur la courbe où sa convexité change des points d’inflexion. Ainsi, la courbe a un point d’inflexion lorsque 𝑥 est égal à moins deux sur trois. Nous pourrions déterminer les coordonnées exactes de ce point d’inflexion en utilisant moins deux tiers dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Cependant, cela n’est pas nécessaire.
Il y a une dernière chose que nous pouvons analyser à propos de notre fonction sans utiliser de dérivées. Nous pourrions examiner le comportement final de la courbe. Nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est un polynôme cubique avec un coefficient dominant positif. Ainsi, lorsque les valeurs de 𝑥 approchent ∞, les images approcheront ∞. Lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers moins ∞, les images approcheront également moins ∞. Cela concorde avec notre analyse de la dérivée première.
Nous pouvons maintenant utiliser toutes ces informations pour tracer notre courbe. Tout d’abord, commençons par les deux axes de coordonnées, nous pouvons ajouter les deux points critiques sur notre courbe. Cela inclut également l’ordonnée à l’origine en zéro, trois. Nous savons que la pente de notre fonction sera nulle lorsqu’elle passera par ces deux points. Nous savons également qu’il n’y a plus de points de changement de variation pour la courbe. Lorsque 𝑥 approche ∞, les images de notre fonction approchent ∞. De même, lorsque les valeurs de 𝑥 approchent moins ∞, les images approchent moins ∞.
Nous pouvons également écrire quelques autres informations clés sur ce diagramme. Par exemple, nous avons montré que la seule intersection avec l’axe des 𝑥 de cette courbe sera comprise entre moins deux et moins trois. Nous pourrions également marquer les coordonnées du point d’inflexion de cette courbe. Cependant, comme mentionné précédemment, ce n’est pas strictement nécessaire car nous savons déjà que cela correspond a graphique (E). Par conséquent, en utilisant des dérivées, nous avons pu identifier que le graphique correct de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré plus trois a été donné dans l’option (E).
