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La puissance d’une machine est donnée par la relation 𝑃 est égale à trois 𝑡 plus sept, où 𝑡 est le temps écoulé en secondes. Déterminez le travail effectué par la machine au cours des huit premières secondes.
Dans cette question, on nous donne une expression pour la puissance d’une machine 𝑃 en fonction du temps 𝑡. Elle est égale à trois 𝑡 plus sept. On nous demande de trouver le travail effectué par la machine. Puisque la puissance fournie par une force est la dérivée par rapport au temps du travail effectué, nous pouvons trouver une expression pour le travail effectué en intégrant notre expression de la puissance par rapport à 𝑡. Dans cette question, 𝑤 est égale à l’intégrale de trois 𝑡 plus sept par rapport à 𝑡.
Comme nous nous intéressons au travail effectué par la machine au cours des huit premières secondes, nous aurons une intégrale définie, où notre borne inférieure est égale à zéro et notre borne supérieure est huit. L’intégration terme par terme nous donne trois 𝑡 au carré sur deux plus sept 𝑡. Et comme nous traitons une intégrale définie, il n’y aura pas de constante d’intégration. Ensuite, nous pouvons utiliser les valeurs des bornes supérieure et inférieure puis trouver une différence entre ces valeurs. Ceci équivaut à 96 plus 56 moins zéro plus zéro, ce qui donne 152. Comme on ne nous donne pas les unités de puissance dans la question, nous pouvons conclure que le travail effectué par la machine au cours des huit premières secondes est de 152 unités de travail.
Une autre méthode pour répondre à cette question serait de dessiner la relation 𝑃 égale trois 𝑡 plus sept. Notre fonction pour la puissance est linéaire, nous avons donc un graphe en ligne droite où l’ordonnée à l’origine est égale à sept et la pente ou coefficient directeur égal à trois. Le travail effectué est égal à l’aire délimité par notre droite, l’axe des 𝑥 et les droites verticales 𝑡 égale à zéro et 𝑡 égale à huit. Ceci forme un trapèze. Et nous savons que son aire est égale à 𝑎 plus 𝑏 sur deux multipliée par ℎ, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés parallèles et ℎ est la distance perpendiculaire entre eux.
Lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑃 est égal à trois multiplié par zéro plus sept, ce qui est égal à sept. C’est l’ordonne à l’origine comme déjà mentionné. Lorsque 𝑡 est égal à huit, 𝑃 est égal à trois multiplié par huit plus sept, ce qui est égal à 31. L’aire de notre trapèze est donc égale à sept plus 31 divisé par deux multiplié par huit. Ceci équivaut à 19 fois huit, ce qui donne 152. Et ceci confirme que le travail effectué par la machine au cours des huit premières secondes est de 152 unités de travail.
