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La population d’une ville a été estimée à cinq septièmes millions d’habitants en 2010 et à cinq millions d’habitants en 2016. La croissance de la population est representee par une suite arithmétique. Déterminez le taux d’accroissement de la population, sachant que l’augmentation est constante.
Dans cette question, on nous dit que nous avons une suite arithmétique. Il s’agit d’un type spécial de suite qui a une difference commune, appelée raison, entre chaque terme. Par exemple, la suite deux, sept, 12, 17, etc a une raison de cinq, car nous ajoutons cinq à chaque fois pour obtenir le terme suivant. Le terme général de toute suite arithmétique, écrit 𝑎 indice 𝑛, est égal à 𝑎 indice un plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑑, où 𝑎 indice un est le premier terme de la suite et 𝑑 est la raison. La question nous demande de trouver cette raison.
Dans cette question, on nous dit que la population initiale en 2010 était de cinq septièmes millions. Ainsi, nous allons poser 𝑎 indice un, le premier terme, comme étant cinq-septièmes. On nous dit également que la population en 2016 était de cinq millions d’habitants. Nous pouvons voir que cela correspondrait au septième terme de la suite. Cela signifie que 𝑎 indice sept est égal à cinq. Nous pouvons maintenant substituer nos valeurs dans la formule du terme général. Le septième terme cinq est égal à cinq septièmes plus sept moins un multiplié par 𝑑. Le côté droit se simplifie en cinq septièmes plus six 𝑑.
En notant que nous pouvons écrire cinq comme 35 sur sept, lorsque nous soustrayons cinq septièmes des deux côtés de notre équation, nous obtenons trente septièmes est égal à six 𝑑. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par six, ce qui nous donne 𝑑 est égal à 30 sur 42. Le numérateur et le dénominateur de notre fraction sont tous deux divisibles par six. Puisque 30 divisé par six vaut cinq et 42 divisé par six vaut sept, la fraction se simplifie en cinq septièmes.
Nous pouvons donc conclure que la raison qui représente la croissance annuelle de la population est de cinq septièmes millions.
