Vidéo de la leçon: Applications des suites arithmétiques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à résoudre des problèmes concrets impliquant des suites arithmétiques. Nous verrons comment trouver la raison, le terme général et le rang ou la valeur d’un terme spécifique d’une suite arithmétique.

Commençons par rappeler ce qu’est une suite arithmétique. Eh bien, il s’agit d’une liste ordonnée de termes dans lesquels la différence entre deux termes consécutifs est constante. Par exemple, la table de multiplication de quatre : quatre, huit, 12, 16 etc., est une suite arithmétique car la différence entre tous les termes consécutifs est égale à quatre. On appelle cette différence la raison et on la désigne par la lettre r. On utilise souvent la lettre 𝑎 pour représenter le premier terme de la suite et il existe une formule permettant de calculer le terme général, ou terme de rang 𝑛, qui est 𝑎 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r.

Cela nous indique que pour calculer tout terme de la suite, on prend le premier terme et on y ajoute 𝑛 moins une fois la raison r, ce qui est logique si on y réfléchit. Pour trouver le deuxième terme, on doit en effet ajouter la raison une fois. Pour trouver le troisième terme, on doit ajouter la raison deux fois, donc on ajoute toujours la raison une fois de moins que le rang du terme. Il existe également une formule permettant de calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique. 𝑆 𝑛 est égale à 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un r où 𝑎 est à nouveau le premier terme de la suite et r sa raison.

Voici donc les bases sur les suites arithmétiques que vous devriez déjà connaître. Voyons maintenant comment nous pouvons appliquer ces formules à des problèmes du monde réel. Dans le premier exemple, nous allons voir comment calculer un terme spécifique d’une suite arithmétique décrite par une situation de la vie courante.

Le programme d’entraînement de Manon dure six minutes le premier jour et augmente de quatre minutes chaque jour. Quelle sera la durée de l’entraînement de Manon le 18e jour ?

Nous pouvons voir que Manon augmente son entraînement de la même durée de quatre minutes chaque jour. Cela signifie que la durée de son entraînement quotidien forme une suite arithmétique avec une raison de quatre. Il est également indiqué que Manon passe six minutes à s’entraîner le premier jour de son programme, ce qui signifie que le premier terme de cette suite arithmétique 𝑎 est égal à six. Nous avons donc toutes les informations dont nous avons besoin pour écrire autant de termes de la suite que nous le souhaitons ou pour établir la formule du terme général.

Le premier terme de cette suite est six. Le deuxième terme est égal à cette valeur plus quatre, donc 10. Le troisième terme est égal à cette valeur plus quatre, donc 14. Nous pourrions continuer ainsi mais ce n’est pas très efficace si nous devons atteindre le 18e terme de cette suite. Utilisons plutôt la formule du terme de rang 𝑛 : 𝑎 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r. En substituant six à 𝑎, le premier terme, et quatre à r, la raison, on a 𝑎 𝑛 égale six plus quatre fois 𝑛 moins un.

On peut alors simplifier cette expression ou directement substituer 𝑛 égale 18 pour calculer le 18e terme. 𝑎 18 égale six plus quatre fois 18 moins un. C’est-à-dire six plus quatre fois 17. Quatre fois 17 égale 68. Et en ajoutant six, on obtient 74. Rappelez-vous que les termes de cette suite sont des durées en minutes. Nous avons donc trouvé que le 18e terme de cette séquence, c’est-à-dire le temps d’entraînement de Manon le 18e jour, est de 74 minutes.

Dans cet exemple, nous avons vu comment calculer un terme spécifique d’une suite arithmétique. Dans le prochain problème, nous allons voir comment déterminer le rang d’un terme à partir d’une description.

Olivia s’entraîne pour une course de 10 kilomètres. Chaque jour où elle s’entraîne, elle court 0,5 kilomètres de plus que l’entraînement précédent. Si elle court quatre kilomètres le quatrième jour, quel jour pourra-t-elle courir 10 kilomètres ?

Étudions attentivement les informations qui nous ont été données. On nous dit que chaque jour où Olivia s’entraine, elle parcourt 0,5 ou un demi-kilomètre de plus que l’entraînement précédent. Cela signifie que les distances parcourues par Olivia chaque jour forment une suite arithmétique avec une raison r de 0,5. Nous ne savons pas combien de kilomètres Olivia a couru le premier jour. Mais nous savons qu’elle a couru quatre kilomètres le quatrième jour. Nous pouvons donc utiliser la formule du terme général d’une suite arithmétique 𝑎 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un r pour construire une équation. On a donc quatre égale 𝑎 plus 0,5 fois quatre moins un. Cela se simplifie par quatre égale 𝑎 plus 1,5. Et on peut résoudre cette équation en soustrayant 1,5 à chaque membre.

On obtient alors 𝑎 égale 2,5. Nous savons donc maintenant qu’Olivia a couru 2,5 kilomètres le premier jour de son entraînement. On nous demande cependant quel jour elle pourra courir 10 kilomètres. C’est-à-dire, quel rang de la suite ou quelle valeur de 𝑛 donne un terme égal à 10. On peut donc remplacer 𝑎 par 2,5, r par 0,5 et 𝑎 𝑛 par 10 pour obtenir une équation à résoudre pour trouver la valeur de 𝑛. En distribuant le 0,5, on a 2,5 plus 0,5𝑛 moins 0,5 égale 10. Le membre de gauche se simplifie alors par deux plus 0,5𝑛 égale 10. On peut soustraire deux à chaque membre pour obtenir 0,5𝑛 égale huit, puis multiplier chaque membre de l’équation par deux pour obtenir 𝑛 égale 16. Par conséquent, le rang du terme qui est égal à 10 est 16. Nous pouvons donc conclure qu’Olivia parcourra 10 kilomètres le 16e jour de son programme d’entraînement.

Bien sûr, une fois que nous avions calculé la valeur de 𝑎, nous aurions également pu calculer tous les termes de la suite en ajoutant 0,5 à chaque fois : 2,5, trois, 3,5, quatre. Mais cela aurait pris beaucoup de temps pour arriver au 16e terme et il est donc plus efficace d’utiliser la première méthode. Dans les deux cas, notre réponse au problème est 16.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment calculer un terme spécifique d’une suite arithmétique à partir d’informations sur deux autres termes.

Le salaire annuel d’Amelia augmente du même montant chaque année. Lors de sa quatrième année au sein de son entreprise, elle a gagné 24 000 dollars. Lors de sa 10e année, elle a gagné 36 000 dollars. Combien gagnera-t-elle pour sa 20e année ?

Si le salaire annuel d’Amelia augmente du même montant chaque année, alors ses salaires annuels forment une suite arithmétique. Nous pouvons donc exprimer le terme général de cette suite en utilisant la formule 𝑎 𝑛 égale 𝑎 plus 𝑛 moins un r où 𝑎 représente le premier terme de la suite, c’est-à-dire le salaire d’Amelia sa première année, et r représente la raison. Qui correspond à son augmentation annuelle. Nous ne connaissons aucune de ces valeurs mais nous disposons quand même de quelques informations sur le salaire d’Amelia ses quatrième et dixième années. Nous pouvons utiliser ces informations pour construire des équations. La quatrième année, elle a gagné 24 000 dollars. On a donc l’équation 24 000 égale 𝑎 plus quatre moins un r, ou plus simplement, 𝑎 plus trois r.

On sait également qu’elle a gagné 36 000 dollars la dixième année. On a donc aussi l’équation 36 000 égale 𝑎 plus 10 moins un r, soit 𝑎 plus 9r. Et nous avons maintenant un système de deux équations linéaires à deux inconnues, 𝑎 et r. Nous pouvons donc résoudre ce système pour les calculer. En soustrayant l’équation un à l’équation deux, le 𝑎 s’annule et il nous reste 12 000 égale 6r. En divisant par six, on trouve la raison de cette suite. r est égale à 2 000. Voilà donc l’augmentation annuelle d’Amelia.

Pour trouver la valeur de 𝑎, on peut remplacer r par 2 000 dans l’une des deux équations. On choisit l’équation un, ce qui donne 24 000 égale 𝑎 plus trois fois 2 000. En soustrayant 6 000, c’est-à-dire trois fois 2 000, à chaque membre, on obtient la valeur de 𝑎. 𝑎 est égal à 18 000. Il s’agit du salaire d’Amelia lors de la première année dans son entreprise. Mais ce que nous devons trouver est le salaire qu’Amelia gagnera pendant sa 20e année. Nous devons donc calculer le 20e terme de cette suite. On peut pour cela substituer les valeurs de 𝑎 et r et remplacer 𝑛 par 20 dans la formule du terme général. On a 𝑎 20 égale 18 000 plus 19. C’est-à-dire 20 moins un fois 2 000. Cela fait 18 000 plus 38 000, soit 56 000. Nous avons ainsi montré que lors de sa 20e année au sein de son entreprise, Amelia gagnera 56 000 dollars en supposant qu’elle continue à recevoir la même augmentation de salaire de 2 000 dollars chaque année.

Nous avons donc vu quelques exemples montrant comment calculer un terme spécifique ou le rang d’un terme d’une suite arithmétique. Dans le prochain exemple, nous allons nous entraîner à calculer la somme des termes d’une suite arithmétique décrite dans un problème de la vie courante.

Un coureur s’entraîne pour une course de longue distance. Il a couru six kilomètres le premier jour, puis a augmenté sa distance de 0,5 kilomètre par jour. Calculez la distance totale qu’il a parcourue en 14 jours.

Comme la distance qu’il court augmente chaque jour de la même quantité, ces distances forment une suite arithmétique. La raison de cette suite est de 0,5 et le premier terme 𝑎 est la distance parcourue le premier jour. C’est-à-dire six kilomètres. Pour calculer la distance totale qu’il a parcourue en 14 jours, nous devons calculer la somme des 14 premiers termes de cette suite. On rappelle alors que la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique peut être trouvée en utilisant la formule 𝑆 𝑛 égale 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un r. On peut donc substituer 14 à 𝑛, six à 𝑎 et 0,5 à r, ce qui donne 𝑆 14 égale 14 sur deux fois deux fois six plus 0,5 fois 14 moins un.

Cela se simplifie par sept fois 12 plus 0,5 fois 13. On calcule ensuite de l’intérieur des parenthèses vers l’extérieur. On a 12 plus 6,5, soit 18,5, puis on multiplie par sept pour obtenir 129,5. Rappelez-vous qu’il s’agit d’une distance et que les unités sont des kilomètres. En appliquant la formule de la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique, nous avons ainsi montré que la distance totale parcourue par ce coureur en 14 jours est de 129,5 kilomètres.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment déterminer le terme général d’une suite arithmétique qui est une fois de plus décrite comme un problème de la vie courante.

Emma a commencé un plan d’entraînement pour améliorer sa condition physique. Elle a fait du sport pendant 14 minutes le premier jour et a augmenté la durée de son entraînement de six minutes tous les jours suivants. Déterminez, en fonction de 𝑛, le terme de rang 𝑛 de la suite qui représente le nombre de minutes qu’Emma passe à faire du sport chaque jour. Supposez que 𝑛 égale un correspond au premier jour du programme d’Emma.

L’énoncé indique qu’Emma a augmenté son entraînement de la même durée tous les jours, ce qui signifie que son temps d’entraînement forme une suite arithmétique de raison six. On sait également qu’Emma s’est entraînée pendant 14 minutes le premier jour de son programme, ce qui signifie que le premier terme de la suite est 14. Nous devons déterminer l’expression du terme de rang 𝑛 de cette suite en fonction de 𝑛, rappelons donc la formule générale du terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique. 𝑎 𝑛, le terme de rang 𝑛, est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un r, où 𝑎 représente le premier terme et r la raison.

On peut donc substituer les valeurs de 𝑎 et r fournies dans l’énoncé pour trouver le terme général. Il s’agit de 𝑎 𝑛 égale 14 plus six fois 𝑛 moins un. Et la convention est ensuite de simplifier au maximum. On distribue donc le six. Et on obtient 14 plus six 𝑛 moins six, ce qui se simplifie par six 𝑛 plus huit. Il est assez habituel d’exprimer le terme général d’une suite arithmétique sous cette forme, un multiple de 𝑛 plus une constante. Remarquez également que la raison six est le coefficient de 𝑛 dans le terme général et ce sera toujours le cas pour une suite arithmétique. Nous avons ainsi trouvé le terme de rang 𝑛 de cette suite. Il est égal à six 𝑛 plus huit. Et en substituant n’importe quelle valeur de 𝑛, nous pouvons calculer tout terme de cette suite.

Passons maintenant en revue certains des points clés que nous avons couverts dans cette vidéo. Nous avons tout d’abord rappelé que dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante ; on l’appelle la raison et elle est représentée par la lettre r. Le premier terme d’une suite arithmétique est généralement désigné par la lettre 𝑎 bien qu’il puisse également être désigné par 𝑎 un. On désigne ensuite les termes suivants de la même manière : 𝑎 deux, 𝑎 trois et ainsi de suite. Il existe une formule permettant de calculer le terme général, ou terme de rang 𝑛, d’une suite arithmétique en utilisant le premier terme, la raison et le rang du terme. 𝑎 n est égal à 𝑎 plus 𝑛 moins un fois r.

Il existe également une formule permettant de calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique : 𝑆 𝑛 est égale à 𝑛 sur deux fois deux 𝑎 plus 𝑛 moins un r. Dans cette vidéo, nous avons en particulier vu comment appliquer ces formules dans des problèmes de la vie courante. Il faut toujours s’assurer de lire attentivement la question et d’identifier les informations clés pour pouvoir construire des équations. On peut alors résoudre ces équations pour trouver le terme général, un terme spécifique, le rang d’un terme ou la somme des 𝑛 premiers termes de n’importe quelle suite arithmétique.