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Fiche explicative de la leçon : Applications sur les suites arithmétiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des applications de la vie courante grâce aux suites arithmétiques, où nous trouverons la raison, la formule explicite du 𝑛-ième terme, ainsi que le rang et la valeur d’un terme spécifique d’une suite.

Nous commençons par définir ce que nous entendons par suite arithmétique.

Définition : Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite qui a une différence fixe, que l’on appelle raison, entre deux termes successifs.

Une suite arithmétique d’indice 𝑛 a un terme général, ou un 𝑛-ième terme de la forme 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Par exemple, la suite 5;8;11;14, est arithmétique car elle a une difference commune de 3 entre deux termes successifs. Dans cette suite, 𝑟=3 et le premier terme est 𝑇=5.

Souvent, des suites arithmétiques apparaissent dans des problèmes de la vie courante et nous pouvons appliquer ce que nous savons sur les suites arithmétiques pour les résoudre. Dans le premier exemple, nous allons trouver la valeur d’un terme spécifique dans la suite donnée par le premier terme et la raison.

Exemple 1: Déterminer un terme spécifique dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé

Le programme d’entraînement de Hector a une durée de 6 minutes le premier jour et augmente de 4 minutes chaque jour. Pendant combien de temps Hector s’entraîne-t-il le 18ème jour?

Réponse

Nous remarquons que le programme d’entrainement de Hector augmente d’une quantité fixe chaque jour, cela forme donc une suite arithmétique. Une suite arithmétique est une suite avec une différence fixe entre deux termes successifs.

Une suite arithmétique d’indice 𝑛 a un 𝑛-ième terme 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Le premier terme de la suite est la durée en minutes du programme d’entraînement de Hector pour le premier jour, c’est-à-dire 𝑇=6. La raison est le nombre de minutes dont Hector augmente la durée des entraînements chaque jour, c’est-à-dire 𝑟=4.

On peut remplacer ces valeurs dans la formule du 𝑛-ième terme 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟 pour exprimer le terme général de cette suite:𝑇=6+(𝑛1)×4=6+4𝑛4=4𝑛+2.

On pourra alors utiliser le 𝑛-ième terme pour trouver la valeur d’un terme spécifique dans la suite. Pour déterminer le nombre total de minutes dont Hector s’entraîne le dix-huitième jour, on calcule le 18ème terme, 𝑇. En remplaçant 𝑛=18 dans l’équation 𝑇=4𝑛+2 et en simplifiant les termes, on obtient 𝑇=4(18)+2=72+2=74.

Par conséquent, nous pouvons trouver que la durée que Hector aura consacré à son entraînement le dix-huitième jour est égale à 74 minutes.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment la formule des suites arithmétiques peut être appliquée à une suite décroissante.

Exemple 2: Déterminer un terme inconnu dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé

Un médecin a prescrit pour son patient 15 pilules à prendre dans la première semaine. Sachant que le patient doit diminuer le dosage de 3 pilules chaque semaine, trouvez la semaine à partir de la laquelle le patient cessera complètement de prendre le traitement.

Réponse

Dans cette question, un patient a commencé à prendre un traitement de 15 pilules la première semaine. Compte tenu que le nombre de pilules diminue chaque semaine du même nombre, on peut considérer cela comme une suite arithmétique décroissante.

Une suite arithmétique d’indice 𝑛 a un terme général défini par 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Dans ce cas, le premier terme est 15, alors, 𝑇=15. Comme la quantité de pilules diminue chaque semaine, la raison aura une valeur négative, ici 𝑟=3. Nous remplaçons ces valeurs dans 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟 pour trouver le 𝑛-ième terme de cette suite. Cela nous donne 𝑇=15+(𝑛1)×(3).

En réduisant, nous obtenons 𝑇=15+[3(𝑛1)]=153𝑛+3=183𝑛.

Pour trouver la semaine à partir de laquelle le patient arrêtera de prendre son traitement, nous devons trouver la semaine dans laquelle 𝑇=0. Ainsi, nous résolvons pour trouver la valeur de 𝑛 dans l’équation 0=183𝑛.

En ajoutant 3𝑛 de chaque côté, puis en divisant par 3 on obtient 0=183𝑛3𝑛=18𝑛=6.

Puisque 𝑛 est le nombre de semaines, on peut déduire que le patient arrêtera de prendre son traitement la sixième semaine.

Pour vérifier notre réponse, nous pourrions lister les valeurs de la suite jusqu’à obtenir un terme égal à 0. La suite serait donc 15,12,9,6,3,0.123456SemaineSemaineSemaineSemaineSemaineSemaine

Cela confirme que le patient arrêtera de prendre son traitement, c’est-à-dire qu’il prendra 0 pilules, la sixième semaine.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser le 𝑛-ième terme d’une suite pour déterminer la raison.

Exemple 3: Déterminer la raison d’une suite arithmétique présentée dans un énoncé

La population d’une ville était de 57 d’un million en 2010 et de 5 millions en 2016. La croissance de la population peut être décrite comme une suite arithmétique. Déterminez sa raison, qui représente la croissance annuelle de la population.

Réponse

Il nous est donné que la croissance démographique de cette ville forme une suite arithmétique. Nous rappelons qu’une suite arithmétique est une suite qui a une différence commune entre ses termes. Afin de trouver la raison, on peut utiliser la formule pour calculer le 𝑛-ième terme de la suite.

Une suite arithmétique d’indice 𝑛 a un 𝑛-ième terme défini par 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Le premier terme de cette suite, en millions, est 57. On ne nous dit pas le rang qu’occupe 5 millions dans la suite, mais nous pouvons le calculer sachant que la suite commence en 2010 et que la suite prend la valeur de 5 millions en 2016. Un calcul simple permet de déterminer que 20162010=6ans, sachant que nous devons également inclure les années 2010 et 2016, le terme ayant la valeur de 5 millions est en fait le septième terme. AnnéeNumérodeterme20102011201220132014201520161234567

En utilisant une suite dans laquelle les termes représentent la population en millions, on peut remplacer 𝑇=57 et 𝑛=7 dans la formule 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟 et écrire une équation en fonction de 𝑟 pour le 7ème terme, ce qui nous donne 𝑇=57+(71)𝑟𝑇=57+6𝑟.

Nous savons que 𝑇=5 (en millions), de sorte que nous pouvons écrire l’équation 5=57+6𝑟.

En soustrayant 57 puis en divisant de chaque côté par 6 on obtient 557=6𝑟307=6𝑟3042=𝑟57=𝑟.

Par conséquent, la raison est égale à 57, et, comme ce chiffre est en millions, nous pouvons déduire que la croissance annuelle de la population est de 57 d’un million.

Nous allons maintenant construire une autre formule clé pour les suites arithmétiques, qui détermine la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite.

Formule : Somme d’une suite arithmétique

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule 𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟),𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer cette formule pour déterminer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique.

Exemple 4: Déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique présentée dans un énoncé

Un coureur se prépare à une course de longue distance. Il a parcouru 6 km le premier jour, puis il a augmenté la distance de 0,5 kilomètres chaque jour. Déterminez la distance totale parcourue en 14 jours.

Réponse

Dans cette question, le coureur augmente sa distance d’une quantité fixe chaque jour. Cela signifie que nous pouvons représenter les distances parcourues chaque jour sous forme d’une suite arithmétique. Nous devons déterminer le total, ou la somme, des distances parcourues en 14 jours. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule pour déterminer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique. Cela peut être écrit comme 𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟),𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Ici, le premier terme de la suite est la distance parcourue par le coureur le premier jour, donc, 𝑇=6. La raison est 𝑟=0,5. Nous devons trouver la somme des 14 premiers termes, donc, 𝑛=14. On peut remplacer ces valeurs dans la formule 𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟), ce qui donne 𝑆=142(2(6)+(141)×(0,5)).

En simplifiant l’application numérique on obtient 𝑆=7(12+13(0,5))=7(12+6,5)=7(18,5)=129,5.

Par conséquent, la distance totale parcourue par le coureur pendant 14 jours est égal à 129,5 km.

Nous allons maintenant voir comment trouver un 𝑛-ième terme dans une suite arithmétique, en connaissant la somme des 𝑛 premiers termes.

Exemple 5: Utiliser la somme des termes pour déterminer le nombre de termes dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé

Raphaël met de côté 1 £ le premier jour, 2 £ le deuxième jour, 3 £ le troisième jour, et ainsi de suite, économisant un supplement de 1 £ chaque jour. A partir de quel jour aura-t-il économisé 100 £ au total?

Réponse

On note que les économies de Raphaël forment une suite et qu’elles augmentent d’un montant fixe, 1 £, chaque jour. Cette suite forme donc une suite arithmétique. On nous demande de trouver le jour à partir duquel Raphaël aura économisé 100 £ au total. Notons que l’on ne nous demande pas quel terme de la suite a la valeur de 100 £. Dans cet exercice, la valeur de 100 £ correspond au total de toutes ses économies quotidiennes. On peut donc utiliser la formule de la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique:𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟),𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Ici, Raphaël commence par économiser 1 £ le premier jour, 𝑇=1. La raison est égale à 𝑟=1, puisque l’argent économisé chaque jour augmente de 1 £. On peut calculer ainsi la somme des 𝑛 premiers termes en remplaçant ces valeurs dans la formule 𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟), ce qui donne 𝑆=𝑛2(2(1)+(𝑛1)(1)).

On simplifie ensuite l’équation comme suit 𝑆=𝑛2(2+(𝑛1))=𝑛2(1+𝑛)=𝑛+𝑛2.

Maintenant, nous devons déterminer la valeur de 𝑛 pour laquelle 𝑆100. Donc, on peut écrire 𝑛+𝑛2100.

Ensuite, on multiplie les deux côtés de l’inéquation par 2 et on soustrait 200 de part et d’autre, ce qui donne 𝑛+𝑛200𝑛+𝑛2000.

Maintenant, nous avons une équation du second degré en 𝑛, que nous pouvons résoudre pour déterminer la valeur de 𝑛. Notons que 𝑛+𝑛200=0 ne peut pas être factorisé, alors nous utilisons une autre méthode de résolution. La formule quadratique permet de résoudre une équation du second degré 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎0, avec 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Nous pouvons résoudre 𝑛+𝑛200=0 pour 𝑛 en remplaçant les valeurs 𝑎=1 , 𝑏=1 et 𝑐=200. Cela nous donne 𝑛=1±14(1)(200)2(1).

En réduisant, nous avons 𝑛=1±1+8002=1±8012.

On peut alors utiliser une calculatrice pour trouver les deux valeurs de 𝑛:𝑛=1+8012𝑛=18012𝑛=13,65𝑛=14,65ou

En regardant ces résultats, comme 𝑛 est un terme dans cette suite, il ne peut pas avoir une valeur négative, nous pouvons donc exclure la valeur 𝑛=14,65. De plus, puisque 𝑛=13,65 n’est pas un entier, cela nous dit qu’il n’y a pas un 𝑛-ième terme dans la suite pour lequel 𝑆 vaut exactement 100. Le 𝑛-ième terme pour lequel la somme des 𝑛 premiers termes est supérieur à 100 doit être le premier entier après 13,65, c’est-à-dire le 14ème terme.

On vérifie la somme de tous les termes, d’abord jusqu’au 13ème, puis jusqu’au 14ème terme. Par conséquent, pour déterminer la somme des termes jusqu’à 𝑛=13 avec les mêmes valeurs 𝑇=1 et 𝑟=1, on peut les remplacer dans notre équation simplifiée, 𝑆=𝑛+𝑛2, puis réduire, ce qui donne 𝑆=13+132=169+132=1822=91.

Pour déterminer la somme des termes jusqu’à 𝑛=14 , nous avons 𝑆=14+142=196+142=2102=105.

Au 13ème jour, Raphaël aura économisé un total de 91 £, et au 14ème jour, il aura économisé 105 £. Par conséquent, nous pouvons répondre que le jour à partir duquel il aura économisé 100 £ est le jour 14.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment on peut trouver le premier terme d’une suite arithmétique à partir d’un autre terme et de la somme des 𝑛 premiers termes.

Exemple 6: Utiliser la somme des termes pour trouver un terme spécifique dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé

Une entreprise veut distribuer 14‎ ‎500 LE en primes à ses 5 meilleurs vendeurs. La valeur de la prime pour la dernière position est de 1‎ ‎300 LE et la différence des primes allouées est constante parmi les vendeurs. Déterminez la prime assignée au vendeur en première position.

Réponse

Dans cette question, nous avons un exemple de suite décroissante. L’employé en première position reçoit la plus grande prime et l’employé en dernière position reçoit la plus petite prime. On sait qu’il y a 5 vendeurs et, comme la différence de prime est un montant fixe, nous pouvons modéliser cela comme une suite arithmétique.

Nous rappelons que le 𝑛-ième terme d’une suite arithmétique est donné par 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

Comme il y a 5 employés, le dernier employé reçoit le montant d’argent de la position numéro 5. Par conséquent, pour 𝑛=5, on peut écrire 𝑇 en fonction de 𝑇 et de 𝑟 comme suit 𝑇=𝑇+(51)𝑟=𝑇+4𝑟.

De plus, on sait que la prime pour l’employé en 5ème position est de 1‎ ‎300 LE, donc, en remplaçant 𝑇=1300 dans cette équation, on obtient 1300=𝑇+4𝑟.

Nous ne pouvons pas résoudre cette équation avec deux valeurs inconnues, alors nous utilisons les informations supplémentaires qui nous sont données concernant la somme totale de toutes les primes. On peut ainsi utiliser la formule pour calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique:𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟),𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

On peut écrire la somme des 5 premiers termes en fonction de 𝑇 et de 𝑟 pour 𝑛=5 comme suit:𝑆=52(2𝑇+(51)𝑟).

En réduisant, cela donne 𝑆=52(2𝑇+4𝑟)=5(2𝑇+4𝑟)2=5𝑇+10𝑟.

La somme des 5 premiers termes de cette suite est le montant total des primes attribuées, nous pouvons donc écrire que 𝑆=14500. En le remplaçant dans l’équation ci-dessus, nous obtenons 14500=5𝑇+10𝑟.

Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues, que nous pouvons résoudre simultanément par combinaison ou par substitution:

1300=𝑇+4𝑟,14500=5𝑇+10𝑟.(1)(2)

On peut réécrire l’équation (1) en isolant 𝑇, ce qui donne 𝑇=13004𝑟.

En remplaçant 𝑇 dans l’équation (2), on peut écrire cette équation comme 14500=5(13004𝑟)+10𝑟.

On développe pour supprimer les parenthèses, puis on réduit pour obtenir 14500=650020𝑟+10𝑟14500=650010𝑟.

On ajoute 10𝑟 des deux côtés, puis on soustrait 14‎ ‎50014500+10𝑟=650010𝑟=65001450010𝑟=8000.

Finalement, en divisant par 10, on obtient 𝑟=800.

La différence 𝑟, est une valeur négative, comme on pouvait s’y attendre pour une suite décroissante, ce qui signifie que les primes des employés diminuent de 800 LE.

On peut remplacer 𝑟=800 dans l’équation (1) ou (2) pour déterminer la valeur de 𝑇. On remplace cette valeur dans l’équation (1) et en simplifiant, on obtient 1300=𝑇+4(800)1300=𝑇3200.

En ajoutant 3‎ ‎200 des deux côtés, nous avons 4500=𝑇.

Maintenant, nous avons calculé que le premier terme de la suite, 𝑇, vaut 4‎ ‎500. Cela signifie que nous pouvons déduire que le vendeur en première position a reçu une prime de 4‎ ‎500 LE.

En guise de vérification, nous pouvons créer la suite des primes des 5 employés, avec un premier terme égal à 4‎ ‎500 et une raison de 800. La suite sera la suivante.

L’employé en dernière position a reçu une prime de 1‎ ‎300 LE et la somme de tous les termes, 4500+3700+2900+2100+1300, vaut 14‎ ‎500. Par conséquent, nous avons confirmé notre résultat de 4‎ ‎500 LE.

Nous pouvons maintenant résumer les points clés.

Points Clés

  • Une suite arithmétique est une suite qui a une différence fixe, appelée raison, entre deux termes successifs.
  • Une suite arithmétique d’indice 𝑛 a un terme général, ou un 𝑛-ième terme, exprimé par 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟,𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.
  • La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule 𝑆=𝑛2(2𝑇+(𝑛1)𝑟),𝑇 est le premier terme et 𝑟 est la raison.

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