Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des applications de la vie courante grâce aux suites arithmétiques, où nous trouverons la raison, la formule explicite du -ième terme, ainsi que le rang et la valeur d’un terme spécifique d’une suite.
Nous commençons par définir ce que nous entendons par suite arithmétique.
Définition : Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite qui a une différence fixe, que l’on appelle raison, entre deux termes successifs.
Une suite arithmétique d’indice a un terme général, ou un -ième terme de la forme où est le premier terme et est la raison.
Par exemple, la suite est arithmétique car elle a une difference commune de 3 entre deux termes successifs. Dans cette suite, et le premier terme est .
Souvent, des suites arithmétiques apparaissent dans des problèmes de la vie courante et nous pouvons appliquer ce que nous savons sur les suites arithmétiques pour les résoudre. Dans le premier exemple, nous allons trouver la valeur d’un terme spécifique dans la suite donnée par le premier terme et la raison.
Exemple 1: Déterminer un terme spécifique dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé
Le programme d’entraînement de Hector a une durée de 6 minutes le premier jour et augmente de 4 minutes chaque jour. Pendant combien de temps Hector s’entraîne-t-il le 18ème jour ?
Réponse
Nous remarquons que le programme d’entrainement de Hector augmente d’une quantité fixe chaque jour, cela forme donc une suite arithmétique. Une suite arithmétique est une suite avec une différence fixe entre deux termes successifs.
Une suite arithmétique d’indice a un -ième terme où est le premier terme et est la raison.
Le premier terme de la suite est la durée en minutes du programme d’entraînement de Hector pour le premier jour, c’est-à-dire . La raison est le nombre de minutes dont Hector augmente la durée des entraînements chaque jour, c’est-à-dire .
On peut remplacer ces valeurs dans la formule du -ième terme pour exprimer le terme général de cette suite :
On pourra alors utiliser le -ième terme pour trouver la valeur d’un terme spécifique dans la suite. Pour déterminer le nombre total de minutes dont Hector s’entraîne le dix-huitième jour, on calcule le 18ème terme, . En remplaçant dans l’équation et en simplifiant les termes, on obtient
Par conséquent, nous pouvons trouver que la durée que Hector aura consacré à son entraînement le dix-huitième jour est égale à 74 minutes.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment la formule des suites arithmétiques peut être appliquée à une suite décroissante.
Exemple 2: Déterminer un terme inconnu dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé
Un médecin a prescrit pour son patient 15 pilules à prendre dans la première semaine. Sachant que le patient doit diminuer le dosage de 3 pilules chaque semaine, trouvez la semaine à partir de la laquelle le patient cessera complètement de prendre le traitement.
Réponse
Dans cette question, un patient a commencé à prendre un traitement de 15 pilules la première semaine. Compte tenu que le nombre de pilules diminue chaque semaine du même nombre, on peut considérer cela comme une suite arithmétique décroissante.
Une suite arithmétique d’indice a un terme général défini par où est le premier terme et est la raison.
Dans ce cas, le premier terme est 15, alors, . Comme la quantité de pilules diminue chaque semaine, la raison aura une valeur négative, ici . Nous remplaçons ces valeurs dans pour trouver le -ième terme de cette suite. Cela nous donne
En réduisant, nous obtenons
Pour trouver la semaine à partir de laquelle le patient arrêtera de prendre son traitement, nous devons trouver la semaine dans laquelle . Ainsi, nous résolvons pour trouver la valeur de dans l’équation
En ajoutant de chaque côté, puis en divisant par 3 on obtient
Puisque est le nombre de semaines, on peut déduire que le patient arrêtera de prendre son traitement la sixième semaine.
Pour vérifier notre réponse, nous pourrions lister les valeurs de la suite jusqu’à obtenir un terme égal à 0. La suite serait donc
Cela confirme que le patient arrêtera de prendre son traitement, c’est-à-dire qu’il prendra 0 pilules, la sixième semaine.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser le -ième terme d’une suite pour déterminer la raison.
Exemple 3: Déterminer la raison d’une suite arithmétique présentée dans un énoncé
La population d’une ville était de d’un million en 2010 et de 5 millions en 2016. La croissance de la population peut être décrite comme une suite arithmétique. Déterminez sa raison, qui représente la croissance annuelle de la population.
Réponse
Il nous est donné que la croissance démographique de cette ville forme une suite arithmétique. Nous rappelons qu’une suite arithmétique est une suite qui a une différence commune entre ses termes. Afin de trouver la raison, on peut utiliser la formule pour calculer le -ième terme de la suite.
Une suite arithmétique d’indice a un -ième terme défini par où est le premier terme et est la raison.
Le premier terme de cette suite, en millions, est . On ne nous dit pas le rang qu’occupe 5 millions dans la suite, mais nous pouvons le calculer sachant que la suite commence en 2010 et que la suite prend la valeur de 5 millions en 2016. Un calcul simple permet de déterminer que , sachant que nous devons également inclure les années 2010 et 2016, le terme ayant la valeur de 5 millions est en fait le septième terme.
En utilisant une suite dans laquelle les termes représentent la population en millions, on peut remplacer et dans la formule et écrire une équation en fonction de pour le 7ème terme, ce qui nous donne
Nous savons que (en millions), de sorte que nous pouvons écrire l’équation
En soustrayant puis en divisant de chaque côté par 6 on obtient
Par conséquent, la raison est égale à , et, comme ce chiffre est en millions, nous pouvons déduire que la croissance annuelle de la population est de d’un million.
Nous allons maintenant construire une autre formule clé pour les suites arithmétiques, qui détermine la somme des premiers termes d’une suite.
Formule : Somme d’une suite arithmétique
La somme des premiers termes d’une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule où est le premier terme et est la raison.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer cette formule pour déterminer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.
Exemple 4: Déterminer la somme des termes d’une suite arithmétique présentée dans un énoncé
Un coureur se prépare à une course de longue distance. Il a parcouru 6 km le premier jour, puis il a augmenté la distance de 0,5 kilomètres chaque jour. Déterminez la distance totale parcourue en 14 jours.
Réponse
Dans cette question, le coureur augmente sa distance d’une quantité fixe chaque jour. Cela signifie que nous pouvons représenter les distances parcourues chaque jour sous forme d’une suite arithmétique. Nous devons déterminer le total, ou la somme, des distances parcourues en 14 jours. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule pour déterminer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique. Cela peut être écrit comme où est le premier terme et est la raison.
Ici, le premier terme de la suite est la distance parcourue par le coureur le premier jour, donc, . La raison est . Nous devons trouver la somme des 14 premiers termes, donc, . On peut remplacer ces valeurs dans la formule , ce qui donne
En simplifiant l’application numérique on obtient
Par conséquent, la distance totale parcourue par le coureur pendant 14 jours est égal à 129,5 km.
Nous allons maintenant voir comment trouver un -ième terme dans une suite arithmétique, en connaissant la somme des premiers termes.
Exemple 5: Utiliser la somme des termes pour déterminer le nombre de termes dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé
Raphaël met de côté 1 £ le premier jour, 2 £ le deuxième jour, 3 £ le troisième jour, et ainsi de suite, économisant un supplement de 1 £ chaque jour. A partir de quel jour aura-t-il économisé 100 £ au total ?
Réponse
On note que les économies de Raphaël forment une suite et qu’elles augmentent d’un montant fixe, 1 £, chaque jour. Cette suite forme donc une suite arithmétique. On nous demande de trouver le jour à partir duquel Raphaël aura économisé 100 £ au total. Notons que l’on ne nous demande pas quel terme de la suite a la valeur de 100 £. Dans cet exercice, la valeur de 100 £ correspond au total de toutes ses économies quotidiennes. On peut donc utiliser la formule de la somme des premiers termes d’une suite arithmétique : où est le premier terme et est la raison.
Ici, Raphaël commence par économiser 1 £ le premier jour, . La raison est égale à , puisque l’argent économisé chaque jour augmente de 1 £. On peut calculer ainsi la somme des premiers termes en remplaçant ces valeurs dans la formule , ce qui donne
On simplifie ensuite l’équation comme suit
Maintenant, nous devons déterminer la valeur de pour laquelle . Donc, on peut écrire
Ensuite, on multiplie les deux côtés de l’inéquation par 2 et on soustrait 200 de part et d’autre, ce qui donne
Maintenant, nous avons une équation du second degré en , que nous pouvons résoudre pour déterminer la valeur de . Notons que ne peut pas être factorisé, alors nous utilisons une autre méthode de résolution. La formule quadratique permet de résoudre une équation du second degré , où , avec
Nous pouvons résoudre pour en remplaçant les valeurs , et . Cela nous donne
En réduisant, nous avons
On peut alors utiliser une calculatrice pour trouver les deux valeurs de :
En regardant ces résultats, comme est un terme dans cette suite, il ne peut pas avoir une valeur négative, nous pouvons donc exclure la valeur . De plus, puisque n’est pas un entier, cela nous dit qu’il n’y a pas un -ième terme dans la suite pour lequel vaut exactement 100. Le -ième terme pour lequel la somme des premiers termes est supérieur à 100 doit être le premier entier après , c’est-à-dire le 14ème terme.
On vérifie la somme de tous les termes, d’abord jusqu’au 13ème, puis jusqu’au 14ème terme. Par conséquent, pour déterminer la somme des termes jusqu’à avec les mêmes valeurs et , on peut les remplacer dans notre équation simplifiée, , puis réduire, ce qui donne
Pour déterminer la somme des termes jusqu’à , nous avons
Au 13ème jour, Raphaël aura économisé un total de 91 £, et au 14ème jour, il aura économisé 105 £. Par conséquent, nous pouvons répondre que le jour à partir duquel il aura économisé 100 £ est le jour 14.
Dans le dernier exemple, nous verrons comment on peut trouver le premier terme d’une suite arithmétique à partir d’un autre terme et de la somme des premiers termes.
Exemple 6: Utiliser la somme des termes pour trouver un terme spécifique dans une suite arithmétique présentée dans un énoncé
Une entreprise veut distribuer 14 500 LE en primes à ses 5 meilleurs vendeurs. La valeur de la prime pour la dernière position est de 1 300 LE et la différence des primes allouées est constante parmi les vendeurs. Déterminez la prime assignée au vendeur en première position.
Réponse
Dans cette question, nous avons un exemple de suite décroissante. L’employé en première position reçoit la plus grande prime et l’employé en dernière position reçoit la plus petite prime. On sait qu’il y a 5 vendeurs et, comme la différence de prime est un montant fixe, nous pouvons modéliser cela comme une suite arithmétique.
Nous rappelons que le -ième terme d’une suite arithmétique est donné par où est le premier terme et est la raison.
Comme il y a 5 employés, le dernier employé reçoit le montant d’argent de la position numéro 5. Par conséquent, pour , on peut écrire en fonction de et de comme suit
De plus, on sait que la prime pour l’employé en 5ème position est de 1 300 LE, donc, en remplaçant dans cette équation, on obtient
Nous ne pouvons pas résoudre cette équation avec deux valeurs inconnues, alors nous utilisons les informations supplémentaires qui nous sont données concernant la somme totale de toutes les primes. On peut ainsi utiliser la formule pour calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique : où est le premier terme et est la raison.
On peut écrire la somme des 5 premiers termes en fonction de et de pour comme suit :
En réduisant, cela donne
La somme des 5 premiers termes de cette suite est le montant total des primes attribuées, nous pouvons donc écrire que . En le remplaçant dans l’équation ci-dessus, nous obtenons
Nous avons maintenant deux équations avec deux inconnues, que nous pouvons résoudre simultanément par combinaison ou par substitution :
On peut réécrire l’équation (1) en isolant , ce qui donne
En remplaçant dans l’équation (2), on peut écrire cette équation comme
On développe pour supprimer les parenthèses, puis on réduit pour obtenir
On ajoute des deux côtés, puis on soustrait 14 500
Finalement, en divisant par 10, on obtient
La différence , est une valeur négative, comme on pouvait s’y attendre pour une suite décroissante, ce qui signifie que les primes des employés diminuent de 800 LE.
On peut remplacer dans l’équation (1) ou (2) pour déterminer la valeur de . On remplace cette valeur dans l’équation (1) et en simplifiant, on obtient
En ajoutant 3 200 des deux côtés, nous avons
Maintenant, nous avons calculé que le premier terme de la suite, , vaut 4 500. Cela signifie que nous pouvons déduire que le vendeur en première position a reçu une prime de 4 500 LE.
En guise de vérification, nous pouvons créer la suite des primes des 5 employés, avec un premier terme égal à 4 500 et une raison de . La suite sera la suivante.
L’employé en dernière position a reçu une prime de 1 300 LE et la somme de tous les termes, , vaut 14 500. Par conséquent, nous avons confirmé notre résultat de 4 500 LE.
Nous pouvons maintenant résumer les points clés.
Points Clés
- Une suite arithmétique est une suite qui a une différence fixe, appelée raison, entre deux termes successifs.
- Une suite arithmétique d’indice a un terme général, ou un -ième terme, exprimé par où est le premier terme et est la raison.
- La somme des premiers termes d’une suite arithmétique peut être calculée en utilisant la formule où est le premier terme et est la raison.
