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Le côté terminal de l’angle 𝐴𝑂𝐵 tracé en position standard sur le cercle trigonométrique coupe ce cercle en le point 𝐵 de coordonnées moins 𝑥, moins 𝑥, où 𝑥 est un nombre positif. Caclulez sinus 𝜃.
Tout d’abord, dessinons un cercle trigonométrique pour nous aider à visualiser ce qui se passe ici. Le cercle trigonométrique a son centre à l’origine et un rayon de un. La coordonnée 𝐵 est moins 𝑥, moins 𝑥, où 𝑥 est un nombre positif. Cela signifie que le point 𝐵 sera dans le troisième quadrant, 𝑥 unités à gauche de l’origine et 𝑥 unités en dessous de l’origine. Puisque l’angle 𝐴𝑂𝐵 est en position standard, son côté initial est confondu avec l’axe des 𝑥 positif et son côté terminal passera par le point 𝐵.
Pour les angles en position standard, nous les mesurons dans le sens trigonométrique à partir de l’origine. Avant de pouvoir calculer le sinus de 𝜃, nous calculons ce qu’on appelle un angle de référence à partir du point 𝐵. Il s’agit de l’angle créé avec le point 𝐵 et l’axe des 𝑥 négatifs. Appelons cet angle 𝛼. À partir de là, nous pouvons utiliser nos connaissances sur la trigonométrie dans un triangle rectangle pour trouver l’angle 𝛼. Ce triangle rectangle a deux côtés qui mesurent tous deux 𝑥 et une hypoténuse qui mesure un. Nous savons que l’hypoténuse vaut un parce que le point 𝐵 est sur le cercle trigonométrique et que la distance entre 𝐵 et le centre de ce cercle sera toujours un.
Pour trouver 𝑥, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui dit que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Dans le triangle, cela donne 𝑥 carré plus 𝑥 carré est égal à un au carré. Nous obtenons donc deux 𝑥 au carré est égal à un. En divisant les deux côtés par deux, nous constatons que 𝑥 au carré est égal à un sur deux. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous constatons que 𝑥 est égal à la racine carrée de un sur deux, ce qui se simplifie en un sur la racine carrée de deux. Nous savons que le rapport du sinus est égal à la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse. Ainsi, le sinus de 𝛼 sera égal à 𝑥 sur un, ou simplement 𝑥. Cela donne que le sinus de 𝛼 est égal à un sur la racine carrée de deux.
Il s’agit du sinus de l’angle de référence. Afin de trouver avec précision le sinus de 𝜃 avec le côté initial étant l’axe des 𝑥 positifs et le côté terminal étant le point 𝐵, nous utilisons le diagramme CAST. Dans le premier quadrant, tous les rapports trigonométriques sont positives. Dans le deuxième quadrant, seule la valeur du sinus est positive. Dans le troisième quadrant, seule la valeur de la tangente est positive. Dans le quatrième quadrant, la valeur du cosinus est positive.
Puisque le point 𝐵, appartenant au côté terminal, est dans le troisième quadrant, le sinus de l’angle 𝐴𝑂𝐵 sera négatif. En utilisant la valeur absolue de notre angle de référence et le diagramme CAST nous dit que le sinus de 𝜃 est négatif. Le sinus de 𝜃 est donc égal à moins un sur la racine carrée de deux.
