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Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 moins sinus de 𝑥 où 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à quatre 𝜋 est croissante et là où elle est décroissante.
Ici, on nous donne la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 moins sinus de 𝑥 et on nous dit de la considérer uniquement sur l’ensemble des valeurs de 𝑥 entre zéro et quatre 𝜋, avec zéro et quatre 𝜋 inclus. Dans l’ensemble des valeurs de 𝑥 de zéro à quatre 𝜋, on nous demande de trouver les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 est croissante ou décroissante.
Rappelons qu’une fonction 𝑓 est croissante sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est positive pour toutes les valeurs de 𝑥 dans 𝐼. Une fonction 𝑓 est décroissante sur un intervalle 𝐼 si sa dérivée première est négative pour toutes les valeurs de 𝑥 dans 𝐼. En d’autres termes, une fonction est croissante sur un intervalle 𝐼 si son gradient, ou son coefficient directeur, est positif sur 𝐼 et est décroissante sur un intervalle 𝐼 si son coefficient directeur est négatif sur 𝐼.
Déterminons le gradient, ou la dérivée première, de la fonction qui nous est donnée dans la question. Pour ce faire, nous allons calculer les dérivées des fonctions deux 𝑥 et sinus de 𝑥 et soustraire leurs dérivées, dans cet ordre-ci. La dérivée de deux 𝑥 est deux. Ici, nous venons d’utiliser la formule standard pour calculer les dérivées des termes de la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, où nous multiplions le coefficient 𝑎 par l’exposant 𝑛 et diminuons l’exposant de un.
Dans notre cas, le coefficient est deux. Et l’exposant est un. La dérivée de sinus de 𝑥 est cosinus 𝑥. C’est juste une dérivée standard que nous devrions mémoriser. Après avoir trouvé la dérivée première de 𝑓, nous devons trouver les intervalles des valeurs de 𝑥 comprises entre zéro et quatre 𝜋 pour lesquels elle est positive, c’est-à-dire que 𝑓 est croissante et pour lesquels elle est négative, c’est-à-dire que 𝑓 est décroissante.
Notez que la dérivée d’une fonction n’est pas définie aux extrémités de son domaine, car nous ne pouvons pas dessiner une tangente unique en ces points. La dérivée de la fonction 𝑓 dans la question n’est donc pas définie en zéro et quatre 𝜋, en supposant que le domaine de 𝑥 commence en zéro et se termine en quatre 𝜋. Par conséquent, nous ne pouvons pas comparer la dérivée de 𝑓 à la valeur zéro aux valeurs de 𝑥 zéro et quatre 𝜋. Et donc, nous ne pouvons pas inclure zéro et quatre 𝜋 dans les intervalles des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 peut-être croissante ou décroissante. Nous trouvons que la dérivée de 𝑓 est positive pour les valeurs de 𝑥 entre zéro et quatre 𝜋 pour lesquelles deux est supérieur à cosinus de 𝑥 et négative pour les valeurs de 𝑥 entre zéro et quatre 𝜋 pour lesquelles deux est plus petit que cosinus de 𝑥.
Maintenant, rappelons que la fonction 𝑦 égale cosinus de 𝑥 a une valeur minimum de 𝑦 de moins un et une valeur maximum de 𝑦 de un pour toute valeur 𝑥 et donc, en particulier, pour les valeurs de 𝑥 comprises entre zéro et quatre 𝜋. Puisque deux est toujours supérieur à un, nous avons que deux est toujours supérieur à cosinus de 𝑥 pour toute valeur de 𝑥 et, en particulier, pour toutes les valeurs de 𝑥 comprises entre zéro et quatre 𝜋. Par conséquent, la fonction 𝑓 est croissante sur l’intervalle ouvert des valeurs de 𝑥 de zéro à quatre 𝜋.
Nous avons ainsi déduit que 𝑓 est croissante sur toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles sa dérivée est définie. Et ainsi, elle doit être décroissante pour aucune valeur de 𝑥 pour laquelle sa dérivée est définie. En d’autres termes, elle doit être décroissante pour aucune valeur de 𝑥 de zéro à quatre 𝜋. C’est en effet vrai, car le fait que cosinus de 𝑥 est toujours inférieur ou égal à un implique que cosinus de 𝑥 n’est jamais supérieur à deux. La réponse à la question est donc que 𝑓 est croissante sur l’intervalle ouvert des valeurs de 𝑥 de zéro à quatre 𝜋.
