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Sachant que le vecteur 𝐚 est égal à 𝐢 plus huit 𝐣 moins trois 𝐤 et que le vecteur 𝐛 est égal à neuf 𝐢 plus 𝐣 plus cinq 𝐤, déterminez la mesure de l’angle entre les vecteurs 𝐚 et 𝐛, en arrondissant votre réponse au degré près.
Pour répondre à cette question, on rappelle que pour deux vecteurs non nuls 𝐮 et 𝐯, le cosinus de l’angle entre eux est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. Dans cette question, nous avons deux vecteurs 𝐚 et 𝐛 et nous souhaitons calculer l’angle entre eux.
Nous allons donc commencer par calculer la norme de chacun de ces vecteurs. La norme de 𝐚 est égale à racine carrée de un au carré plus huit au carré plus moins trois au carré. On calcule la norme de tout vecteur en prenant la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Comme un au carré égale un, huit au carré égale 64 et moins trois au carré égale neuf, la norme de 𝐚 est égale à racine carrée de 74. En suivant la même méthode, on trouve que la norme de 𝐛 est égale à racine carrée de neuf au carré plus un au carré plus cinq au carré. Ce qui fait racine carrée de 107.
Pour calculer ensuite le produit scalaire de deux vecteurs quelconques, on multiplie leurs composantes correspondantes puis on additionne ces produits. 𝐚 scalaire 𝐛 est donc égal à un fois neuf plus huit fois un plus moins trois fois cinq. Ce qui est égal à deux.
Et nous pouvons maintenant substituer ces trois valeurs dans notre formule pour calculer la mesure de l’angle 𝜃. Cosinus de 𝜃 est égal à deux divisé par racine carrée de 74 fois racine carrée de 107. On peut alors appliquer la réciproque du cosinus aux deux membres de cette équation pour obtenir 𝜃 égale cos moins un de deux sur racine carrée de 74 fois racine carrée de 107. En tapant le membre droit sur une calculatrice, on obtient 𝜃 égale 88,71 et ainsi de suite.
Mais nous devons donner notre réponse au degré près. Et comme le premier chiffre après la virgule est supérieur ou égal à cinq, on arrondit par excès. Nous pouvons donc conclure que la mesure de l’angle entre les vecteurs 𝐚 et 𝐛 est de 89 degrés au degré le plus proche.
