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Étant donné le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 semblable au rectangle 𝑋𝐵𝑍𝑌, déterminez la longueur de 𝑋𝑍..
Nous savons que les rectangles 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝐵𝑍𝑌 sont semblables. Cela signifie que l’un des rectangles est un agrandissement ou une réduction de autre. Les longueurs correspondantes dans chacun des rectangles seront dans la même proportion. Le rapport des longueurs de 𝑋𝑌 et 𝐴𝐷 sera égal au rapport des longueurs de 𝑍𝑌 et 𝐶𝐷. En remplaçant les longueurs en centimètres obtenues de la figure, on aura 𝑋𝑌 sur 80 égal à 21 sur 84. Le membre de droite se simplifie au un quart en divisant le numérateur et le dénominateur par 21. On peut alors multiplier les deux membres de cette équation par 80. Un quart multiplié par 80 est égal à 20. Cela signifie que la longueur du côté 𝑋𝑌 est égal à 20 centimètres.
Nous pouvons maintenant utiliser le plus petit rectangle pour déterminer la longueur de 𝑋𝑍. Le théorème de Pythagore stipule que, si un triangle est rectangle, alors 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑎 et 𝑏 sont les longueurs des côtés les plus courts du triangle et 𝑐 est la longueur de son hypoténuse. Dans le triangle rectangle 𝑋𝑌𝑍, 𝑋𝑍 est l’hypoténuse. Par conséquent, 𝑋𝑌 au carré plus 𝑌𝑍 au carré est égal à 𝑋𝑍 au carré. En remplaçant par les longueurs de 𝑋𝑌 et 𝑌𝑍, le membre de gauche devient 20 au carré plus 21 au carré. 20 au carré est égal à 400, et 21 au carré est 441. Leur somme nous donne 841. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux membres de notre équation. La racine carrée de 841 est 29.
Si les deux rectangles 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝑋𝐵𝑍𝑌 sont semblables, la longueur du segment 𝑋𝑍 est donc 29 centimètres.
