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Un objet est lancé avec une vitesse de 14,28 mètres par seconde le long de la ligne de plus grande pente d’un plan incliné sur l’horizontale d’un angle dont la tangente est racine carrée de deux sur quatre. Si le coefficient de frottement entre le plan et l’objet est trois fois la racine carrée de deux sur cinq, alors quelle est la distance maximale que l’objet peut parcourir vers le haut du plan ? Prenez 𝑔 égale 9,8 mètres par seconde au carré.
Très bien, alors disons que ceci est le plan. Et si nous considérons cet angle du plan, on nous dit que sa tangente est la racine carrée de deux sur quatre. C’est le rapport entre le côté opposé à l’angle et le côté adjacent. Ainsi, la base du plan est de quatre unités de long, tandis que la hauteur est la racine carrée de deux unités de haut. On nous dit en outre qu’un objet est lancé avec une vitesse initiale de 14,28 mètres par seconde vers le haut de ce plan incliné. Le coefficient de frottement entre le plan et l’objet est donné. Nous voulons déterminer la distance parcourue par l’objet avant d’être au repos. Nous appellerons cette distance 𝑑.
Sachant que l’accélération due à la gravité est de 9,8 mètres par seconde au carré, faisons un peu de place à l’écran, et nous commencerons en reconnaissant que lorsque l’objet monte sur ce plan, la gravité et la force de frottement vont le ralentir. La deuxième loi de Newton sur le mouvement nous dit que la somme des forces agissant sur un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération. Et en regardant les forces agissant sur l’objet, nous pouvons trouver des informations similaires. Nous notons d’abord qu’une force gravitationnelle 𝑚 fois 𝑔 agit sur cet objet, et qu’il y a aussi une force normale, ou de réaction, agissant sur cet objet perpendiculairement à la surface du plan.
Et enfin, lorsque l’objet monte la pente, une force résistive due à la friction le pousse dans l’autre sens. Nous allons nommer cette force 𝐹. Et nous avons maintenant les trois forces qui agissent sur cet objet lorsqu’il monte la pente. Nous voulons trouver l’accélération de l’objet le long de la pente la plus raide. Définissons la direction vers le bas de la pente comme étant la direction des 𝑥 positifs. Si nous considérons alors toutes les forces qui agissent le long de cette direction. La somme de ces forces, par la deuxième loi de Newton, est égale à la masse de l’objet multipliée par son accélération dans la direction 𝑥. En regardant notre croquis des forces agissant sur l’objet, nous voyons que la force de frottement 𝐹 agit dans ce que nous avons appelé la direction des 𝑥 positifs, tout comme une composante de la force du poids que nous surlignons ici en orange.
Pour déterminer cette composante, nous voudrons connaître la mesure de cet angle ici dans notre triangle rectangle. Si nous revenons à notre esquisse originale en bas de l’écran, il s’avère que cet angle est ici identique à l’angle que nous indiquons sur notre diagramme de forces. Pour indiquer cela, nous pouvons leur donner le même nom. Nous appellerons cet angle thêta. La composante de la force du poids qui nous intéresse alors est égale à 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de thêta. Puisque cette force agit dans la même direction que la force de frottement, nous pouvons l’ajouter à la somme des forces dans la direction 𝑥 agissant sur le corps.
Mais alors, quel est le sinus de cet angle thêta ? Revenons une fois de plus à notre croquis, notez que nous avons un triangle rectangle où la longueur des deux côtés les plus courts est la racine carrée de deux et quatre. Selon le théorème de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse ℎ de ce triangle est égale à la racine carrée de quatre au carré plus la racine carrée de deux au carré. Il s’agit de la racine carrée de 16 plus deux ou de la racine carrée de 18. Mais ensuite, nous rappelons que 18 est égal à neuf fois deux. La racine carrée de neuf vaut trois. Ainsi, une expression simplifiée de la longueur de notre hypoténuse est trois fois la racine carrée de deux.
Maintenant que nous connaissons la longueur relative des hypoténuses de nos triangles, nous pouvons trouver le sinus de thêta. Il est égal à la longueur du côté opposé à cet angle divisé par la longueur de l’hypoténuse. Nous voyons ici que la racine carrée de deux est éliminée au numérateur et au dénominateur de sorte que le sinus de thêta est simplement un tiers. Par conséquent, 𝑚 fois 𝑔 fois le sinus de thêta peut être écrit comme 𝑚 fois 𝑔 fois un tiers. Parallèlement à cela, il est possible d’écrire la force de frottement 𝐹 d’une manière différente. En général, pour un corps en mouvement, la force de frottement qu’il subit est égale au coefficient de frottement multiplié par la force de réaction agissant sur le corps.
Dans notre scénario, la force de réaction 𝑅 est d’amplitude égale à cette composante de la direction 𝑦 de la force du poids. Cette composante est donnée par 𝑚 fois 𝑔 fois cosinus de l’angle thêta. Donc, si cela représente l’intensité de la force de réaction 𝑅, il suffit de multiplier par le coefficient de frottement mu pour arriver à une expression alternative de la force de frottement 𝐹. Et nous sommes en mesure de développer cette expression parce que nous pouvons trouver le cosinus de thêta. Il est égal à la longueur du côté adjacent à l’angle thêta, quatre, divisé par la longueur de l’hypoténuse, trois fois la racine carrée de deux.
Donc, ceci est l’expression simplifiée de la force de frottement 𝐹 que l’objet subit. Et si nous ajoutons cela à la force du poids qu’il subit dans la direction 𝑥, alors cette somme est égale à la masse du corps multipliée par son accélération le long de cette direction. Notez que la masse de l’objet 𝑚 apparaît dans chaque terme de cette expression. Cela signifie que si nous divisons les deux membres de l’équation par la masse, elle disparaîtra dans toute l’équation. Nous pouvons ensuite factoriser l’accélération due à la gravité à partir des deux termes à gauche, et nous pouvons ensuite insérer la valeur donnée pour mu afin que nous puissions trouver 𝑎 indice 𝑥 en termes d’accélération due à la gravité 𝑔. On obtient 𝑎 indice 𝑥 égale 𝑔 fois quatre sur trois racine de deux fois trois racine de deux sur cinq plus un tiers.
Nous voyons que trois fois la racine carrée de deux se simplifie dans ce terme au numérateur et au dénominateur. Et puis quatre divisé par cinq plus un divisé par trois est égal à 17 divisé par 15. Il s’agit donc de la vitesse à laquelle l’objet décélère alors qu’il glisse vers le haut de la pente. Cette décélération constante est une information essentielle pour nous aider à déterminer la distance 𝑑 nécessaire à l’objet pour atteindre un état de repos. Parce que cet objet change de vitesse à un rythme constant, son mouvement peut être décrit par ce qu’on appelle les équations du mouvement. Il y a quatre de ces équations au total, mais nous allons utiliser celle-ci. Elle nous dit que la vitesse finale d’un corps au carré est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération multipliée par son déplacement.
Si nous réarrangeons cette équation algébriquement pour trouver le déplacement 𝑑, nous voyons qu’elle est égale à 𝑣 indice 𝑓 au carré moins 𝑣 indice zéro au carré le tout sur deux 𝑎. Maintenant, dans notre cas, nous savons que la vitesse finale de notre objet est nulle parce que le corps atteint un état de repos, il ne bouge plus. Donc, 𝑣 indice 𝑓 carré est simplement zéro. Et nous connaissons 𝑣 indice zéro. Elle vaut 14,28 mètres par seconde. Par conséquent, le numérateur de notre fraction ressemble à ceci. Et nous pouvons maintenant utiliser l’accélération 𝑎 que nous avons trouvée plus tôt. Elle est égale à 𝑔 fois 17 sur 15. Et puis nous pouvons remplacer 𝑔, qui vaut 9,8 mètres par seconde au carré.
Nous sommes presque prêts à trouver 𝑑, mais notez que si nous le faisons, nous obtiendrons un résultat négatif. Cela est en fait conforme à la convention sur les signes que nous avons adoptée puisque que nous avons dit que le mouvement vers le bas de la pente est positif. Techniquement, nous calculons un déplacement ce qui est différent d’une distance. L’énoncé demande cependant une distance plutôt qu’un déplacement. Pour passer à une distance, il suffit de prendre la valeur absolue de la réponse. Lorsque nous calculons cette fraction de cette façon, nous trouvons un résultat de 9,18. Et cette distance est mesurée en mètres. Le corps parcourt donc 9,18 mètres sur la pente avant de s’arrêter.
