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Vidéo de la leçon : Mouvement d’un corps sur un plan rugueux Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à étudier le mouvement résistant aux frottements d’une particule sur des plans rugueux horizontaux et inclinés.

17:40

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier le mouvement d’un corps sur un plan rugueux. Il s’agit donc d’objets se déplaçant sur des surfaces, inclinées ou horizontales, impliquant des frottements. Pour analyser et comprendre ce mouvement, nous allons utiliser des coefficients de frottement, des schémas représentant les forces et des équations du mouvement, notamment la deuxième loi du mouvement de Newton.

Commençons par imaginer un objet au repos sur une surface rugueuse et supposons que cet objet a une masse 𝑚. Si on représente les forces agissant sur ce corps, on constate qu’il y en a deux. Il y a d’abord le poids, agissant verticalement vers le bas et d’intensité 𝑚 fois 𝑔, où 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur. Il y également une force de réaction normale de même intensité mais de sens opposé au poids. On peut alors rappeler la deuxième loi du mouvement de Newton, qui stipule que la force résultante agissant sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par son accélération.

Pour notre objet ici, les forces qui agissent sur lui s’annulent et donc la force résultante est nulle. D’après cette loi, il n’a par conséquent pas d’accélération. Mais imaginons maintenant que nous appliquions une force sur cette boîte en la poussant de gauche à droite. Si la surface sur laquelle l’objet était au repos était lisse, c’est-à-dire s’il n’y avait pas de frottement entre la surface et le corps, alors 𝐹 A créerait une force résultante dans la direction horizontale et l’objet commencerait à accélérer. Mais dans ce cas, comme il y a des frottements entre les deux surfaces, une force de frottement s’opposant au mouvement est générée.

L’aspect intéressant de cette force de frottement est qu’elle existe uniquement en réponse à la force appliquée. S’il n’y a pas de force appliquée, il n’y a pas de force de frottement. Et encore plus intéressant, lorsque la force appliquée augmente en intensité, si on pousse par exemple plus fort sur la boîte, alors la force de frottement augmentera en réponse pour l’égaler jusqu’à un certain point. Nous précisons jusqu’à un certain point car la force de frottement ne peut augmenter que jusqu’à une intensité maximale. Cette intensité maximale est alors définie par cette équation. La lettre grecque 𝜇 représente ce que l’on appelle le coefficient de frottement. Et comme nous l’avons vu, 𝐹 𝑁 est la force de réaction normale. En ce qui concerne le coefficient de frottement, il s’agit d’un nombre sans unité qui est généralement, mais pas toujours, compris entre zéro et un.

Deux facteurs déterminent la valeur de 𝜇 dans un scénario donné. Le premier est le type des matériaux impliqués dans l’interaction, en d’autres termes, de quel matériau est composé le corps et de quel matériau est composée la surface. Le deuxième facteur affectant 𝜇 est si l’objet est immobile ou en mouvement. Si l’objet ne bouge pas, alors on utilise ce que l’on appelle le coefficient de frottement statique, 𝜇 indice 𝑠.

D’un autre côté, on peut également augmenter suffisamment la force appliquée pour que la boîte commence à bouger malgré la résistance au frottement. Dans ce cas, il y a toujours une force de frottement opposée au mouvement de la boîte. Mais elle a une intensité différente parce que l’on utilise maintenant ce qu’on appelle le coefficient de frottement dynamique, 𝜇 indice d. Ces deux coefficients ne sont pas égaux. Le coefficient de frottement dynamique est en effet inférieur à celui du frottement statique. On utilise l’un ou l’autre pour calculer la force de frottement selon le mouvement de l’objet. Un autre point important de l’expression de la force de frottement est qu’il faut utiliser la force de réaction normale plutôt que le poids. Cela est particulièrement vrai lorsque le corps est sur une surface rugueuse inclinée, comme nous le verrons plus tard dans un exemple.

Pour avoir une idée de la façon dont la force de frottement peut varier au fil du temps, revenons à notre condition initiale où il n’y avait que des forces agissant verticalement sur le corps. Si on trace un graphique de la force de frottement agissant sur le corps en fonction de la force appliquée agissant sur lui, on sait à cet instant 0v3rse4que la force appliquée est nulle, donc la force de frottement l’est aussi. Supposons ensuite que l’on augmente progressivement la force appliquée de zéro à une unité, où les unités ne sont pas précisées. Et supposons de plus l’on ne dépasse pas la force de frottement statique maximale qui peut agir sur la boîte. En réponse à cette force appliquée, la force de frottement va commencer à agir pour la compenser.

Tout au long de cette période, notre objet n’est toujours pas en mouvement. Il a toujours une force résultante nulle agissant sur lui. Supposons que l’on continue alors à augmenter la force appliquée de une à deux unités. Si pendant cette période, la force de frottement peut toujours compenser la force appliquée, alors la boîte restera immobile. Dans ce cas, le graphique ressemblerait à ceci, où l’intensité de la force de frottement est toujours égale à l’intensité de la force appliquée. Et le coefficient de frottement que l’on utiliserait pour calculer la force de frottement serait ici 𝜇 𝑠, le coefficient de frottement statique, car la boîte n’est pas en mouvement. Mais on sait par expérience que si on continue à pousser plus fort sur la boîte, elle commencera à bouger à un certain point. Lorsque cela se produit, on a dépassé la force maximale du frottement statique.

On pourrait alors imaginer que le graphique ressemblerait à ceci, où la force de frottement reste à ce niveau pendant que la force appliquée augmente. Mais le graphique est généralement plutôt de cette forme. La force de frottement maximale pouvant être atteinte est 𝜇 𝑠, le coefficient de frottement statique, multiplié par la force de réaction normale, alors que la partie plate de cette courbe est égale à 𝜇 d fois 𝐹 𝑁. Cela confirme que 𝜇 d est bien inférieur à 𝜇 𝑠. Si on trace cette droite verticale en pointillés sur le graphique, on peut dire qu’à gauche de cette droite, la boîte est immobile, tandis qu’à droite, elle est en mouvement.

Pour chaque état de mouvement, nous devons faire attention à utiliser le bon coefficient de frottement. Les valeurs de ces coefficients sont d’ailleurs généralement données dans l’énoncé du problème ou on peut les trouver dans des tables. Que l’objet bouge ou non, la deuxième loi du mouvement de Newton peut nous aider à analyser les forces qui agissent sur lui. Quand un corps est en mouvement, on peut parfois appliquer d’autres équations du mouvement, appelées équations du mouvement rectiligne uniformément varié et abrégées par MRUV. Il s’agit d’un ensemble de quatre équations aidant à décrire le mouvement d’objets en mouvement rectiligne. Ces équations impliquent les vecteurs vitesses initiales et finales, les accélérations, les déplacements et les durées.

Maintenant que nous avons toutes ces connaissances sur le mouvement d’objets avec frottements, entraînons-nous avec un exemple.

En utilisant les informations de la figure, calculez le coefficient de frottement dynamique en arrondissant le résultat au centième près. On sait que que la masse du corps est de 28 kilogrammes et que l’accélération due à la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

En observant la figure, on voit un corps qui se trouve sur une surface et qui se déplace avec une accélération vers la droite de 2,2 mètres par seconde carrée. Cette accélération est due à une force de 155 newtons agissant selon un angle de 45 degrés par rapport à l’horizontale. Sachant cela et que le corps a une masse de 28 kilogrammes, que nous pouvons appeler 𝑚, nous souhaitons calculer le coefficient de frottement dynamique entre le corps et la surface.

Commençons tout d’abord par représenter toutes les forces agissant sur ce corps. Cela nous aidera à visualiser le problème. On sait d’abord que le corps est soumis à la force de pesanteur, c’est-à-dire à son poids. On sait également qu’une force, que l’on appelle 𝐹 𝐴, d’intensité 155 newtons agit sur le corps selon un angle de 45 degrés. Il y a de plus la force de réaction normale de la surface, qui agit verticalement vers le haut. Et enfin, il y a une force de frottement, que l’on appelle 𝐹 𝑓. Et elle s’oppose au mouvement de notre objet. C’est une des propriétés de la force frottement et c’est la raison pour laquelle on sait qu’elle agit vers la gauche.

Maintenant que nous avons identifié toutes les forces agissant sur l’objet, rappelons la deuxième loi du mouvement de Newton. Elle stipule que la force résultante qui agit sur un corps est égale à la masse de ce corps multipliée par son accélération. Maintenant, comme le mouvement dans la direction verticale est indépendant du mouvement dans la direction horizontale, on peut appliquer la deuxième loi de Newton dans ces deux directions indépendamment. En d’autres termes, on peut dire que la force résultante agissant sur le corps dans la direction horizontale est égale à la masse du corps multipliée par son accélération horizontale. Et il s’agit en effet de la direction sur laquelle nous allons nous concentrer puisque nous souhaitons calculer le coefficient de frottement dynamique, qui est lié à la force de frottement.

On rappelle que la force de frottement agissant sur un objet en mouvement est égale au coefficient de frottement dynamique multiplié par la force de réaction agissant sur l’objet. Voici donc ce que nous allons faire. En nous concentrant d’abord sur cette direction horizontale, faisons un peu de place et appliquons la deuxième loi de Newton. La première chose à faire est d’établir des conventions de signes pour les sens positif et négatif.

Remarquez que l’accélération donnée dans l’énoncé du problème est une valeur positive et que l’accélération est vers la droite. On suppose donc que toute force ou mouvement dans ce sens est positif et que toute force ou mouvement dans l’autre sens est négatif. En étudiant les forces agissant horizontalement sur le corps, on peut voir que la force appliquée a une composante horizontale. Il y a de plus la force de frottement qui agit entièrement dans cette direction.

Pour un triangle rectangle avec un angle de 45 degrés où l’hypoténuse est égale à l’intensité de force appliquée, 155 newtons, on peut calculer la longueur de ce côté horizontal du triangle en multipliant 𝐹 𝐴 par cosinus de 45 degrés. Cela correspond ainsi à la force horizontale agissant dans le sens positif sur le corps. Force à laquelle on doit soustraire la force de frottement. On rappelle que cette force est égale au coefficient de frottement dynamique, que nous cherchons à calculer, fois la force de réaction normale. Nous avons ainsi pris en compte toutes les forces agissant horizontalement sur le corps. Et donc d’après la deuxième loi de Newton, cette somme est égale à la masse multipliée par l’accélération dans la direction horizontale.

Nous connaissons 𝐹 𝐴 ainsi que la masse et l’accélération du corps, mais nous ne connaissons pas l’intensité de 𝐹 𝑁 qui nous permettrait de calculer 𝜇 d. Pour déterminer 𝐹 𝑁, nous allons en fait devoir appliquer à nouveau la deuxième loi de Newton, mais dans la direction verticale. On peut pour cela définir que le mouvement vers le haut est dans le sens positif et que le mouvement vers le bas est dans ce que l’on appelle le sens négatif. Étudions donc les forces agissant verticalement sur notre corps. Il y a tout d’abord la force de réaction normale, 𝐹 𝑁. À celle-ci s’ajoute la composante verticale de la force appliquée, 𝐹 𝐴.

En revenant à notre triangle, la longueur de ce côté est égale à 𝐹 𝐴 fois sinus de 45 degrés. Et la dernière force dans la direction verticale est le poids, 𝑚 fois 𝑔, agissant vers le bas. Selon notre convention, cette force est dans le sens négatif. D’après la deuxième loi de Newton, tout cela est égal à la masse du corps multipliée par son accélération dans la direction verticale, que l’on peut appeler 𝑎 𝑣. On remarque alors que le corps n’accélère pas verticalement, donc cette valeur est nulle. Cela signifie que la somme de toutes ces forces est égale à zéro. Si on soustrait ainsi ce terme aux deux membres de l’équation et que l’on ajoute ce terme aux deux membres, on obtient une expression de la force de réaction normale qui est égale au poids moins la composante verticale de la force appliquée.

On peut ensuite substituer tout ce membre droit à 𝐹 𝑁 ici. Ce qui nous donne une équation que nous pouvons résoudre pour calculer 𝜇 d, le coefficient de frottement dynamique. Nous connaissons en effet les valeurs de 𝐹 𝐴, 𝑚, 𝑔 et 𝑎, ainsi que le sinus et le cosinus de 45 degrés. Avant de remplacer ces valeurs, commençons par réorganiser cette équation pour isoler 𝜇 d. On soustrait d’abord 𝐹 𝐴 cos de 45 degrés aux deux membres. On divise ensuite les deux membres de l’équation par cette expression entre parenthèses. Et enfin, on multiplie les deux membres par moins un. On se retrouve alors avec cette expression. Et nous sommes à présent prêts à remplacer les valeurs.

𝐹 𝐴 égale 155 newtons. Le cosinus et le sinus de 45 degrés sont tous les deux égaux à racine carrée de deux sur deux. La masse 𝑚 est de 28 kilogrammes. L’accélération 𝑎 est égale à 2,2 mètres par seconde carrée. Et enfin, l’accélération due à la pesanteur, 𝑔, est de 9,8 mètres par seconde carrée. En entrant cette expression dans une calculatrice, on obtient une réponse de 0,29 au centième près. C’est la valeur du coefficient de frottement dynamique entre le corps et la surface.

Étudions maintenant un problème où le corps est sur une surface rugueuse inclinée.

Un corps de poids 24 newtons est placé sur un plan rugueux incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Le coefficient de frottement statique entre le corps et le plan est égal à un sur six racine carrée de trois. Et le coefficient de frottement dynamique est égal à un sur 12 racine carrée de trois. Une force pousse le corps vers le haut parallèlement à la pente. Calculez l’intensité de la force telle que le corps serait sur le point de bouger.

Si on représente ce problème, il pourrait ressembler à ceci avec le corps au repos sur un plan incliné de 30 degrés. Ce corps est alors soumis à une force de frottement statique, qui dépend du coefficient de frottement statique de un sur six racine carrée de trois. Il est indiqué qu’une force, que l’on peut appeler 𝐹, agit sur le corps dans la direction de la pente. Et nous voulons déterminer l’intensité de cette force telle que le corps soit sur le point de bouger.

Faisons tout d’abord un peu de place pour travailler. Et ajoutons à notre schéma toutes les forces qui agissent sur le corps. On sait que son poids est de 24 newtons. Et on sait également qu’il y a une force de réaction normale perpendiculaire à la surface du plan. En plus de tout cela, une force de frottement statique agit sur le corps. Maintenant, s’il n’y avait aucune force 𝐹 poussant le corps vers le haut de la pente, alors la force de frottement statique agirait vers le haut. Car elle s’opposerait au glissement du corps vers le bas du plan. Mais nous souhaitons ici calculer l’intensité maximale de 𝐹 de telle sorte que le corps soit immobile mais sur le point de bouger. Cela signifie que la force de frottement statique agit en réalité vers le bas du plan.

Pour analyser les forces agissant sur le corps, nous allons définir deux axes perpendiculaires. On suppose que le sens vers le haut de la pente est positif et que le sens opposé vers le bas de la pente est négatif. De même, le sens perpendiculaire à la surface vers le haut est positif et le sens opposé vers le bas est négatif. On peut maintenant appliquer la deuxième loi du mouvement de Newton dans les directions des 𝑥 et des 𝑦.

En étudiant d’abord la direction des 𝑥, on voit que la force 𝐹 agit dans le sens positif, tandis que la force de frottement agit dans le sens négatif. Ce ne sont cependant pas les seules forces agissant dans la direction des 𝑥. Le poids a en effet une composante ici dans le sens des 𝑥 négatifs. Maintenant, cet angle dans ce triangle juste ici mesure 30 degrés. Et puisque cet angle est un angle droit, cette composante en 𝑥 du poids est d’intensité 24 newtons fois sinus de 30 degrés. On rappelle que sinus de 30 degrés égale un sur deux, et on peut le remplacer tout de suite.

Nous avons donc bien maintenant toutes les forces agissant dans ce que nous avons appelé la direction des 𝑥. D’après la deuxième loi de Newton, leur somme est égale à la masse du corps fois son accélération dans cette direction. Mais rappelez-vous que nous recherchons 𝐹 telle que l’objet ne soit pas encore en mouvement. En d’autres termes, 𝑎 𝑥 est égal à zéro. Cela signifie que tout le membre droit est égal à zéro ; on peut ensuite réarranger et on trouve que la force maximale qui peut être appliquée sur le corps sans qu’il ne bouge est égale à la force de frottement statique plus 12 newtons. Or, la force de frottement statique est égale au coefficient de frottement statique multiplié par la force de réaction normale agissant sur le corps concerné.

Dans ce cas, nous connaissons 𝜇 𝑠. Mais quelle est l’intensité de 𝐹 𝑁 ? Pour la calculer, nous allons devoir appliquer la deuxième loi de Newton dans la direction des 𝑦. La force de réaction normale est ici dans le sens positif mais il y a également une composante négative du poids ici sur notre schéma. L’intensité de cette composante est de 24 newtons multiplié par cos de 30 degrés où le cosinus de cet angle est égal à racine carrée de trois sur deux. Tout comme dans la direction des 𝑥, il n’y a pas d’accélération dans la direction des 𝑦 donc la somme de ces forces est égale à zéro. On en déduit que la force de réaction normale est égale à 12 fois racine carrée de trois newtons.

Maintenant que nous connaissons l’intensité de 𝐹 𝑁, nous pouvons la substituer avec la valeur de 𝜇 𝑠 dans l’équation de la force de frottement. Et en multipliant ces valeurs, on voit qu’une racine carrée de trois s’annule et que la force de frottement maximale est de deux newtons. 𝐹 est donc égal à 14 newtons. Il s’agit de l’intensité de la plus grande force qui pourrait agir vers le haut de la pente sans que le corps ne bouge.

Passons maintenant en revue quelques points clés de cette vidéo. Dans cette leçon, nous avons vu qu’un corps au repos sur une surface rugueuse peut subir une force de frottement statique, tandis qu’un corps en mouvement sur une surface rugueuse subit une force de frottement dynamique. Nous avons de plus appris que la force de frottement est égale au coefficient de frottement multiplié par la force de réaction normale agissant sur le corps concerné. Le coefficient de frottement peut être noté 𝜇 𝑠 si le corps est immobile ou 𝜇 d s’il est en mouvement. Enfin, nous avons vu que la deuxième loi du mouvement de Newton et les schémas représentant les forces sont des outils utiles pour comprendre un mouvement impliquant des frottements.

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