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Fiche explicative de la leçon : Mouvement d'un corps sur un plan incliné rugueux Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment étudier le mouvement d’une particule soumise à une force de frottement sur des plans rugueux horizontaux et inclinés.

La force résultante agissant sur un corps en équilibre sur une surface horizontale est nulle. Deux forces agissent sur le corps:son poids 𝑃 et la force de réaction de la surface 𝑅, comme illustré sur la figure suivante.

L’intensité de 𝑃 est définie par 𝑃=𝑚𝑔,𝑚 est la masse du corps et 𝑔 est l’accélération de la pesanteur.

La force 𝑃 agit verticalement vers le bas. La force 𝑅 agit perpendiculairement à la surface. Pour un corps sur une surface horizontale, 𝑅 agit verticalement vers le haut. Pour un corps reposant à l’équilibre sur une surface horizontale, les intensités de 𝑃 et 𝑅 sont égales.

Une force horizontale 𝐻 peut également agir sur le corps. Si l’intensité de 𝐻 est inférieure ou égale à une certaine valeur, connue sous le nom de force limite d’adhérence, le corps restera au repos. Cela est dû à une force de frottement statique 𝐹, qui agit dans le sens opposé à 𝐻. Cependant, lorsque l’intensité de 𝐻 est supérieure à celle de la limite d’adhérence, le corps accélère dans le sens de 𝐻.

L’intensité de la force de frottement 𝐹frottement de la surface sur laquelle un corps se déplace agissant sur le corps est définie par 𝐹=𝜇𝑅,frottement𝜇 est appelé le coefficient de frottement cinétique entre le corps et la surface.

Ce coefficient est très semblable au coefficient de frottement statique mais il s’applique aux corps en mouvement.

Pour une surface horizontale, 𝑅=𝑚𝑔, et donc 𝐹=𝑚𝑔𝜇.frottement

Étudions un exemple où nous devons déterminer le coefficient de frottement cinétique entre un corps et une surface horizontale.

Exemple 1: Calculer le coefficient de frottement cinétique d’un corps se déplaçant sur un plan horizontal rugueux

Un corps de masse 28 kg se déplace sur un plan horizontal avec une accélération de norme 2,2 m/s2. Il est soumis à une force de 155 N dont la direction et le sens sont indiqués sur la figure. Calculez le coefficient de frottement cinétique en arrondissant le résultat au centième près. Supposez que l’accélération de la pesanteur est 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La figure suivante montre les forces agissant sur le corps.

La force de frottement sur le corps dépend de la force de réaction 𝑅 sur le corps. La force de réaction sur le corps dépend de la force que le corps exerce sur la surface. La force que le corps exerce sur la surface est due à son poids. Cependant, une composante de la force de 155 N agissant sur le corps agit dans le sens opposé au poids du corps:verticalement vers le haut.

En prenant le sens vertical vers le bas comme positif, la somme du poids du corps et de la composante verticale vers le haut de la force est 𝐹=𝑚𝑔155(45)=28(9,8)1552=𝑅.surfacesin

L’intensité de 𝑅 est donc 𝑅=274,41552=164,8.N

En utilisant la formule 𝐹=𝜇𝑅,frottement on trouve que la force de frottement a une intensité de 𝐹=𝜇×164,8.frottementN

L’intensité de la force de frottement peut être déterminée à partir des composantes horizontales de la force appliquée sur le corps et de la force résultante sur le corps.

L’intensité de la force résultante exercée sur le corps est le produit de la masse du corps et de la norme de l’accélération du corps, donc 𝐹=28×2,2=61,6.résultanteN

En prenant le sens du mouvement comme positif, la force résultante sur le corps est définie par 155(45)𝐹=𝐹.cosfrottementrésultante

Par conséquent, 𝐹=155261,6=48.frottementN

Maintenant que nous connaissons l’intensité de la force de frottement, nous pouvons déterminer le coefficient de frottement 𝜇:48=𝜇×164,8.

On trouve alors la valeur de 𝜇 en l’isolant dans l’équation:𝜇=48164,8.

Au centième près, elle est de 0,29.

Une force de frottement s’applique sur un corps se déplaçant sur une surface rugueuse. Une force de frottement s’applique également sur un corps au repos sur une surface rugueuse. Le coefficient de frottement cinétique 𝜇c et le coefficient de frottement statique 𝜇s sont reliés par l’inégalité suivante:𝜇>𝜇.sc

La force de frottement sur un corps sur une surface rugueuse est définie par 𝐹=𝜇𝑅.frottement

Si on supposait que 𝜇>𝜇,cs alors pour une force horizontale d’intensité 𝐹 s’appliquant sur un corps telle que 𝐹 était légèrement supérieure à 𝜇𝑅s et provoquait donc le déplacement du corps, on aurait 𝐹𝜇𝑅<0,c ce qui signifie que le corps sortirait du repos et accélèrerait dans le sens opposé au sens de la force appliquée. Cela n’a jamais été observé. Le coefficient de frottement cinétique est donc toujours inférieur au coefficient de frottement statique.

Vous pouvez comprendre de manière intuitive la relation entre les coefficients de frottement statique et cinétique en comparant la difficulté de pousser un objet au repos jusqu’à ce qu’il se déplace à la difficulté de pousser l’objet pour maintenir son mouvement.

Étudions maintenant un exemple impliquant des coefficients de frottement statique et cinétique.

Exemple 2: Calculs impliquant des frottements statique et cinétique sur un plan horizontal rugueux

Un corps de masse 113kg est placé sur un plan horizontal rugueux. Le coefficient de frottement statique entre le corps et le plan est de 33 et leur coefficient de frottement cinétique est de 37. Une force agit sur le corps telle que sa droite d’action forme un angle de 60 avec l’horizontale. Sous l’effet de la force, le corps est sur le point de se déplacer. Si l’intensité de la force augmente de 𝐹 à 𝐹, le corps commence à se déplacer et accélère à 533/ms. Calculez 𝐹 et 𝐹. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Les forces agissant sur le corps sont représentées sur la figure suivante.

Lorsque le corps est en équilibre avec la force 𝐹 agissant sur lui, l’intensité de la force de frottement sur le corps est égale à la composante horizontale de 𝐹. On a donc 𝐹=𝐹(60)=𝐹2.frottementcos

Le corps est de plus sur le point de se déplacer, donc 𝐹=𝜇𝑅=33𝑅,frottements𝑅 est l’intensité de la force de réaction sur le corps.

On peut trouver une expression de 𝑅 en réarrangeant l’expression de la force de frottement exprimée en fonction de 𝐹:𝐹2=33𝑅𝑅=𝐹323.L’intensité 𝑅 n’est pas égale à celle du poids du corps dans ce cas car 𝐹 a une composante verticale vers le haut qui diminue la force de la surface agissant sur le corps, diminuant la force de réaction sur le corps.

Les forces verticales qui agissent sur le corps sont le poids du corps vers le bas, la réaction sur le corps vers le haut et la composante verticale de 𝐹 vers le haut. En posant les forces verticales vers le bas égales aux forces verticales vers le haut, on a 113×9,8=𝑅+𝐹60=𝑅+32𝐹.sin

En substituant l’expression de 𝑅 en fonction de 𝐹, on trouve 107,83=323𝐹+32𝐹107,83=32𝐹+32𝐹107,83=𝐹3𝐹=107,8.N

Quand 𝐹 augmente d’intensité à 𝐹, la force de réaction change d’intensité car la force dirigée vers le haut augmente, comme indiqué sur la figure suivante.

En posant les forces verticales vers le bas sur le corps égales aux forces verticales vers le haut, on trouve 107,83=𝑅+32𝐹. L’intensité 𝑅 peut être exprimée en fonction de 𝐹 en réarrangeant l’équation:𝑅=107,8332𝐹.

Quand 𝐹 augmente d’intensité à 𝐹, le corps accélère horizontalement à 533/ms.

D’après la deuxième loi du mouvement de Newton, 𝐹=𝑚𝑎, l’intensité de la force horizontale résultante sur le corps est maintenant définie par 113×533.N

En outre, la force de frottement est définie par 37𝑅.

L’intensité de la force horizontale résultante est égale à l’intensité de la composante horizontale de 𝐹 moins l’intensité de la force de frottement sur le corps;par conséquent, 113×533=𝐹237𝑅.

On peut réarranger cette expression pour déterminer la composante horizontale de 𝐹:𝐹2=55+37𝑅.

En substituant la valeur de 𝑅 obtenue, on trouve 𝐹2=55+37107,8×332𝐹𝐹2=55+17107,8×332𝐹𝐹2=55+17323,432𝐹𝐹2=55+323,47314𝐹𝐹2+314𝐹=55+323,47𝐹714+314=55+46,2=101,2𝐹=1410101,2=141,68.N

Dans le cas où le corps est sur un plan incliné, alors la force de réaction normale 𝑅 sur le corps peut être représentée sur la figure suivante.

S’il n’y a pas de mouvement dans la direction perpendiculaire au plan, alors l’intensité de la force de réaction normale 𝑅 est égale à la composante du poids perpendiculaire au plan, 𝑚𝑔𝜃cos:𝑅=𝑚𝑔𝜃,cos𝜃 est l’angle d’inclinaison de la surface par rapport à l’horizontale.

La résultante de 𝑅 et du poids du corps est représentée sur la figure suivante par la force 𝐹.

La direction et le sens de 𝐹 sont vers le bas le long de la surface. La figure suivante montre comment l’intensité de 𝐹 peut être déterminée.

On voit que 𝐹=𝑚𝑔𝜙=𝑚𝑔𝜃.cossin

Si la surface inclinée est rugueuse, alors une force de frottement agit sur le corps parallèlement à la surface, dans le sens opposé à la force résultante sur le corps.

Étudions maintenant un exemple où un corps se déplace le long d’une surface inclinée rugueuse.

Exemple 3: Calculs impliquant un corps sur un plan incliné rugueux

Un corps de masse 𝑚kg est placé sur un plan incliné de 45 par rapport à l’horizontale. Une force d’intensité 3922N a agi sur le corps vers le haut en suivant la ligne de plus grande pente du plan. En conséquence, le corps a accéléré uniformément de 𝑎/ms vers le haut du plan. Si l’intensité de la force agissant sur le corps est ensuite divisée par deux tout en conservant son sens d’origine, le corps se déplace cette fois vers le bas du plan avec une accélération de 𝑎/ms. Sachant que la force de frottement du plan sur le corps est de 382N dans les deux cas, déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑎 en arrondissant les résultats au centième près. Supposez que 𝑔=9,8/ms.

Réponse

La figure suivante montre les forces agissant sur le corps avant le changement d’intensité de la force appliquée sur le corps. L’accélération du corps est indiquée en rouge.

Lorsque le corps se déplace vers le haut parallèlement au plan, l’intensité de la force résultante qui est parallèle au plan est 𝐹=3922382𝑚𝑔(45)𝐹=3922382𝑚𝑔2.hauthautsin

La figure suivante montre les forces agissant sur le corps après le changement d’intensité de la force appliquée sur le corps. L’accélération du corps est indiquée en rouge.

Lorsque le corps se déplace vers le bas parallèlement au plan, la force de frottement agit parallèlement au plan vers le haut car la force de frottement agit dans le sens opposé au mouvement de l’objet. L’intensité de la force résultante agissant vers le bas parallèlement au plan est alors 𝐹=𝑚𝑔21962382.bas

Dans les deux cas, il est indiqué que la norme de l’accélération 𝑎 est la même. Comme 𝐹=𝑚𝑎, cela signifie que les forces vers le haut et vers le bas ont la même intensité mais agissent dans des sens opposés;par conséquent, 𝐹=𝐹,3922382𝑚𝑔2=𝑚𝑔21962382.hautbas

On ajoute l’expression suivante aux deux membres de l’équation:1962+382+𝑚𝑔2, ce qui donne 5882=2𝑚𝑔25882=2𝑚𝑔588=𝑚𝑔𝑚=588𝑔=5889,8=60.kg

On a vu que 𝐹=3922382𝑚𝑔2.haut

En substituant la valeur de 𝑚 obtenue, on a 𝐹=35425882=602.haut

La valeur de 𝑎 est alors 𝑎=𝐹𝑚=60260=2,

Au centième près, elle est de 1,41 m/s2.

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • L’intensité de la force de frottement 𝐹frottement entre un corps se déplaçant le long d’une surface et la surface sur laquelle il se déplace est définie par 𝐹=𝜇𝑅,frottement𝜇 est le coefficient de frottement cinétique entre le corps et la surface.
  • La force due au frottement cinétique sur un objet en mouvement agit dans le sens opposé au mouvement de l’objet.
  • La force due au frottement statique sur un objet en mouvement agit dans le sens opposé à la force résultante sur l’objet.
  • Le coefficient de frottement cinétique 𝜇c et le coefficient de frottement statique 𝜇s sont reliés par l’inégalité suivante:𝜇>𝜇.sc
  • Un corps sur un plan incliné est soumis à une force résultante due à son poids et à la force de réaction normale définie par 𝐹=𝑚𝑔𝜃,sin𝑚 est la masse du corps, 𝑔 est l’accélération de la pesanteur et 𝜃 est l’angle que forme le plan avec l’horizontale.
  • Lorsqu’un corps se déplaçant le long d’un plan incliné est soumis à une force qui n’est pas parallèle au plan, la somme des composantes perpendiculaires au plan de la force, du poids de l’objet et de la force de réaction normale est nulle. La force de réaction normale a donc une intensité différente de celle qu’elle aurait si la force appliquée agissait parallèlement au plan.

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