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Déterminez l’intégrale de trois sinus sept 𝑥 plus quatre cosinus sept 𝑥 d𝑥.
Alors, la première chose que nous pouvons faire, c’est séparer l’expression en deux parties. Parce que si nous voulons l’intégrer, nous pouvons intégrer chaque terme séparément. Nous avons donc l’intégrale de trois sinus sept 𝑥 d𝑥 plus l’intégrale de quatre cosinus sept 𝑥 d𝑥. Alors, pour simplifier l’intégration, nous pouvons sortir les termes constants. Donc, ce qui nous emmène à trois multiplié par l’intégrale de sinus sept 𝑥 d𝑥 plus quatre multiplié par l’intégrale de cosinus sept 𝑥 d𝑥. Et nous pouvons faire cela car ces termes ne vont pas affecter l’intégration. Donc, ce que je vais faire, c’est m’occuper d’abord du côté gauche. Et donc, calculer l’intégrale de sinus sept 𝑥. Et en intégrant sinus sept 𝑥, j’obtiens moins un sur sept cosinus sept 𝑥. Et j’aurais aussi plus 𝑐. Il s’agit de la constante d’intégration. Mais je la rajouterai à la fin.
Alors, la raison pour laquelle j’obtiens ce résultat est parce que nous savons que l’intégrale de sinus 𝑎𝑥 d𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 cosinus 𝑎𝑥 plus 𝑐. Dans notre cas, 𝑎 vaut sept. Alors, la question est de savoir comment obtenir ce résultat de manière générale. Et nous pouvons le montrer en procédant par substitution. Donc, en procédant par substitution, nous pouvons dire que 𝑢 est égal à sept 𝑥. Ensuite, ce que nous pouvons faire, c’est dériver pour trouver d𝑢 sur d𝑥. Et en faisant cela, nous obtenons d𝑢 sur d𝑥 égal à sept. Parce qu’en dérivant sept 𝑥, nous obtenons simplement sept si nous dérivons par rapport à 𝑥. Et nous pouvons dire ensuite que d𝑥 est égal à un sur sept d𝑢. Et nous obtenons cela en considérant d𝑢 sur d𝑥 comme une fraction. Même si ce n’est certainement pas une fraction. Nous pouvons seulement l’utiliser comme ça dans ce contexte.
Alors, ce que nous obtenons c’est un septième, car j’ai sorti la constante de l’intégrale, multiplié par l’intégrale de sinus 𝑢 d𝑢. Et nous connaissons l’intégrale de sinus 𝑢, car l’intégrale de sinus 𝑥 est l’une des intégrales classiques. Et l’intégrale de sinus 𝑥 est égale à moins cosinus 𝑥 plus 𝑐. Donc, dans notre cas, l’intégrale sera égale à moins un sur sept cosinus 𝑢. Et encore une fois, nous ajouterons la constante d’intégration à la fin. Et ce que nous faisons finalement, c’est remplacer par la valeur de 𝑢. Et nous obtenons moins un sur sept cosinus sept 𝑥, ce qui est exactement ce que nous avons obtenu en utilisant la formule générale que nous connaissons. C’est parfait. J’ai montré comment obtenir ce résultat en procédant par substitution. Alors maintenant, nous pouvons passer à la deuxième partie.
Alors, si nous intégrons le membre de droite, nous allons obtenir quatre multiplié par. Puis, en intégrant cosinus sept 𝑥, nous obtenons un sur sept sinus sept 𝑥. Et nous obtenons ce résultat en utilisant la même méthode comme le membre de gauche. Sauf que cette fois-ci nous utilisons l’intégrale classique qui dit que l’intégrale de cosinus 𝑥 est égale à sinus 𝑥 plus 𝑐. Et de même je pourrais le démontrer en procédant par substitution, comme je l’ai faite avec le membre de gauche, mais j’ai remplacé sinus 𝑢 par cosinus 𝑢 et puis j’ai suivi le même procédé. Et encore une fois, nous obtenons le résultat correct, qui est dans ce cas un sur sept sinus sept 𝑥. Alors, en rassemblant tout cela, nous obtenons moins trois sur sept cosinus sept 𝑥 plus quatre sur sept sinus sept 𝑥 plus 𝑐. Et nous obtenons ce résultat parce qu’en multipliant trois par moins un sur sept, nous obtenons moins trois sur sept. Et en multipliant quatre par un sur sept, nous obtenons quatre sur sept.
Et ceci nous emmène à notre résultat final que nous obtenons en modifiant l’ordre des termes de façon à avoir le terme positif à gauche, qui est quatre sur sept sinus sept 𝑥 moins trois sur sept cosinus sept 𝑥 plus 𝑐.
