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Vidéo de la leçon : Intégrales indéfinies : fonctions trigonométriques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intégrales indéfinies des fonctions trigonométriques.

15:48

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intégrales indéfinies des fonctions trigonométriques. Nous allons commencer par rappeler ce qu’est une primitive avant de voir comment cela peut nous aider à intégrer les fonctions trigonométriques.

Commençons par rappeler la définition de la primitive d’une fonction. La fonction grand 𝐹 est une primitive de la fonction petit 𝑓 si grand 𝐹 prime de 𝑥 est égale à petit 𝑓 de 𝑥. Où grand 𝐹 prime de x est la dérivée de grand 𝐹 de x par rapport à 𝑥. Et cela est en réalité vrai pour toute fonction 𝐺, où 𝐺 de 𝑥 égale grand F de 𝑥 plus 𝑐, pour toute constante 𝑐. Cette définition est très utile car nous allons l’utiliser pour définir une intégrale indéfinie.

L’intégrale indéfinie de petit 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑥 plus 𝑐, où grand 𝐹 est une primitive de petit 𝑓. Et il est très important de ne pas oublier la constante d’intégration 𝑐 lorsque l’on recherche une intégrale indéfinie. Notez que cela s’appelle une intégrale indéfinie car les bornes de l’intégrale ne sont pas précisées. On n’intègre donc pas sur un intervalle spécifique les valeurs de 𝑥 comme on le ferait pour une intégrale définie. Cette remarque sort un peu du cadre de cette vidéo car elle fait référence au théorème fondamental de l’analyse.

Nous pouvons cependant voir pourquoi cette constante 𝑐 est nécessaire si nous effectuons l’opération réciproque sur l’expression de l’intégrale indéfinie. C’est-à-dire si nous dérivons par rapport à 𝑥. Puisque l’on effectue une opération réciproque à gauche, la dérivée par rapport à 𝑥 de l’intégrale de petit 𝑓 de 𝑥 est simplement petit 𝑓 de 𝑥. Et dans le membre de droite, lorsque l’on dérive grand 𝐹 de 𝑥 par rapport à 𝑥, on obtient 𝐹 prime de 𝑥. Et la constante 𝑐 disparaît car la dérivée d’une constante est égale à zéro. Mais si on revient en sens inverse à l’intégrale, la constante apparaît à nouveau. Comme nous ne connaissons pas la valeur de cette constante, nous la désignons simplement par 𝑐. C’est une constante inconnue.

En considérant ce lien entre intégrale et primitive et en rappelant nos connaissances des dérivées de diverses fonctions trigonométriques, nous pouvons calculer des intégrales spécifiques. Commençons donc par étudier la fonction 𝑓 de 𝑥 égale sinus de 𝑎𝑥, avec 𝑎 une constante réelle et 𝑥 mesuré en radians. Et nous souhaitons trouver l’intégrale indéfinie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. On rappelle que la dérivée de cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑎 fois sinus de 𝑎𝑥. On peut donc dire que l’intégrale indéfinie de moins 𝑎 sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 doit être égale à cosinus de 𝑎𝑥. Rappelez-vous cependant que puisqu’il s’agit d’une intégrale indéfinie, nous devons ajouter une constante d’intégration, que nous appelons petit 𝑐.

C’est un bon début. Mais nous cherchons en fait à trouver l’intégrale indéfinie de sinus de 𝑎𝑥, et non de moins 𝑎 sinus de 𝑎𝑥. On peut alors sortir la constante moins 𝑎 de l’intégrale. Et on obtient moins 𝑎 fois l’intégrale indéfinie de sinus de 𝑎𝑥 égale cos 𝑎𝑥 plus la constante 𝑐. Et puisque moins 𝑎 est une constante, on peut diviser les deux membres par moins 𝑎. On trouve alors que l’intégrale indéfinie de sinus de 𝑎𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥 plus grand 𝐶. Notez que nous avons changé petit 𝑐 en grand 𝐶 parce que nous avons divisé la constante d’origine petit 𝑐 par une autre constante, moins 𝑎, et que nous devons représenter ce changement de valeur.

En mettant de côté ce premier résultat pour l’intégrale indéfinie de sin de 𝑎𝑥, nous pouvons répéter ce raisonnement pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale cosinus de 𝑎𝑥, où 𝑎 est à nouveau une constante réelle et 𝑥 est mesuré en radians. Nous allons utiliser le fait que la dérivée de sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥. Et on peut donc dire que l’intégrale indéfinie de 𝑎 cos 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sinus de 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration petit 𝑐. On peut encore une fois sortir la constante 𝑎 de l’intégrale et le membre de droite reste inchangé. Enfin, on divise par 𝑎 et on trouve que l’intégrale indéfinie de cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 fois sinus de 𝑎𝑥 plus la nouvelle constante d’intégration grand 𝐶.

Maintenant, vous vous souvenez peut-être que les dérivées des fonctions sinus et cosinus forment un cycle. C’est-à-dire que la dérivée de sin 𝑥 est égale à cos 𝑥, avec notre constante 𝑎 qui est ici égale à un. Dériver à nouveau nous donne moins sin 𝑥. Et en dérivant encore, on obtient moins cos 𝑥. En dérivant une dernière fois, nous revenons à la fonction d’origine, sin 𝑥. On peut ainsi inverser le sens de ce cycle pour l’intégration. Étudions maintenant quelques exemples d’intégration des fonctions sinus et cosinus.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 par rapport à 𝑥.

Avant de commencer à intégrer, il peut être utile de rappeler certaines propriétés des intégrales. Tout d’abord, l’intégrale de la somme de deux fonctions ou plus est égale à la somme des intégrales de ces fonctions. Et nous savons aussi que l’on peut sortir tout facteur constant de l’intégrale pour se concentrer sur l’intégration de l’expression en 𝑥. Ces propriétés nous permettent de reformuler notre intégrale comme moins intégrale de sin 𝑥 par rapport à 𝑥 moins neuf fois l’intégrale de cos 𝑥 par rapport à 𝑥.

Et on rappelle maintenant les formules générales des intégrales des fonctions sinus et cosinus. L’intégrale indéfinie de sinus de 𝑎𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. Et l’intégrale de cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 fois sinus de 𝑎𝑥 plus une constante 𝑐. Dans ce cas, la constante 𝑎 est égale à un et notre intégrale est égale à moins moins cos 𝑥 plus une constante 𝐴 moins neuf fois sin 𝑥 plus une constante 𝐵. Et nous avons choisi 𝐴 et 𝐵 pour montrer que ce sont des constantes d’intégration différentes.

En développant les parenthèses et en combinant les deux constantes 𝐴 et 𝐵 en une seule constante 𝐶, on trouve alors que l’intégrale indéfinie de moins sin 𝑥 moins neuf cos 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à cos 𝑥 moins neuf sin 𝑥 plus une constante 𝐶.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins huit sinus de huit 𝑥 moins sept cosinus de cinq 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, nous cherchons à intégrer la somme de deux fonctions de 𝑥. Nous pouvons donc commencer par rappeler que l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions. Cette intégrale est donc égale à l’intégrale de moins huit sinus de huit 𝑥 par rapport à 𝑥 plus l’intégrale de moins sept cosinus de cinq 𝑥 d𝑥. On sait également que l’on peut sortir tous les facteurs constants des intégrales pour se concentrer sur l’intégration de chaque expression en fonction de 𝑥. On obtient ainsi moins huit fois l’intégrale de sin huit 𝑥 par rapport à 𝑥 moins sept fois l’intégrale de cos cinq 𝑥 d𝑥.

On rappelle ensuite les formules générales des intégrales de sin 𝑎𝑥 et cos 𝑎𝑥. L’intégrale indéfinie de sin 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cos 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. Et l’intégrale indéfinie de cos 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 sin 𝑎𝑥 plus une constante 𝑐. Dans ce cas, la constante 𝑎 est huit dans la première intégrale et cinq dans la deuxième intégrale. Et en appliquant ces formules à nos intégrales, on trouve que l’intégrale de sinus de huit 𝑥 est égale à moins un sur huit cosinus de huit 𝑥 plus une constante 𝐴. Et que l’intégrale de cos cinq 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur cinq fois sin cinq 𝑥 plus 𝐵. Notez que nous avons choisi 𝐴 et 𝐵 comme constantes d’intégration au lieu d’une valeur unique 𝑐 pour montrer que ce sont des constantes différentes.

Notre dernière étape consiste à développer les parenthèses. Moins huit fois moins un sur huit. cos huit 𝑥 est simplement égal à cos huit 𝑥. Et moins sept fois un sur cinq sin cinq 𝑥 est égal à moins sept sur cinq sin cinq 𝑥. Enfin, on multiplie A par moins huit et B par moins sept. Et puisque nous ne connaissons pas les valeurs de 𝐴 et 𝐵, nous pouvons choisir de représenter cela comme une seule constante 𝑐. Nous avons ainsi montré que l’intégrale que nous recherchons est égale à cos huit 𝑥 moins sept sur cinq sin cinq 𝑥 plus une constante 𝑐.

Nous allons maintenant étudier d’autres dérivées. On rappelle que la dérivée de tangente de 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 sécante de 𝑎𝑥 au carré. Vous pouvez si vous le souhaitez mettre cette vidéo en pause un instant pour réfléchir à ce que cela nous dit sur l’intégrale de sec carré de 𝑎𝑥. Penchons-nous donc sur cela. On rappelle qu’une intégrale peut être considérée comme une primitive. Autrement dit, l’intégration est la réciproque de la dérivation. On en déduit donc que l’intégrale indéfinie de 𝑎 sec carré de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 doit être égale à tan 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. On sort ensuite le facteur constant 𝑎 de l’intégrale. Puis on divise par 𝑎. On trouve alors que l’intégrale de sécante de 𝑎𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 plus grand 𝐶.

En utilisant à peu près la même méthode, on obtient les intégrales suivantes pour les inverses des fonctions trigonométriques. L’intégrale de cosécante de 𝑎𝑥 cotangente de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cosécante de 𝑎𝑥 plus 𝑐. L’intégrale de sec 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 sec 𝑎𝑥 plus 𝑐. Et l’intégrale de cosec 𝑎𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 fois cotangente de 𝑎𝑥 plus 𝑐. Nous allons maintenant voir quelques applications de ces formules et comment utiliser les formules trigonométriques pour nous aider à déterminer ces intégrales.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins sécante carré de six 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, il suffit presque de citer la formule de l’intégrale de sec carré de 𝑎𝑥, avec une constante 𝑎 ici égale à six. Cette formule nous indique que l’intégrale de sec carré de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 plus une constante 𝑐. Avant d’utiliser cette formule, on peut cependant sortir le facteur moins un de l’intégrale comme ceci. En intégrant, on obtient alors moins un fois un sur six tangente de six 𝑥 plus 𝑐, car la constante 𝑎 est ici égale à six.

Il ne nous reste plus qu’à distribuer le signe négatif. Moins un fois un sur six tangente de six 𝑥 est égal à moins un sur six tangente de six 𝑥. Et moins un fois la constante petit 𝑐 nous donne cette nouvelle constante grand C. Nous concluons donc que cette intégrale indéfinie est égale à moins un sur six tangente de six 𝑥 plus 𝐶.

Déterminez l’intégrale indéfinie de deux cos trois 𝑥 au cube plus un sur neuf cos trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Cette intégrale peut sembler assez compliquée à première vue. Nous remarquons cependant que nous pouvons simplifier ce quotient. Nous allons pour cela inverser le processus d’addition de deux fractions. Ce quotient devient alors deux cos trois 𝑥 au cube sur neuf cos trois 𝑥 au carré plus un sur neuf cos de trois 𝑥 au carré. En annulant le facteur cos trois 𝑥 au carré dans la première fraction, celle-ci se simplifie par deux sur neuf cos trois 𝑥. Et pour nous aider à déterminer ce qu’il faut ensuite faire, réécrivons la deuxième fraction comme un sur neuf fois un sur cos trois 𝑥 au carré.

On rappelle alors que l’intégrale de la somme de fonctions est égale à la somme des intégrales de ces fonctions. Et nous savons également que l’on peut sortir tous les facteurs constants de l’intégrale pour se concentrer sur l’intégration de l’expression fonction de 𝑥. Appliquer ces propriétés nous donne deux sur neuf fois l’intégrale de cos trois 𝑥 par rapport à 𝑥 plus un sur neuf fois l’intégrale de un sur cos trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. On rappelle la formule de l’intégrale de cos 𝑎𝑥. Elle est égale à un sur 𝑎 fois sin 𝑎𝑥 plus une constante d’intégration 𝑐. Cela signifie que l’intégrale de cos trois 𝑥 est égale à un sur trois sin trois 𝑥 plus une constante d’intégration, que nous appelons 𝐴.

Mais que pouvons-nous faire pour la deuxième intégrale ? Nous pouvons en fait rappeler que un sur cosinus de 𝑥 est égal à sécante de 𝑥. On peut donc réécrire un sur cos de trois 𝑥 au carré comme sec trois 𝑥 au carré. Et cela nous permet d’utiliser la formule générale de l’intégrale de sec 𝑎𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Elle est égale à un sur 𝑎 fois tangente de 𝑎𝑥 plus une constante 𝑐. Cela signifie que l’intégrale de sec trois 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à un sur trois tangente de trois 𝑥 plus une constante d’intégration, que nous appelons 𝐵.

On peut enfin développer les parenthèses et on trouve que deux sur neuf fois un sur trois sin trois 𝑥 est égal à deux sur 27 sin trois 𝑥. Et un sur neuf fois un sur trois tangente de trois 𝑥 est égal à un sur 27 tangente de trois 𝑥. Et on multiplie chacune des constantes par deux sur neuf et un sur neuf respectivement. Ce qui nous donne une nouvelle constante 𝐶. Nous avons ainsi montré que notre intégrale est égale à deux sur 27 sin trois 𝑥 plus un sur 27 tangente trois 𝑥 plus une constante d’intégration 𝐶.

Étudions un dernier exemple dans lequel nous devons utiliser les formules des intégrales vues dans cette leçon ainsi que certaines formules trigonométriques.

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins trois tangente de huit 𝑥 au carré fois cosécante de huit 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Cela semble assez complexe au premier abord. En utilisant les formules trigonométriques, nous pouvons cependant modifier cela en une expression plus facile à traiter. Nous savons que tan 𝑥 est égal à sin 𝑥 sur cos 𝑥 et que cosécante de 𝑥 est égal à un sur sinus 𝑥. On peut donc réécrire l’intégrande, c’est-à-dire la fonction que nous souhaitons intégrer, par moins trois sin huit 𝑥 au carré sur cos huit 𝑥 au carré fois un sur sin huit 𝑥 au carré. Et on voit alors que l’on peut simplifier par sin huit 𝑥 au carré. On peut également sortir le facteur moins trois de l’intégrale pour faciliter la prochaine étape. On a ainsi moins trois fois l’intégrale de un sur cos huit 𝑥 au carré par rapport à 𝑥.

Mais on sait que un sur cos 𝑥 est égal à sécante de 𝑥. Notre intégrale devient donc moins trois fois l’intégrale de sec de huit 𝑥 au carré par rapport à 𝑥. Mais bien sûr, l’intégrale de sec de 𝑎𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à un sur 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 plus une constante 𝑐. Comme la constante 𝑎 est ici égale à huit, l’intégrale de sec huit 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 est égale à un sur huit fois tangente de huit 𝑥 plus une constante 𝑐. On peut enfin distribuer le moins trois et on trouve que l’intégrale est égale à moins trois sur huit tangente de huit 𝑥 plus une nouvelle constante, puisque l’on a multiplié la constante initiale par moins trois. Et on peut l’appeler grand 𝐶.

Terminons maintenant cette vidéo en rappelant certains des points clés que nous avons présentés. Dans cette vidéo, nous avons vu que l’on peut utiliser le fait que l’intégration est l’opération réciproque de la dérivation pour déterminer les intégrales indéfinies de sinus de 𝑎𝑥, cosinus de 𝑎𝑥 et sécante de 𝑎𝑥 au carré. Nous avons également vu que rappeler certaines définitions trigonométriques telles que tangente x égale sinus 𝑥 sur cosinus 𝑥 ou un sur sinus 𝑥 égale cosécante de 𝑥 peut nous aider à déterminer ces intégrales.

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