Transcription de la vidéo
Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre comment dĂ©terminer les intĂ©grales indĂ©finies des fonctions trigonomĂ©triques. Nous allons commencer par rappeler ce quâest une primitive avant de voir comment cela peut nous aider Ă intĂ©grer les fonctions trigonomĂ©triques.
Commençons par rappeler la dĂ©finition de la primitive dâune fonction. La fonction grand đč est une primitive de la fonction petit đ si grand đč prime de đ„ est Ă©gale Ă petit đ de đ„. OĂč grand đč prime de x est la dĂ©rivĂ©e de grand đč de x par rapport Ă đ„. Et cela est en rĂ©alitĂ© vrai pour toute fonction đș, oĂč đș de đ„ Ă©gale grand F de đ„ plus đ, pour toute constante đ. Cette dĂ©finition est trĂšs utile car nous allons lâutiliser pour dĂ©finir une intĂ©grale indĂ©finie.
LâintĂ©grale indĂ©finie de petit đ de đ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă grand đč de đ„ plus đ, oĂč grand đč est une primitive de petit đ. Et il est trĂšs important de ne pas oublier la constante dâintĂ©gration đ lorsque lâon recherche une intĂ©grale indĂ©finie. Notez que cela sâappelle une intĂ©grale indĂ©finie car les bornes de lâintĂ©grale ne sont pas prĂ©cisĂ©es. On nâintĂšgre donc pas sur un intervalle spĂ©cifique les valeurs de đ„ comme on le ferait pour une intĂ©grale dĂ©finie. Cette remarque sort un peu du cadre de cette vidĂ©o car elle fait rĂ©fĂ©rence au thĂ©orĂšme fondamental de lâanalyse.
Nous pouvons cependant voir pourquoi cette constante đ est nĂ©cessaire si nous effectuons lâopĂ©ration rĂ©ciproque sur lâexpression de lâintĂ©grale indĂ©finie. Câest-Ă -dire si nous dĂ©rivons par rapport Ă đ„. Puisque lâon effectue une opĂ©ration rĂ©ciproque Ă gauche, la dĂ©rivĂ©e par rapport Ă đ„ de lâintĂ©grale de petit đ de đ„ est simplement petit đ de đ„. Et dans le membre de droite, lorsque lâon dĂ©rive grand đč de đ„ par rapport Ă đ„, on obtient đč prime de đ„. Et la constante đ disparaĂźt car la dĂ©rivĂ©e dâune constante est Ă©gale Ă zĂ©ro. Mais si on revient en sens inverse Ă lâintĂ©grale, la constante apparaĂźt Ă nouveau. Comme nous ne connaissons pas la valeur de cette constante, nous la dĂ©signons simplement par đ. Câest une constante inconnue.
En considĂ©rant ce lien entre intĂ©grale et primitive et en rappelant nos connaissances des dĂ©rivĂ©es de diverses fonctions trigonomĂ©triques, nous pouvons calculer des intĂ©grales spĂ©cifiques. Commençons donc par Ă©tudier la fonction đ de đ„ Ă©gale sinus de đđ„, avec đ une constante rĂ©elle et đ„ mesurĂ© en radians. Et nous souhaitons trouver lâintĂ©grale indĂ©finie de đ de đ„ par rapport Ă đ„. On rappelle que la dĂ©rivĂ©e de cosinus de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă moins đ fois sinus de đđ„. On peut donc dire que lâintĂ©grale indĂ©finie de moins đ sinus de đđ„ par rapport Ă đ„ doit ĂȘtre Ă©gale Ă cosinus de đđ„. Rappelez-vous cependant que puisquâil sâagit dâune intĂ©grale indĂ©finie, nous devons ajouter une constante dâintĂ©gration, que nous appelons petit đ.
Câest un bon dĂ©but. Mais nous cherchons en fait Ă trouver lâintĂ©grale indĂ©finie de sinus de đđ„, et non de moins đ sinus de đđ„. On peut alors sortir la constante moins đ de lâintĂ©grale. Et on obtient moins đ fois lâintĂ©grale indĂ©finie de sinus de đđ„ Ă©gale cos đđ„ plus la constante đ. Et puisque moins đ est une constante, on peut diviser les deux membres par moins đ. On trouve alors que lâintĂ©grale indĂ©finie de sinus de đđ„ est Ă©gale Ă moins un sur đ fois cosinus de đđ„ plus grand đ¶. Notez que nous avons changĂ© petit đ en grand đ¶ parce que nous avons divisĂ© la constante dâorigine petit đ par une autre constante, moins đ, et que nous devons reprĂ©senter ce changement de valeur.
En mettant de cĂŽtĂ© ce premier rĂ©sultat pour lâintĂ©grale indĂ©finie de sin de đđ„, nous pouvons rĂ©pĂ©ter ce raisonnement pour la fonction đ de đ„ Ă©gale cosinus de đđ„, oĂč đ est Ă nouveau une constante rĂ©elle et đ„ est mesurĂ© en radians. Nous allons utiliser le fait que la dĂ©rivĂ©e de sinus de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă đ fois cosinus de đđ„. Et on peut donc dire que lâintĂ©grale indĂ©finie de đ cos đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă sinus de đđ„ plus une constante dâintĂ©gration petit đ. On peut encore une fois sortir la constante đ de lâintĂ©grale et le membre de droite reste inchangĂ©. Enfin, on divise par đ et on trouve que lâintĂ©grale indĂ©finie de cosinus de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ fois sinus de đđ„ plus la nouvelle constante dâintĂ©gration grand đ¶.
Maintenant, vous vous souvenez peut-ĂȘtre que les dĂ©rivĂ©es des fonctions sinus et cosinus forment un cycle. Câest-Ă -dire que la dĂ©rivĂ©e de sin đ„ est Ă©gale Ă cos đ„, avec notre constante đ qui est ici Ă©gale Ă un. DĂ©river Ă nouveau nous donne moins sin đ„. Et en dĂ©rivant encore, on obtient moins cos đ„. En dĂ©rivant une derniĂšre fois, nous revenons Ă la fonction dâorigine, sin đ„. On peut ainsi inverser le sens de ce cycle pour lâintĂ©gration. Ătudions maintenant quelques exemples dâintĂ©gration des fonctions sinus et cosinus.
DĂ©terminez lâintĂ©grale indĂ©finie de moins sin đ„ moins neuf cos đ„ par rapport Ă đ„.
Avant de commencer Ă intĂ©grer, il peut ĂȘtre utile de rappeler certaines propriĂ©tĂ©s des intĂ©grales. Tout dâabord, lâintĂ©grale de la somme de deux fonctions ou plus est Ă©gale Ă la somme des intĂ©grales de ces fonctions. Et nous savons aussi que lâon peut sortir tout facteur constant de lâintĂ©grale pour se concentrer sur lâintĂ©gration de lâexpression en đ„. Ces propriĂ©tĂ©s nous permettent de reformuler notre intĂ©grale comme moins intĂ©grale de sin đ„ par rapport Ă đ„ moins neuf fois lâintĂ©grale de cos đ„ par rapport Ă đ„.
Et on rappelle maintenant les formules gĂ©nĂ©rales des intĂ©grales des fonctions sinus et cosinus. LâintĂ©grale indĂ©finie de sinus de đđ„ est Ă©gale Ă moins un sur đ fois cosinus de đđ„ plus une constante dâintĂ©gration đ. Et lâintĂ©grale de cosinus de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ fois sinus de đđ„ plus une constante đ. Dans ce cas, la constante đ est Ă©gale Ă un et notre intĂ©grale est Ă©gale Ă moins moins cos đ„ plus une constante đŽ moins neuf fois sin đ„ plus une constante đ”. Et nous avons choisi đŽ et đ” pour montrer que ce sont des constantes dâintĂ©gration diffĂ©rentes.
En dĂ©veloppant les parenthĂšses et en combinant les deux constantes đŽ et đ” en une seule constante đ¶, on trouve alors que lâintĂ©grale indĂ©finie de moins sin đ„ moins neuf cos đ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă cos đ„ moins neuf sin đ„ plus une constante đ¶.
DĂ©terminez lâintĂ©grale indĂ©finie de moins huit sinus de huit đ„ moins sept cosinus de cinq đ„ par rapport Ă đ„.
Dans cette question, nous cherchons Ă intĂ©grer la somme de deux fonctions de đ„. Nous pouvons donc commencer par rappeler que lâintĂ©grale de la somme de deux fonctions est Ă©gale Ă la somme des intĂ©grales de ces fonctions. Cette intĂ©grale est donc Ă©gale Ă lâintĂ©grale de moins huit sinus de huit đ„ par rapport Ă đ„ plus lâintĂ©grale de moins sept cosinus de cinq đ„ dđ„. On sait Ă©galement que lâon peut sortir tous les facteurs constants des intĂ©grales pour se concentrer sur lâintĂ©gration de chaque expression en fonction de đ„. On obtient ainsi moins huit fois lâintĂ©grale de sin huit đ„ par rapport Ă đ„ moins sept fois lâintĂ©grale de cos cinq đ„ dđ„.
On rappelle ensuite les formules gĂ©nĂ©rales des intĂ©grales de sin đđ„ et cos đđ„. LâintĂ©grale indĂ©finie de sin đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă moins un sur đ fois cos đđ„ plus une constante dâintĂ©gration đ. Et lâintĂ©grale indĂ©finie de cos đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ sin đđ„ plus une constante đ. Dans ce cas, la constante đ est huit dans la premiĂšre intĂ©grale et cinq dans la deuxiĂšme intĂ©grale. Et en appliquant ces formules Ă nos intĂ©grales, on trouve que lâintĂ©grale de sinus de huit đ„ est Ă©gale Ă moins un sur huit cosinus de huit đ„ plus une constante đŽ. Et que lâintĂ©grale de cos cinq đ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur cinq fois sin cinq đ„ plus đ”. Notez que nous avons choisi đŽ et đ” comme constantes dâintĂ©gration au lieu dâune valeur unique đ pour montrer que ce sont des constantes diffĂ©rentes.
Notre derniĂšre Ă©tape consiste Ă dĂ©velopper les parenthĂšses. Moins huit fois moins un sur huit. cos huit đ„ est simplement Ă©gal Ă cos huit đ„. Et moins sept fois un sur cinq sin cinq đ„ est Ă©gal Ă moins sept sur cinq sin cinq đ„. Enfin, on multiplie A par moins huit et B par moins sept. Et puisque nous ne connaissons pas les valeurs de đŽ et đ”, nous pouvons choisir de reprĂ©senter cela comme une seule constante đ. Nous avons ainsi montrĂ© que lâintĂ©grale que nous recherchons est Ă©gale Ă cos huit đ„ moins sept sur cinq sin cinq đ„ plus une constante đ.
Nous allons maintenant Ă©tudier dâautres dĂ©rivĂ©es. On rappelle que la dĂ©rivĂ©e de tangente de đđ„ est Ă©gale Ă đ sĂ©cante de đđ„ au carrĂ©. Vous pouvez si vous le souhaitez mettre cette vidĂ©o en pause un instant pour rĂ©flĂ©chir Ă ce que cela nous dit sur lâintĂ©grale de sec carrĂ© de đđ„. Penchons-nous donc sur cela. On rappelle quâune intĂ©grale peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme une primitive. Autrement dit, lâintĂ©gration est la rĂ©ciproque de la dĂ©rivation. On en dĂ©duit donc que lâintĂ©grale indĂ©finie de đ sec carrĂ© de đđ„ par rapport Ă đ„ doit ĂȘtre Ă©gale Ă tan đđ„ plus une constante dâintĂ©gration đ. On sort ensuite le facteur constant đ de lâintĂ©grale. Puis on divise par đ. On trouve alors que lâintĂ©grale de sĂ©cante de đđ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ tangente de đđ„ plus grand đ¶.
En utilisant Ă peu prĂšs la mĂȘme mĂ©thode, on obtient les intĂ©grales suivantes pour les inverses des fonctions trigonomĂ©triques. LâintĂ©grale de cosĂ©cante de đđ„ cotangente de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă moins un sur đ fois cosĂ©cante de đđ„ plus đ. LâintĂ©grale de sec đđ„ tan đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ sec đđ„ plus đ. Et lâintĂ©grale de cosec đđ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă moins un sur đ fois cotangente de đđ„ plus đ. Nous allons maintenant voir quelques applications de ces formules et comment utiliser les formules trigonomĂ©triques pour nous aider Ă dĂ©terminer ces intĂ©grales.
DĂ©terminez lâintĂ©grale indĂ©finie de moins sĂ©cante carrĂ© de six đ„ par rapport Ă đ„.
Pour rĂ©pondre Ă cette question, il suffit presque de citer la formule de lâintĂ©grale de sec carrĂ© de đđ„, avec une constante đ ici Ă©gale Ă six. Cette formule nous indique que lâintĂ©grale de sec carrĂ© de đđ„ par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ tangente de đđ„ plus une constante đ. Avant dâutiliser cette formule, on peut cependant sortir le facteur moins un de lâintĂ©grale comme ceci. En intĂ©grant, on obtient alors moins un fois un sur six tangente de six đ„ plus đ, car la constante đ est ici Ă©gale Ă six.
Il ne nous reste plus quâĂ distribuer le signe nĂ©gatif. Moins un fois un sur six tangente de six đ„ est Ă©gal Ă moins un sur six tangente de six đ„. Et moins un fois la constante petit đ nous donne cette nouvelle constante grand C. Nous concluons donc que cette intĂ©grale indĂ©finie est Ă©gale Ă moins un sur six tangente de six đ„ plus đ¶.
DĂ©terminez lâintĂ©grale indĂ©finie de deux cos trois đ„ au cube plus un sur neuf cos trois đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„.
Cette intĂ©grale peut sembler assez compliquĂ©e Ă premiĂšre vue. Nous remarquons cependant que nous pouvons simplifier ce quotient. Nous allons pour cela inverser le processus dâaddition de deux fractions. Ce quotient devient alors deux cos trois đ„ au cube sur neuf cos trois đ„ au carrĂ© plus un sur neuf cos de trois đ„ au carrĂ©. En annulant le facteur cos trois đ„ au carrĂ© dans la premiĂšre fraction, celle-ci se simplifie par deux sur neuf cos trois đ„. Et pour nous aider Ă dĂ©terminer ce quâil faut ensuite faire, rĂ©Ă©crivons la deuxiĂšme fraction comme un sur neuf fois un sur cos trois đ„ au carrĂ©.
On rappelle alors que lâintĂ©grale de la somme de fonctions est Ă©gale Ă la somme des intĂ©grales de ces fonctions. Et nous savons Ă©galement que lâon peut sortir tous les facteurs constants de lâintĂ©grale pour se concentrer sur lâintĂ©gration de lâexpression fonction de đ„. Appliquer ces propriĂ©tĂ©s nous donne deux sur neuf fois lâintĂ©grale de cos trois đ„ par rapport Ă đ„ plus un sur neuf fois lâintĂ©grale de un sur cos trois đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„. On rappelle la formule de lâintĂ©grale de cos đđ„. Elle est Ă©gale Ă un sur đ fois sin đđ„ plus une constante dâintĂ©gration đ. Cela signifie que lâintĂ©grale de cos trois đ„ est Ă©gale Ă un sur trois sin trois đ„ plus une constante dâintĂ©gration, que nous appelons đŽ.
Mais que pouvons-nous faire pour la deuxiĂšme intĂ©grale ? Nous pouvons en fait rappeler que un sur cosinus de đ„ est Ă©gal Ă sĂ©cante de đ„. On peut donc rĂ©Ă©crire un sur cos de trois đ„ au carrĂ© comme sec trois đ„ au carrĂ©. Et cela nous permet dâutiliser la formule gĂ©nĂ©rale de lâintĂ©grale de sec đđ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„. Elle est Ă©gale Ă un sur đ fois tangente de đđ„ plus une constante đ. Cela signifie que lâintĂ©grale de sec trois đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur trois tangente de trois đ„ plus une constante dâintĂ©gration, que nous appelons đ”.
On peut enfin dĂ©velopper les parenthĂšses et on trouve que deux sur neuf fois un sur trois sin trois đ„ est Ă©gal Ă deux sur 27 sin trois đ„. Et un sur neuf fois un sur trois tangente de trois đ„ est Ă©gal Ă un sur 27 tangente de trois đ„. Et on multiplie chacune des constantes par deux sur neuf et un sur neuf respectivement. Ce qui nous donne une nouvelle constante đ¶. Nous avons ainsi montrĂ© que notre intĂ©grale est Ă©gale Ă deux sur 27 sin trois đ„ plus un sur 27 tangente trois đ„ plus une constante dâintĂ©gration đ¶.
Ătudions un dernier exemple dans lequel nous devons utiliser les formules des intĂ©grales vues dans cette leçon ainsi que certaines formules trigonomĂ©triques.
DĂ©terminez lâintĂ©grale indĂ©finie de moins trois tangente de huit đ„ au carrĂ© fois cosĂ©cante de huit đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„.
Cela semble assez complexe au premier abord. En utilisant les formules trigonomĂ©triques, nous pouvons cependant modifier cela en une expression plus facile Ă traiter. Nous savons que tan đ„ est Ă©gal Ă sin đ„ sur cos đ„ et que cosĂ©cante de đ„ est Ă©gal Ă un sur sinus đ„. On peut donc rĂ©Ă©crire lâintĂ©grande, câest-Ă -dire la fonction que nous souhaitons intĂ©grer, par moins trois sin huit đ„ au carrĂ© sur cos huit đ„ au carrĂ© fois un sur sin huit đ„ au carrĂ©. Et on voit alors que lâon peut simplifier par sin huit đ„ au carrĂ©. On peut Ă©galement sortir le facteur moins trois de lâintĂ©grale pour faciliter la prochaine Ă©tape. On a ainsi moins trois fois lâintĂ©grale de un sur cos huit đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„.
Mais on sait que un sur cos đ„ est Ă©gal Ă sĂ©cante de đ„. Notre intĂ©grale devient donc moins trois fois lâintĂ©grale de sec de huit đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„. Mais bien sĂ»r, lâintĂ©grale de sec de đđ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur đ tangente de đđ„ plus une constante đ. Comme la constante đ est ici Ă©gale Ă huit, lâintĂ©grale de sec huit đ„ au carrĂ© par rapport Ă đ„ est Ă©gale Ă un sur huit fois tangente de huit đ„ plus une constante đ. On peut enfin distribuer le moins trois et on trouve que lâintĂ©grale est Ă©gale Ă moins trois sur huit tangente de huit đ„ plus une nouvelle constante, puisque lâon a multipliĂ© la constante initiale par moins trois. Et on peut lâappeler grand đ¶.
Terminons maintenant cette vidĂ©o en rappelant certains des points clĂ©s que nous avons prĂ©sentĂ©s. Dans cette vidĂ©o, nous avons vu que lâon peut utiliser le fait que lâintĂ©gration est lâopĂ©ration rĂ©ciproque de la dĂ©rivation pour dĂ©terminer les intĂ©grales indĂ©finies de sinus de đđ„, cosinus de đđ„ et sĂ©cante de đđ„ au carrĂ©. Nous avons Ă©galement vu que rappeler certaines dĂ©finitions trigonomĂ©triques telles que tangente x Ă©gale sinus đ„ sur cosinus đ„ ou un sur sinus đ„ Ă©gale cosĂ©cante de đ„ peut nous aider Ă dĂ©terminer ces intĂ©grales.