Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les primitives des fonctions trigonométriques.
Pour trouver la primitive de diverses fonctions trigonométriques, nous pouvons commencer par rappeler la première partie du théorème fondamental de l’analyse.
Théorème : Théorème fondamental de l’analyse
Si est une fonction continue à valeurs réelles sur un intervalle et pour définie sur l’intervalle comme alors est uniformément continue sur et dérivable sur [a, b], et pour tout [a, b].
Le théorème fondamental de l’analyse indique que la dérivation et la primitive sont des processus inverses l’un de l’autre. Cela signifie que l’on peut trouver la primitive de certaines fonctions trigonométriques en considérant les résultats des dérivées que l’on connaît déjà.
Par exemple, on sait que, pour toute constante réelle et variable mesurée en radians,
Cela indique que est une primitive de , pour toute valeur de . On peut l’utiliser pour trouver la primitive plus générale de ; comme ce sera une primitive si on ajoute une constante, on doit ajouter une constante d’intégration que l’on appelle :
C’est un résultat utile , cependant, on peut reformuler cette équation pour trouver une formule intégrale de en utilisant les propriétés des primitives :
C’est-à-dire
On peut alors diviser par , à condition qu’il soit non nul :
Enfin, est une constante, ce qui signifie est également une constante. Cela signifie que l’on peut introduire une nouvelle constante pour simplifier cette expression.
On a montré, à condition que , que
On peut suivre exactement le même processus pour trouver une formule primitive de .
Premièrement, on sait que pour toute constante réelle et variable mesurée en radians ,
Cela signifie que est une primitive de , et on peut l’utiliser pour trouver la primitive la plus générale :
On peut sortir le facteur constant de l’intégrale :
On peut alors diviser les deux membres par , à condition que :
Enfin, on définit :
Nous allons présenter un autre exemple de ce processus appliqué à la fonction tangente.
On rappelle que, pour toute constante réelle et variable mesurée en radians,
Cela indique que est une primitive de . Par conséquent, on peut l’utiliser pour trouver la primitive plus générale :
Sortir le facteur constant de la primitive donne
Puis, à condition que , on peut diviser les deux membres par : où .
Résumons les résultats des primitives que nous venons de montrer.
Définition : Primitives de fonctions trigonométriques
Pour toute constante réelle et variable mesurée en radians,
- ;
- ;
- ;
Une manière de visualiser cette relation est d’utiliser le diagramme suivant :
Pour dériver par rapport à il suffit de suivre le sens des aiguilles d’une montre dans ce cycle et pour intégrer par rapport à il suffit de suivre le sens contraire, et où on doit ajouter une constante d’intégration.
Regardons quelques exemples pour pratiquer et renforcer notre compréhension. Dans notre premier exemple, nous allons montrer comment déterminer la primitive d’une somme de deux fonctions trigonométriques.
Exemple 1: Intégrer des fonctions trigonométriques
Déterminez
Réponse
On souhaite déterminer la primitive d’une fonction trigonométrique. On peut commencer par simplifier cette intégrale en utilisant les propriétés des primitives :
On peut alors évaluer ces primitives en rappelant
En combinant toutes les constantes d’intégration à la fin de l’expression, cela donne
Par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment appliquer ce processus à la primitive d’une fonction trigonométrique appliquée un angle multiplié par un réel.
Exemple 2: Intégrer des fonctions trigonométriques avec un angle multiplié par un réel
Déterminez
Réponse
Pour évaluer cette primitive, on rappelle d’abord la formule suivante des primitives pour les fonctions trigonométriques. Pour toute constante réelle ,
Pour appliquer cela, on définit et on sort le facteur constant 3 de l’intégrale :
Enfin, on définit et on écrit le facteur devant la fonction, ce qui donne
Par conséquent,
Nous pouvons également utiliser ces formules des primitives pour évaluer des intégrales impliquant la primitive du carré de la fonction sécante.
Exemple 3: Intégrer des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez
Réponse
Pour évaluer cette primitive, on rappelle d’abord la formule suivante des primitives pour les fonctions trigonométriques. Pour toute constante réelle ,
Pour appliquer cette formule à la primitive de la question, on sort d’abord le facteur constant de l’intégrale :
On applique ensuite la formule primitive avec :
Enfin, on introduit une nouvelle constante et on écrit le coefficient devant la fonction :
Par conséquent, on a montré
Nous pouvons également appliquer ces résultats lorsque le coefficient de la variable n’est pas un entier. Nous le démontrerons dans le prochain exemple.
Exemple 4: Intégrer des fonctions trigonométriques
Déterminez
Réponse
Pour évaluer cette primitive, il est plus facile de réécrire l’argument comme suit :
On peut alors évaluer cette intégrale en rappelant la formule suivante des primitives pour les fonctions trigonométriques : pour toute constante réelle ,
On peut l’utiliser pour évaluer la primitive en sortant le facteur constant 7 de l’intégrale et en définissant . Cela donne
On peut enfin multiplier les deux membres par 7 et introduire une nouvelle constante :
Par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment utiliser ces formules des primitives avec la formule de l’intégrale d’une puissance.
Exemple 5: Intégrer des fonctions trigonométriques impliquant des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez
Réponse
Il est demandé d’évaluer la primitive de la somme ou de la différence de trois termes. On commence par la réécrire comme la somme de trois intégrales distinctes :
On peut évaluer chacune de ces primitives séparément en rappelant les trois formules des primitives suivantes.
Pour toute constante réelle non nulle , on a
Pour toute constante réelle , la formule de l’intégrale d’une puissance dit que
Avec , cela donne
On peut utiliser ces trois formules pour intégrer chaque terme séparément :
Enfin, on peut combiner toutes les constantes d’intégration en une nouvelle constante :
Par conséquent,
Dans notre dernier exemple, nous allons combiner une identité trigonométrique avec les formules des primitives.
Exemple 6: Intégrer des fonctions trigonométriques inverses
Déterminez
Réponse
Dans cette question, il est demandé de trouver la primitive d’une fonction trigonométrique. Cependant, sous sa forme actuelle, on ne sait pas comment intégrer directement cette fonction. Au lieu de cela, on peut commencer par réécrire l’intégrale en utilisant l’identité trigonométrique inverse suivante :
En utilisant cette identité et les formules des primitives, on obtient
On peut maintenant évaluer cette primitive en rappelant la formule suivante. Pour toute constante réelle ,
En définissant , on a
Ensuite, on développe et on définit :
Par conséquent,
Terminons par récapituler certains points clés de ce document explicatif.
Points clés
- En utilisant le théorème fondamental de l’analyse et les formules pour dériver les fonctions trigonométriques, on peut démontrer les formules suivantes pour déterminer la primitive de fonctions trigonométriques.
- Pour toutes constante réelle non égale à 0 et variable mesurée en radians,
- ;
- ;
- .
