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La représentation graphique d’une fonction 𝑓 coupe l’axe des 𝑥 en -2,25 et l’axe des 𝑦 en 0,85. Lesquelles des coordonnées suivantes sont celles d’un point appartenant à la représentation graphique de 𝑓 moins un, la fonction réciproque de 𝑓 ?
Avant de considérer les coordonnées données, rappelons d’abord ce que 𝑓 moins un représente. Alors, quelle est la fonction réciproque de 𝑓 ? Bien, par définition, il s’agit de l’unique fonction 𝑓 moins un telle que 𝑓 moins un de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 pour tout 𝑥.
Considérons maintenant la courbe de 𝑓. Nous ne savons pas vraiment à quoi elle ressemble, mais nous savons qu’elle correspond à l’ensemble de tous les points de coordonnées 𝑥, 𝑓 de 𝑥. La courbe de 𝑓moins un, en revanche, est constituée de tous les points de la forme 𝑥, 𝑓 moins un de 𝑥. Supposons que nous examinions maintenant un point sur la courbe de 𝑓 moins un dont la coordonnée 𝑥 est de la forme 𝑓 de 𝑥 pour un certain 𝑥. Quelle sera la coordonnée 𝑦 de ce point ? Bien, elle doit avoir la forme 𝑓 moins un de 𝑓 de 𝑥. Cependant, de la définition de la fonction réciproque, cela donne 𝑥.
Nous avons vu que si on nous donne un point 𝑥, 𝑓 de 𝑥 sur la courbe de 𝑓, nous savons que le point 𝑓 de 𝑥, 𝑥 doit exister sur la courbe de 𝑓 moins un. En général, les points 𝑎, 𝑏 sur la courbe de 𝑓 correspondent aux points 𝑏, 𝑎 sur la courbe de 𝑓 moins un. Autrement dit, les coordonnées des points sur la courbe de 𝑓 moins un ne sont que des coordonnées de points sur la courbe 𝑓 dans lesquelles nous permutons les coordonnées 𝑥 et 𝑦. Graphiquement, cela signifie que la courbe de 𝑓 moins un est simplement la courbe de 𝑓 réfléchie sur la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥.
On nous a donné deux points sur la courbe de 𝑓 : l’abscisse à l’origine de coordonnées moins 2,25, zéro et l’ordonnée à l’origine de coordonnées zéro, 0,85. En permutant les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ces points, nous obtenons deux points qui doivent se trouver sur la courbe de 𝑓 moins un : une abscisse à l’origine de coordonnées zéro, moins 2,25 et une ordonnée à l’origine de coordonnées 0,85, zéro.
En revenant aux options pour les points sur la courbe de 𝑓 moins un qui nous ont été données, nous pouvons voir que le seul dont l’existence est garantie est 0,85, zéro.
