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Vidéo de la leçon : Graphiques des réciproques de fonctions Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser un graphique pour trouver la réciproque d’une fonction et à analyser les graphiques pour déterminer la réciproque d’une fonction.

18:09

Transcription de vidéo

Graphiques des réciproques de fonctions

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser un graphique pour trouver la réciproque d’une fonction et à analyser les graphiques pour déterminer la réciproque d’une fonction. Pour commencer, considérons ce que l’on entend par la réciproque d’une fonction. Une fonction 𝑓 peut être inversée par la fonction 𝑔 lorsque 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑦 et 𝑔 de 𝑦 est égal à 𝑥. Nous pouvons penser que chacune de ces deux fonctions annule les actions de l’autre. Cela signifie que si nous appliquons 𝑓 puis que nous appliquons 𝑔, cela revient à ne rien faire et le résultat est notre valeur de départ. Nous pouvons représenter mathématiquement cela comme une composition de fonctions comme suit. Ici, nous avons considéré une seule valeur d’entrée 𝑥 et une seule valeur de sortie 𝑦. Cependant, si 𝑓 de 𝑥 est une fonction bijective, elle peut être inversée sur tout son ensemble de départ.

Nous reviendrons sur cette contrainte de bijection plus loin dans cette vidéo. Mais pour l’instant, nous devons comprendre que lorsque 𝑓 de 𝑥 est une fonction bijective, nous pouvons trouver une fonction réciproque définie de manière unique. Plutôt que d’appeler cette fonction 𝑔, il est courant d’utiliser la notation suivante. Nous lisons cela 𝑓 moins un. Notons également que 𝑓 est la fonction réciproque de 𝑓 moins un. Donc la relation va dans les deux sens. En revenant à notre composition de fonctions, nous pouvons dire qu’appliquer 𝑓 et 𝑓 moins un dans un sens ou dans l’autre nous donnera la même valeur que celle avec laquelle nous avons commencé.

Avant de poursuivre, soulignons un point rapide sur la notation. Nous devons faire très attention à ne pas confondre ce moins un avec un exposant. À titre d’exemple très rapide, si nous avons une fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 moins trois, 𝑓 moins un n’est pas deux 𝑥 moins trois, le tout élevé à la puissance moins un. Cette vidéo ne donnera aucun détail sur la façon de trouver algébriquement la réciproque d’une fonction. Mais il suffit de dire que cette idée reçue doit être évitée. Bien, maintenant que nous avons résumé la réciproque d’une fonction, voyons comment elle se rapporte aux graphiques. Considérons une fonction inversible 𝑓. Lors de la représentation graphique des fonctions, nous considérons généralement l’axe des abscisses comme l’ensemble de départ de la fonction, que nous pouvons considérer comme une entrée. Nous considérons l’axe des ordonnées comme l’ensemble d’arrivée, que nous pouvons considérer comme une sortie.

Supposons que nous passons une valeur 𝑎 à notre fonction, ce qui donne une valeur de sortie 𝑏. Plus formellement, nous pouvons désigner cela comme 𝑓 de 𝑎 égale 𝑏. Si nous traçons le graphique de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous disons que le point avec les coordonnées 𝑎, 𝑏 se trouve sur la droite ou la courbe. Considérons maintenant la fonction 𝑓 moins un. Comme nous l’avons vu précédemment, 𝑓 moins un annule l’action de 𝑓. Cela signifie que si nous passons la valeur 𝑏 à 𝑓 moins un, la sortie résultante est nécessairement 𝑎. Nous pouvons suivre un raisonnement similaire pour conclure que le point de coordonnées 𝑏, 𝑎 doit se trouver sur la courbe de 𝑓 moins un.

Voyons ce que nous venons de constater. Si nous trouvons des coordonnées 𝑎, 𝑏 qui se trouvent sur la courbe de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons permuter le couple pour trouver des coordonnées correspondantes 𝑏, 𝑎 qui se trouvent sur la courbe de 𝑓 moins un. Nous pouvons également voir cela comme un échange des coordonnées 𝑥 et 𝑦. Puisque nous avons appliqué une méthode générale pour en arriver là pour n’importe quel point donné sur la courbe de 𝑓 ou même de 𝑓 moins un, cette relation est nécessairement vraie.

Un autre point intéressant : puisque cette relation est vraie pour toutes les valeurs, nous pouvons voir que l’ensemble de départ de 𝑓 est le même que l’ensemble d’arrivée de 𝑓 moins un et que l’ensemble d’arrivée de 𝑓 est le même que l’ensemble de départ de 𝑓 moins un. Choisissons maintenant des valeurs et voyons à quoi cela ressemble sur un graphique. Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 moins six. Si nous choisissons des valeurs à tracer dans le quadrant supérieur droit pour 𝑓, nous pouvons utiliser les coordonnées trois, zéro ; quatre, deux et cinq, quatre. Maintenant, rappelez-vous, pour trouver des points sur la courbe de 𝑓 moins un, nous pouvons simplement échanger les coordonnées de nos couples. Cela signifie que les points zéro, trois ; deux, quatre et quatre, cinq se trouvent tous sur la courbe de 𝑓 moins un.

À ce stade, nous pouvons commencer à remarquer un schéma ou peut-être un lien vers les transformations de fonctions. Le changement que nous avons décrit avec les couples échange l’abscisse 𝑥 pour l’ordonnée 𝑦 et vice versa. Cette variation correspond en fait à une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. En regardant le graphique, nous pouvons voir que les trois points que nous avons tracés vérifient cette règle. Une autre chose que nous pouvons remarquer est que si notre fonction 𝑓 coupe l’axe de symétrie 𝑦 égale 𝑥 en un point, 𝑓 moins un passera également par ce point. Sur notre graphique, cela se produit au point six, six. En joignant tous nos points, nous pouvoir voir notre symétrie plus clairement.

Encore une fois, notez que cette vidéo se concentrera sur les graphiques de fonctions réciproques plutôt que sur la manipulation algébrique. La règle importante que nous venons de constater à ce sujet est que les fonctions réciproques ont des courbes qui sont des symétries l’une de l’autre par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥 et que les coordonnées des points sur ces droites ou courbes sont des couples de coordonnées inversées. Prenons maintenant un exemple de problème.

Ce qui suit est le graphique de 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 moins un. Quelle est la courbe de la fonction réciproque 𝑓 moins un de 𝑥?

Et pour être clair, 𝑓 de 𝑥 est la droite bleue et nos options pour 𝑓 moins un de 𝑥 sont présentées ici. Lorsque nous essayons de trouver des graphiques de fonctions réciproques, nous devons nous rappeler de la règle importante suivante. Les fonctions réciproques ont des courbes qui sont des symétries par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥 et ont des coordonnées correspondantes qui sont des couples inversés. Une approche pour résoudre ce problème est de tracer la droite 𝑦 égale 𝑥 sur notre figure. Nous reflétons alors la courbe de 𝑓 de 𝑥 en utilisant la droite 𝑦 égale 𝑥 comme axe de symétrie. Notez ici que le problème a essayé d’intégrer des facteurs déroutants. Pour le graphique donné dans l’énoncé du problème, l’axe des abscisses va de moins quatre à quatre et l’axe des ordonnées va de moins six à six. Ce n’est pas la même chose pour les axes dans toutes nos options.

Malgré cela, nous pouvons commencer à éliminer certaines options. Nous pouvons d’abord observer que la courbe de 𝑓 moins un de 𝑥 a une pente positive. En regardant les options (b) et (c), nous pouvons voir que les deux ont une pente négative. Ils peuvent donc être éliminés car ils ne peuvent pas être la courbe de 𝑓 moins un. Ensuite, nous pouvons observer que la courbe de 𝑓 moins un semble avoir une intersection positive de l’axe des ordonnées. Parmi nos deux options restantes, l’option (a) a une intersection positive de l’axe des ordonnées, alors que l’option (d) ne l’a pas. Cela signifie que nous pouvons éliminer l’option (d). Cela signifie que la réponse à notre question est nécessairement l’option (a).

Nous pouvons également noter qu’il existe d’autres moyens pour résoudre ce problème. En particulier, nous pouvons utiliser le fait que les coordonnées correspondantes sont des couples inversés. Supposons que nous n’avons pas réalisé la symétrie de 𝑓 de 𝑥 par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Au lieu de cela, nous pouvons éliminer les options incorrectes en choisissant intelligemment un point sur la courbe de 𝑓 de 𝑥. Choisissons l’intersection de l’axe des abscisses qui est le point moins un, zéro. Inverser ce couple nous donne les coordonnées d’un point correspondant qui, nous le savons, doit se trouver sur la droite de 𝑓 moins un de 𝑥. Ces coordonnées sont zéro, moins un. Nous pouvons alors utiliser cette information en examinant toutes les options de la courbe de 𝑓 moins un de 𝑥 et en voyant laquelle de ces courbes semble passer par le point zéro, moins un.

Bien sûr, nous connaissons déjà la réponse. Le graphique de l’option (a) passe par le point zéro, moins un. Les courbes des options (b), (c) et (d) ne le font pas. Encore une fois, nous avons confirmé que le graphique de 𝑓 moins un de 𝑥 est l’option (a).

Prenons maintenant un autre exemple.

La figure suivante montre que 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 cube plus six. Trouvez l’intersection de la fonction réciproque 𝑓 moins un de 𝑥 avec l’axe des abscisses.

Pour commencer, nous pouvons nous rappeler de la règle suivante. Les fonctions réciproques ont des courbes qui sont des symétries les unes des autres par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Une approche pour résoudre ce problème est de tracer la droite 𝑦 égale 𝑥. Nous pouvons alors refléter la courbe de 𝑓 de 𝑥 en utilisant 𝑦 égale 𝑥 comme droite de symétrie, puis trouver l’intersection de 𝑓 moins un de 𝑥 avec l’axe des abscisses. Cette approche alternative repose sur le fait que les coordonnées des points qui se trouvent sur les courbes des fonctions réciproques sont des couples inversés. En d’autres termes, si nous échangeons les coordonnées 𝑥 et 𝑦 pour un point sur la courbe de 𝑓, nous obtenons les coordonnées d’un point correspondant que nous savons être sur la courbe de 𝑓 moins un. Notez également que cette relation fonctionne dans les deux sens.

Bien, nous cherchons donc l’intersection de la courbe de 𝑓 moins un avec l’axe des abscisses. Ce point d’intersection aura une coordonnée 𝑦 de zéro. Disons que ce point d’intersection sur la courbe de 𝑓 moins un a les coordonnées 𝑏, zéro. Rappelez-vous que nous pouvons permuter ce couple pour obtenir le point correspondant sur la courbe de 𝑓. Le point correspondant sur la courbe de 𝑓 aura donc les coordonnées zéro, 𝑏. En d’autres termes, ce sera l’interception de l’axe des ordonnées sur la courbe de 𝑓. Bien, notre méthode sera alors de trouver l’intersection de l’axe des ordonnées sur la courbe de 𝑓 et de permuter le couple pour obtenir l’intersection de l’axe des abscisses sur la courbe de 𝑓 moins un.

En regardant la courbe de 𝑓 donnée dans la question, nous pouvons clairement voir que l’interception de l’axe des ordonnées a les coordonnées zéro, six. En permutant ce couple, nous concluons que le point correspondant sur la courbe de 𝑓 moins un aura les coordonnées six, zéro. Avec cela, nous avons répondu à notre question. La courbe de 𝑓 moins un de 𝑥 coupe l’axe des abscisses au point six, zéro.

Bien, plus tôt dans cette vidéo, nous avons brièvement mentionné les fonctions bijectives et leur relation avec les fonctions réciproques. Voyons cela plus en détail maintenant. Nous avons dit que si 𝑓 est une fonction bijective, elle a une fonction réciproque. Il est également vrai que si 𝑓 n’est pas une fonction bijective, elle n’a pas de réciproque. Voyons pourquoi c’est le cas en utilisant le graphique suivant. Cette fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas une fonction bijective. L’une des façons dont nous pouvons tester si une fonction est bijective consiste à utiliser le test de la ligne horizontale. Ce test dit que si nous pouvons tracer une droite horizontale qui coupe le graphique en plus d’un point, le graphique ne représente pas une fonction bijective, et nous disons que la fonction échoue au test.

Pour notre graphique de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons clairement voir qu’une droite horizontale peut être tracée de telle sorte qu’elle coupe le graphique en plus d’un point. Cela signifie que 𝑓 de 𝑥 échoue au test, et nous confirmons que ce n’est pas une fonction bijective. Bien, nous savons que refléter un graphique dans la droite 𝑦 égale 𝑥 nous donne le graphique de sa réciproque. Voyons ce qu’il se passe dans ce cas. Bien sûr, nous pourrions choisir de le faire sur le même ensemble d’axes, mais faisons cela sur un autre ensemble pour plus de clarté. Nous appellerons provisoirement ce nouveau graphique 𝑓 moins un de 𝑥. Mais comme nous le verrons bientôt, ce n’est pas le cas.

En regardant ce nouveau graphique, nous pouvons remarquer un détail important. Souvenez-vous que pour qu’une relation soit appelée fonction, chaque entrée doit correspondre à une seule sortie. Une façon de tester cela est d’utiliser le test de la ligne verticale. Nous allons modifier cette phrase ci-dessous pour représenter maintenant le test de la ligne verticale. Ce test dit que si nous pouvons tracer une droite verticale qui coupe le graphique en plus d’un point, le graphique ne représente pas une fonction. Plus tôt dans cette vidéo, vous vous souvenez peut-être que nous avons dit que l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée d’une fonction peuvent être considérés échangés dans sa fonction réciproque. Si nous pouvons tracer une droite horizontale qui coupe notre graphique d’origine de 𝑓 de 𝑥 en plus d’un point, il pourrait maintenant être évident que nous pouvons tracer une droite verticale qui coupe notre nouveau graphique en plus d’un point. Nous pouvons également le voir clairement sur notre figure.

Cela signifie que ce que nous avons provisoirement appelé 𝑓 moins un de 𝑥 n’est pas du tout une fonction. Comme ce n’est pas une fonction, nous disons que notre fonction d’origine 𝑓 de 𝑥 n’a pas de réciproque. Une autre façon de penser à cela est la suivante. Considérez notre fonction d’origine 𝑓. Il y a deux valeurs dans son ensemble de départ, 𝑎 un et 𝑎 deux, qui correspondent à la même valeur dans son ensemble d’arrivée, 𝑏 un. Cela signifie que pour la relation que nous supposions être la réciproque de 𝑓, que nous savons maintenant ne pas être une fonction, la valeur de 𝑏 un, qui est maintenant dans son ensemble de départ, doit correspondre à deux valeurs, 𝑎 un et 𝑎 deux, dans son ensemble d’arrivée.

Considérez ce qui se passerait si nous essayions d’utiliser cette relation pour annuler l’action de notre fonction d’origine 𝑓 pour une sortie de 𝑏 un. Notre réciproque supposé ne peut pas nous dire avec certitude si notre entrée initiale était 𝑎 un ou 𝑎 deux. Pour cette raison, nous disons que si une fonction n’est pas une bijective, alors elle n’a pas de réciproque. Prenons un exemple pour illustrer cela.

Déterminez laquelle des fonctions suivantes n’a pas de réciproque.

Pour répondre à cette question, nous allons utiliser le fait que si une fonction n’est pas une fonction bijective, elle n’a pas de réciproque. La façon dont nous pouvons tester les fonctions bijectives est d’utiliser le test de la ligne horizontale. Cela nous dit que si nous pouvons tracer une droite horizontale qui coupe le graphique en plus d’un point, cela ne représente pas une fonction bijective. Et nous disons que le graphique échoue au test.

Après avoir examiné attentivement nos options, il devrait être clair qu’il n’y a qu’un seul graphique sur lequel nous pouvons tracer une droite horizontale afin qu’il coupe le graphique en plus d’un point. C’est la fonction 𝑔 de 𝑥. Nous venons de constater que 𝑔 de 𝑥 échoue au test de la ligne horizontale. Cela signifie que ce n’est donc pas une fonction bijective et qu’il n’a donc pas de fonction réciproque. La réponse à notre question est donc l’option (b). 𝑔 de 𝑥 n’a pas de fonction réciproque, mais les trois autres options en ont puisqu’elles ont réussi le test de la ligne horizontale.

Prenons maintenant un dernier exemple.

En dessinant les graphiques des fonctions suivantes, laquelle est sa propre réciproque ?

Cette question nous demande de dessiner ces quatre graphiques, et cela doit donc être notre première étape. À ce stade, vous devriez être à l’aise pour dessiner des graphiques. Et afin d’éviter les détails inutiles, cette vidéo les fournira simplement. Vous pouvez cependant souhaiter vérifier ces graphiques vous-même en dressant un petit tableau de valeurs ou en utilisant un logiciel graphique. Tout d’abord, nous avons le graphique de un sur 𝑥. Ensuite, nous avons la courbe de 𝑥 carré, formant la forme familière d’une parabole. Nous avons ensuite la courbe de 𝑥 cube et, enfin, la courbe de un sur 𝑥 carré.

Pour avancer dans cette question, nous rappelons la règle suivante. Les fonctions réciproques ont des courbes qui sont des symétries les unes des autres par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Cela signifie qu’un graphique qui est la réciproque de lui-même a une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Cela signifie que si une fonction est son propre reflet dans la symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥, la fonction résultante sera la même que la fonction d’origine. Vous êtes peut-être déjà en mesure de repérer la réponse, mais reflétons maintenant toutes nos fonctions par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. Nous reflétons d’abord un sur 𝑥, puis 𝑥 au carré, suivi de 𝑥 au cube, et enfin un sur 𝑥 au carré.

Après cela, il est clair que le reflet du graphique un sur 𝑥 est inchangé. C’est à nouveau le graphique de un sur 𝑥. Les symétries des trois autres options sont différentes. Cela signifie que les fonctions réciproques sont différentes de la fonction d’origine. Ainsi, 𝑥 carré, 𝑥 cube et un sur 𝑥 carré ne sont pas leurs propres réciproques. Une petite remarque, pour les options (b) et (d), les symétries ne sont en fait pas du tout des fonctions. Ces graphiques échoueraient au test de la ligne verticale. Comme les courbes ne sont pas du tout des fonctions, nous disons que 𝑥 au carré et un sur 𝑥 au carré n’ont pas de réciproque. Bien, revenons à notre question, il devrait être clair que l’option (a) est le seul graphique pour lequel l’original et la symétrie sont les mêmes. Cela signifie que parmi nos options, un sur 𝑥 est la seule fonction qui est sa propre réciproque.

Pour terminer cette vidéo, passons en revue quelques points clés. Si 𝑓 est une fonction bijective, elle a une fonction réciproque qui peut être représentée à l’aide de la notation suivante. Nous lisons cela 𝑓 moins un. Si 𝑓 n’est pas une fonction bijective, elle n’a pas de fonction réciproque. Nous pouvons penser aux fonctions réciproques comme annulant l’action les unes des autres. Cela peut être représenté comme une composition de fonctions comme ceci. Les fonctions réciproques ont des courbes qui sont des symétries les unes des autres par rapport la droite 𝑦 est égal à 𝑥. Les coordonnées des points qui se trouvent sur les courbes des fonctions réciproques peuvent être considérées comme des couples inversés. Nous avons vu que cela peut être interprété comme l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée d’une fonction étant échangés pour sa réciproque. Enfin, certaines fonctions sont leur propre réciproque. Les courbes de ces fonctions ont une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥.

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