Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser une représentation graphique pour déterminer la réciproque d'une fonction, et à analyser la représentation graphique de la réciproque d'une fonction.
Une application ou relation transforme des éléments d’un ensemble en éléments d’un autre. Si chaque valeur d’entrée de cette relation possède exactement une valeur de sortie, on l’appelle une fonction.
Définition : Fonctions
Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de départ à exactement un élément d’un ensemble d’arrivée. Les fonctions peuvent être injectives (chaque valeur d’entrée possède une seule valeur de sortie) ou non injectives (plusieurs valeurs d’entrée possèdent la même valeur de sortie).
Si une fonction associe les éléments de l’ensemble aux éléments de l’ensemble , on peut utiliser la notation suivante :
L’ensemble des valeurs qui peuvent être entrées dans la fonction est appelé l’ensemble de définition, tandis que l’ensemble des valeurs de sortie est appelé l’ensemble image.
Si la fonction est injective, on dit qu’elle admet une réciproque. En d’autres termes, il existe une fonction réciproque à cette fonction, notée , qui répond à la définition suivante.
Définition : Fonctions réciproques
Soit une fonction dont l’ensemble de définition est et dont l’ensemble image est . La fonction est la réciproque de avec ensemble de définition et ensemble image si
En d’autres termes, la fonction réciproque « défait » la fonction d’origine. On prend par exemple, la fonction . La fonction prend des valeurs de et les multiplie par 2. La réciproque de est la fonction qui « défait » ce processus ; par conséquent, . Notez que bien qu’il existe des processus algébriques pour calculer la réciproque d’une fonction, leur étude détaillée sort cependant du cadre de cette fiche explicative.
En traçant la représentation graphique de et sur le même repère, on peut identifier la transformation simple qui relie la courbe représentative d’une fonction et celle de sa réciproque.
La représentation graphique de est le symétrique de la représentation graphique de par rapport à la droite d’équation . Cela peut être généralisé pour toute fonction qui admet une réciproque.
Propriété : Représentation graphique d’une fonction réciproque
Si admet une réciproque, alors la représentation graphique de est identique à la représentation graphique de . Elle est obtenue par une symétrie de la représentation graphique de par rapport à la droite d’équation .
Cela équivaut à échanger les rôles de et dans la fonction, et tout point sur la représentation d’une fonction réciproque peut donc être trouvé en échangeant les coordonnées et du point correspondant sur la représentation graphique de la fonction d’origine. Par exemple, le point de coordonnées appartient à la représentation graphique de donc l’image par symétrie de ce point sur la représentation graphique de a pour coordonnées .
Dans le premier exemple, nous allons montrer comment reconnaître la courbe représentative d’une fonction réciproque à partir de la courbe représentative de la fonction d’origine.
Exemple 1: Identifier la représentation graphique de la réciproque d’une fonction
La courbe suivante est la représentation graphique de .
Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à sa fonction réciproque ?
Réponse
On rappelle que pour une fonction , la représentation graphique de est le symétrique de la représentation graphique de par rapport à la droite d’équation . Cela équivaut à échanger les coordonnées et de chaque point appartenant à la droite .
On commence par identifier trois points quelconques sur la droite d’équation . On va choisir , et .
Pour déterminer les coordonnées correspondantes sur la représentation graphique de la réciproque de , on échange les coordonnées et . Les symétriques des points sont donc respectivement , et . En ajoutant une droite passant par ces points, on obtient la représentation graphique de la réciproque, . On peut voir sur la figure suivante qu’il s’agit du symétrique de la représentation graphique de par rapport à la droite en pointillés .
La bonne réponse est (A).
Dans cet exemple, nous avons montré qu’en appliquant la définition de la fonction réciproque, nous pouvons associer des points de la représentation graphique de la fonction à leurs points correspondants sur la représentation graphique de la réciproque. Dans le prochain exemple, nous allons effectuer un processus similaire sur une fonction cubique.
Exemple 2: Relier la représentation graphique d’une fonction à celle de sa fonction réciproque
La représentation graphique de est tracée ci-dessous. Déterminez l’intersection de la fonction réciproque avec l’axe des .
Réponse
On rappelle que la courbe représentative d’une fonction réciproque est obtenue par symétrie de la courbe représentative de la fonction d’origine par rapport à la droite d’équation . Ce faisant, les rôles de et sont échangés. Cela signifie que si le point d’intersection avec l’axe des sur la représentation graphique de est pour un réel , alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de est . Il s’agit des coordonnées d’un point d’intersection avec l’axe des . Par conséquent, pour trouver l’intersection de la fonction réciproque avec l’axe des , on cherche le point d’intersection de avec l’axe des et on échange les rôles de et .
La représentation graphique de coupe l’axe des en . Cela signifie que la représentation graphique de coupe l’axe des en .
On montre cela sur la figure ci-dessous. On trace le symétrique de la représentation graphique de par rapport à la droite en pointillés . L’intersection avec l’axe des est en 6, comme attendu.
Dans cet exemple, nous avons vu que si le point d’intersection avec l’axe des de la représentation graphique de est pour un réel , alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de est . On en déduit que la réciproque doit également être vraie. De même, si le point d’intersection avec l’axe des de la représentation graphique de est pour un réel , alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de est .
En fait, on pourrait même en déduire plus d’informations sur l’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions et de leurs réciproques. Comme les valeurs de sortie de sont les valeurs d’entrée de , l’ensemble image de est également l’ensemble de définition de . De même, comme les valeurs d’entrée de sont les valeurs de sortie de , l’ensemble de définition de est l’ensemble image de . En outre, si une fonction n’admet pas de réciproque, il peut être possible de restreindre l’ensemble de définition de cette fonction pour que cette nouvelle fonction admette une réciproque.
Par exemple, on considère la fonction dont la représentation graphique est tracée ci-dessous. Cette fonction échoue au test de la droite horizontale comme indiqué ci-dessous, elle n’est donc pas injective.
Cela signifie que si on trace le symétrique de la représentation graphique de la fonction par rapport à la droite d’équation , la représentation graphique résultante échoue au test de la droite verticale ; il s’agit donc d’une valeur d’entrée ayant plusieurs valeurs de sortie et ce n’est donc pas la représentation graphique d’une fonction. Par conséquent, n’a pas de réciproque.
Cependant, en restreignant l’ensemble de définition de à , la fonction passe le test de la droite horizontale et peut maintenant avoir une reciproque. La représentation graphique de sa réciproque est le symétrique de par rapport à la droite d’équation de sorte que l’ensemble image de soit l’ensemble de définition de , soit .
Propriété : Ensemble de définition et ensemble image des fonctions réciproques
L’ensemble image d’une fonction injective est l’ensemble de définition de sa fonction réciproque .
L’ensemble de définition de est l’ensemble image de .
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment appliquer la relation entre la représentation graphique d’une fonction et celle de sa réciproque pour déterminer leurs points d’intersection.
Exemple 3: Utiliser la relation entre une fonction et sa réciproque pour déterminer des inconnues
Les représentations graphiques de et de sa réciproque se coupent en trois points, dont l’un est .
- Déterminez la valeur de .
- Trouvez l’abscisse du point sur la figure.
- Trouvez l’abscisse du point sur la figure.
Réponse
Partie 1
Comme la représentation graphique de passe par le point , on peut substituer et dans l’équation pour déterminer la valeur de :
On détermine ,
Partie 2
La figure montre la représentation graphique de et de sa réciproque. Comme l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des de est , la courbe rouge correspond à . Cela signifie que la courbe bleue correspond à . On peut donc trouver les coordonnées du point , qui est l’intersection avec l’axe des de la courbe représentative de la fonction réciproque, en déterminant les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des de la fonction d’origine et en échangeant et . Cela équivaut prendre l’image par symétrie de ce point par rapport à la droite d’équation .
Le point d’intersection avec l’axe des de est . Le point d’intersection avec l’axe des de est donc
Par conséquent, l’abscisse du point est .
Partie 3
On rappelle que la représentation graphique de est le symétrique de par rapport à la droite d’équation . Comme le point est un point d’intersection de et , il doit appartenir à la droite .
On peut donc trouver le point d’intersection en résolvant le système d’équations
Substituer dans la première équation et réarranger donne
Comme un des points d’intersection a pour abscisse , on sait que est un facteur de .
Diviser par donne le facteur . L’équation précédente peut donc être écrite comme
Enfin, en appliquant la formule des racines du second degré à l’équation , on trouve les solutions possibles
Étant donné que le point d’intersection se situe dans le premier quadrant, son abscisse doit être positive.
Par conséquent, l’abscisse du point est .
Voyons maintenant comment appliquer les propriétés des représentations graphiques des fonctions réciproques pour tracer une fonction et sa réciproque.
Exemple 4: Déterminer la représentation graphique d’une fonction qui est sa propre réciproque
En traçant les courbes représentatives des fonctions suivantes, quelle fonction est sa propre réciproque ?
Réponse
Pour répondre à cette question, on va tracer la représentation graphique de chaque fonction, en commençant par la représentation graphique de . Il s’agit de la fonction inverse avec des asymptotes en et .
Comme la recherche de la réciproque équivaut à échanger les rôles de et dans la fonction, les asymptotes de la réciproque de doivent être et . Pour tracer la représentation graphique de la réciproque, on trace le symétrique de la représentation graphique de la fonction d’origine par rapport à la droite d’équation .
Cette symétrie donne la représentation graphique de elle-même, la réponse est donc A.
On le vérifie en étudiant les trois autres fonctions, en commençant par . La fonction n’est pas injective et n’admet donc pas de réciproque sans restriction de son ensemble de définition. De même, est une fonction non injective et n’admet pas de réciproque.
Vient ensuite la fonction . Il s’agit de la fonction cubique qui passe par l’origine.
Tracer le symétrique de la représentation graphique de la fonction par rapport à la droite d’équation donne la figure suivante :
Comme la courbe représentative de la fonction ne correspond pas à celle de sa réciproque, la réponse ne peut pas être C.
La bonne réponse est donc A, .
Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment restreindre l’ensemble de définition d’une fonction peut la rendre injective.
Exemple 5: Tracer les représentations graphiques de fonctions pour déterminer si elles sont réciproques
En traçant les représentations graphiques de et pour , déterminez si ces fonctions sont des réciproques l’une de l’autre.
Réponse
La fonction est une fonction non injective, c’est-à-dire que plusieurs valeurs d’entrées de cette fonction ont la même image. Cela signifie que ce n’est pas une fonction qui admet de réciproque. Cependant, son ensemble de définition a été restreint à , créant ainsi une fonction injective admettant une réciproque.
Comme la fonction est du second degré avec un coefficient positif, c’est une parabole en forme de U qui passe par l’origine. Restreindre son ensemble de définition à donne la figure suivante.
On trace maintenant la représentation graphique de sur le même repère. Il s’agit d’une transformation de la représentation graphique de par une dilatation horizontale de facteur 2. Sa représentation graphique est illustrée ci-dessous.
Il semble que ces fonctions soient réciproques l’unes de l’autre car elles semblent être symétriques par rapport à la droite d’équation . On le vérifie en étudiant leur point d’intersection. S’il appartient à la droite d’équation , ses coordonnées et seront égales.
Pour trouver ce point, on résout :
Les solutions à cette équation sont et .
Substituer dans les deux fonction donne . Comme les valeurs de et sont les mêmes, on sait que le point d’intersection des courbes représentatives appartient à la droite d’équation .
De même, substituer dans les deux fonctions donne . Le point appartient également à la droite d’équation comme le montre la figure suivante.
On peut également vérifier si ces fonctions sont réciproques en étudiant un couple de points sur chaque courbe représentative.
Le point appartient à la courbe . L’image de ce point par symétrie par rapport à est . S’il appartient à la courbe , substituer dans cette équation donnera :
L’image du point par symétrie par rapport à appartient à la courbe . Par conséquent, il semble que et pour sont réciproques l’une de l’autre.
Bien sûr, même étudier plusieurs points n’est pas suffisant. On pourrait le vérifier en utilisant un logiciel pour tracer les représentations graphiques et leurs symétries par rapport à .
Dans cet exemple, on a montré comment identifier une série de points après une symétrie par rapport à la droite d’équation et comment utiliser cette information pour déterminer si deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre.
On pourrait vérifier le résultat plus strictement en utilisant la définition d’une fonction réciproque : si est une fonction dont l’ensemble de définition est et l’ensemble image est , alors est la réciproque de avec ensemble de définition et ensemble image si
Évaluer la fonction composée donne
De même,
Ce sont des fonctions réciproques.
Terminons par récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Si est une fonction dont l’ensemble de définition est et dont l’ensemble image est , alors est la réciproque de avec ensemble de définition et ensemble image si
- Si admet une réciproque, alors la représentation graphique de est identique à celle de . Elle est obtenue par une symétrie de la représentation graphique de par rapport à la droite d’équation .
- L’ensemble image d’une fonction injective est l’ensemble de définition de sa fonction réciproque , tandis que l’ensemble de définition de est l’ensemble image de .
