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Fiche explicative de la leçon : Représentation graphique d’une fonction réciproque Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser une représentation graphique pour déterminer la réciproque d'une fonction, et à analyser la représentation graphique de la réciproque d'une fonction.

Une application ou relation transforme des éléments d’un ensemble en éléments d’un autre. Si chaque valeur d’entrée de cette relation possède exactement une valeur de sortie, on l’appelle une fonction.

Définition : Fonctions

Une fonction associe chaque élément d’un ensemble de départ à exactement un élément d’un ensemble d’arrivée. Les fonctions peuvent être injectives (chaque valeur d’entrée possède une seule valeur de sortie) ou non injectives (plusieurs valeurs d’entrée possèdent la même valeur de sortie).

Si une fonction 𝑓 associe les éléments de l’ensemble 𝑋 aux éléments de l’ensemble 𝑌, on peut utiliser la notation suivante:𝑓𝑋𝑌.

L’ensemble des valeurs qui peuvent être entrées dans la fonction est appelé l’ensemble de définition, tandis que l’ensemble des valeurs de sortie est appelé l’ensemble image.

Si la fonction 𝑓 est injective, on dit qu’elle admet une réciproque. En d’autres termes, il existe une fonction réciproque à cette fonction, notée 𝑓, qui répond à la définition suivante.

Définition : Fonctions réciproques

Soit 𝑓 une fonction dont l’ensemble de définition est 𝑋 et dont l’ensemble image est 𝑌. La fonction 𝑓 est la réciproque de 𝑓 avec ensemble de définition 𝑌 et ensemble image 𝑋 si 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥𝑥𝑋,𝑓𝑓(𝑦)=𝑦𝑦𝑌.pourtoutappartenantàpourtoutappartenantà

En d’autres termes, la fonction réciproque « défait » la fonction d’origine. On prend par exemple, la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥. La fonction 𝑓 prend des valeurs de 𝑥 et les multiplie par 2. La réciproque de 𝑓 est la fonction qui « défait » ce processus;par conséquent, 𝑓(𝑥)=𝑥2. Notez que bien qu’il existe des processus algébriques pour calculer la réciproque d’une fonction, leur étude détaillée sort cependant du cadre de cette fiche explicative.

En traçant la représentation graphique de 𝑦=2𝑥 et 𝑦=𝑥2 sur le même repère, on peut identifier la transformation simple qui relie la courbe représentative d’une fonction et celle de sa réciproque.

La représentation graphique de 𝑦=2𝑥 est le symétrique de la représentation graphique de 𝑦=𝑥2 par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. Cela peut être généralisé pour toute fonction 𝑓 qui admet une réciproque.

Propriété : Représentation graphique d’une fonction réciproque

Si 𝑓 admet une réciproque, alors la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est identique à la représentation graphique de 𝑥=𝑓(𝑦). Elle est obtenue par une symétrie de la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥.

Cela équivaut à échanger les rôles de 𝑥 et 𝑦 dans la fonction, et tout point sur la représentation d’une fonction réciproque peut donc être trouvé en échangeant les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point correspondant sur la représentation graphique de la fonction d’origine. Par exemple, le point de coordonnées (5;10) appartient à la représentation graphique de 𝑦=2𝑥 donc l’image par symétrie de ce point sur la représentation graphique de 𝑦=𝑥2 a pour coordonnées (10;5).

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment reconnaître la courbe représentative d’une fonction réciproque à partir de la courbe représentative de la fonction d’origine.

Exemple 1: Identifier la représentation graphique de la réciproque d’une fonction

La courbe suivante est la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=2𝑥1.

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à sa fonction réciproque 𝑓(𝑥)?

Réponse

On rappelle que pour une fonction 𝑓, la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est le symétrique de la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. Cela équivaut à échanger les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de chaque point appartenant à la droite 𝑦=𝑓(𝑥).

On commence par identifier trois points quelconques sur la droite d’équation 𝑦=2𝑥1. On va choisir (0;1), (1;1) et (2;3).

Pour déterminer les coordonnées correspondantes sur la représentation graphique de la réciproque de 𝑓, on échange les coordonnées 𝑥 et 𝑦. Les symétriques des points sont donc respectivement (1;0), (1;1) et (3;2). En ajoutant une droite passant par ces points, on obtient la représentation graphique de la réciproque, 𝑦=𝑓(𝑥). On peut voir sur la figure suivante qu’il s’agit du symétrique de la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=2𝑥1 par rapport à la droite en pointillés 𝑦=𝑥.

La bonne réponse est (A).

Dans cet exemple, nous avons montré qu’en appliquant la définition de la fonction réciproque, nous pouvons associer des points de la représentation graphique de la fonction à leurs points correspondants sur la représentation graphique de la réciproque. Dans le prochain exemple, nous allons effectuer un processus similaire sur une fonction cubique.

Exemple 2: Relier la représentation graphique d’une fonction à celle de sa fonction réciproque

La représentation graphique de 𝑓(𝑥)=5𝑥+6 est tracée ci-dessous. Déterminez l’intersection de la fonction réciproque 𝑓(𝑥) avec l’axe des 𝑥 .

Réponse

On rappelle que la courbe représentative d’une fonction réciproque est obtenue par symétrie de la courbe représentative de la fonction d’origine par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. Ce faisant, les rôles de 𝑥 et 𝑦 sont échangés. Cela signifie que si le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 sur la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (0;𝑎) pour un réel 𝑎, alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (𝑎;0). Il s’agit des coordonnées d’un point d’intersection avec l’axe des 𝑥. Par conséquent, pour trouver l’intersection de la fonction réciproque 𝑓(𝑥) avec l’axe des 𝑥, on cherche le point d’intersection de 𝑓(𝑥) avec l’axe des 𝑦 et on échange les rôles de 𝑥 et 𝑦.

La représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) coupe l’axe des 𝑦 en (0;6). Cela signifie que la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) coupe l’axe des 𝑥 en (6;0).

On montre cela sur la figure ci-dessous. On trace le symétrique de la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=5𝑥+6 par rapport à la droite en pointillés 𝑦=𝑥. L’intersection avec l’axe des 𝑥 est en 6, comme attendu.

Dans cet exemple, nous avons vu que si le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (0;𝑎) pour un réel 𝑎, alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (𝑎;0). On en déduit que la réciproque doit également être vraie. De même, si le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (𝑏;0) pour un réel 𝑏, alors l’image de ce point par symétrie sur la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est (0;𝑏).

En fait, on pourrait même en déduire plus d’informations sur l’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions et de leurs réciproques. Comme les valeurs de sortie de 𝑓 sont les valeurs d’entrée de 𝑓, l’ensemble image de 𝑓 est également l’ensemble de définition de 𝑓. De même, comme les valeurs d’entrée de 𝑓 sont les valeurs de sortie de 𝑓, l’ensemble de définition de 𝑓 est l’ensemble image de 𝑓. En outre, si une fonction n’admet pas de réciproque, il peut être possible de restreindre l’ensemble de définition de cette fonction pour que cette nouvelle fonction admette une réciproque.

Par exemple, on considère la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥 dont la représentation graphique est tracée ci-dessous. Cette fonction échoue au test de la droite horizontale comme indiqué ci-dessous, elle n’est donc pas injective.

Cela signifie que si on trace le symétrique de la représentation graphique de la fonction par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥, la représentation graphique résultante échoue au test de la droite verticale;il s’agit donc d’une valeur d’entrée ayant plusieurs valeurs de sortie et ce n’est donc pas la représentation graphique d’une fonction. Par conséquent, 𝑓(𝑥)=𝑥 n’a pas de réciproque.

Cependant, en restreignant l’ensemble de définition de 𝑓 à [0;+[, la fonction passe le test de la droite horizontale et peut maintenant avoir une reciproque. La représentation graphique de sa réciproque est le symétrique de 𝑦=𝑓(𝑥) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 de sorte que l’ensemble image de 𝑓 soit l’ensemble de définition de 𝑓, soit [0;+[.

Propriété : Ensemble de définition et ensemble image des fonctions réciproques

L’ensemble image d’une fonction injective 𝑓(𝑥) est l’ensemble de définition de sa fonction réciproque 𝑓(𝑥).

L’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est l’ensemble image de 𝑓(𝑥).

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment appliquer la relation entre la représentation graphique d’une fonction et celle de sa réciproque pour déterminer leurs points d’intersection.

Exemple 3: Utiliser la relation entre une fonction et sa réciproque pour déterminer des inconnues

Les représentations graphiques de 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏 et de sa réciproque 𝑓(𝑥) se coupent en trois points, dont l’un est 45;45.

  1. Déterminez la valeur de 𝑏.
  2. Trouvez l’abscisse 𝑥 du point 𝐴 sur la figure.
  3. Trouvez l’abscisse 𝑥 du point 𝐵 sur la figure.

Réponse

Partie 1

Comme la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) passe par le point 45;45, on peut substituer 𝑥=45 et 𝑓(𝑥)=45 dans l’équation 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏 pour déterminer la valeur de 𝑏:𝑓(𝑥)=𝑥+𝑏45=45+𝑏45=64125+𝑏.

On détermine 𝑏, 𝑏=4564125𝑏=36125.

Partie 2

La figure montre la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=𝑥+36125 et de sa réciproque. Comme l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de 𝑦=𝑓(𝑥) est 36125>0, la courbe rouge correspond à 𝑦=𝑓(𝑥). Cela signifie que la courbe bleue correspond à 𝑦=𝑓(𝑥). On peut donc trouver les coordonnées du point 𝐴, qui est l’intersection avec l’axe des 𝑥 de la courbe représentative de la fonction réciproque, en déterminant les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de la fonction d’origine et en échangeant 𝑥 et 𝑦. Cela équivaut prendre l’image par symétrie de ce point par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥.

Le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 de 𝑓(𝑥) est 0;36125. Le point d’intersection avec l’axe des 𝑥 de 𝑓(𝑥) est donc 36125;0

Par conséquent, l’abscisse 𝑥 du point 𝐴 est 36125.

Partie 3

On rappelle que la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est le symétrique de 𝑦=𝑓(𝑥) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. Comme le point 𝐵 est un point d’intersection de 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑓(𝑥), il doit appartenir à la droite 𝑦=𝑥.

On peut donc trouver le point d’intersection en résolvant le système d’équations 𝑦=𝑥+36125,𝑦=𝑥.

Substituer 𝑦=𝑥 dans la première équation et réarranger donne 𝑥=𝑥+36125𝑥𝑥+36125=0.

Comme un des points d’intersection a pour abscisse 𝑥=45, on sait que (5𝑥4) est un facteur de 𝑥𝑥+36125.

Diviser 𝑥𝑥+36125 par 5𝑥4 donne le facteur 112525𝑥+20𝑥9. L’équation précédente peut donc être écrite comme 1125(5𝑥4)25𝑥+20𝑥9=0.

Enfin, en appliquant la formule des racines du second degré à l’équation 25𝑥+20𝑥9=0, on trouve les solutions possibles 𝑥=1325,𝑥=1325.

Étant donné que le point d’intersection se situe dans le premier quadrant, son abscisse 𝑥 doit être positive.

Par conséquent, l’abscisse 𝑥 du point 𝐵 est 𝑥=1325.

Voyons maintenant comment appliquer les propriétés des représentations graphiques des fonctions réciproques pour tracer une fonction et sa réciproque.

Exemple 4: Déterminer la représentation graphique d’une fonction qui est sa propre réciproque

En traçant les courbes représentatives des fonctions suivantes, quelle fonction est sa propre réciproque?

  1. 1𝑥
  2. 𝑥
  3. 𝑥
  4. 1𝑥

Réponse

Pour répondre à cette question, on va tracer la représentation graphique de chaque fonction, en commençant par la représentation graphique de 𝑦=1𝑥. Il s’agit de la fonction inverse avec des asymptotes en 𝑦=0 et 𝑥=0.

Comme la recherche de la réciproque équivaut à échanger les rôles de 𝑥 et 𝑦 dans la fonction, les asymptotes de la réciproque de 1𝑥 doivent être 𝑥=0 et 𝑦=0. Pour tracer la représentation graphique de la réciproque, on trace le symétrique de la représentation graphique de la fonction d’origine par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥.

Cette symétrie donne la représentation graphique de 𝑦=1𝑥 elle-même, la réponse est donc A.

On le vérifie en étudiant les trois autres fonctions, en commençant par 𝑥. La fonction 𝑥 n’est pas injective et n’admet donc pas de réciproque sans restriction de son ensemble de définition. De même, 1𝑥 est une fonction non injective et n’admet pas de réciproque.

Vient ensuite la fonction 𝑥. Il s’agit de la fonction cubique qui passe par l’origine.

Tracer le symétrique de la représentation graphique de la fonction par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 donne la figure suivante:

Comme la courbe représentative de la fonction ne correspond pas à celle de sa réciproque, la réponse ne peut pas être C.

La bonne réponse est donc A, 1𝑥.

Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment restreindre l’ensemble de définition d’une fonction peut la rendre injective.

Exemple 5: Tracer les représentations graphiques de fonctions pour déterminer si elles sont réciproques

En traçant les représentations graphiques de 𝑓(𝑥)=2𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥2 pour 𝑥0, déterminez si ces fonctions sont des réciproques l’une de l’autre.

Réponse

La fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥 est une fonction non injective, c’est-à-dire que plusieurs valeurs d’entrées de cette fonction ont la même image. Cela signifie que ce n’est pas une fonction qui admet de réciproque. Cependant, son ensemble de définition a été restreint à 𝑥0, créant ainsi une fonction injective admettant une réciproque.

Comme la fonction 2𝑥 est du second degré avec un coefficient positif, c’est une parabole en forme de U qui passe par l’origine. Restreindre son ensemble de définition à 𝑥0 donne la figure suivante.

On trace maintenant la représentation graphique de 𝑦=𝑥2 sur le même repère. Il s’agit d’une transformation de la représentation graphique de 𝑦=𝑥 par une dilatation horizontale de facteur 2. Sa représentation graphique est illustrée ci-dessous.

Il semble que ces fonctions soient réciproques l’unes de l’autre car elles semblent être symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥. On le vérifie en étudiant leur point d’intersection. S’il appartient à la droite d’équation 𝑦=𝑥, ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 seront égales.

Pour trouver ce point, on résout 2𝑥=𝑥2:4𝑥=𝑥28𝑥𝑥=0𝑥8𝑥1=0.

Les solutions à cette équation sont 𝑥=0 et 𝑥=18=12.

Substituer 𝑥=12 dans les deux fonction donne 𝑦=2×12=12. Comme les valeurs de 𝑥 et 𝑦 sont les mêmes, on sait que le point d’intersection des courbes représentatives appartient à la droite d’équation 𝑦=𝑥.

De même, substituer 𝑥=0 dans les deux fonctions donne 𝑦=0. Le point (0;0) appartient également à la droite d’équation 𝑦=𝑥 comme le montre la figure suivante.

On peut également vérifier si ces fonctions sont réciproques en étudiant un couple de points sur chaque courbe représentative.

Le point (1;2) appartient à la courbe 𝑦=2𝑥. L’image de ce point par symétrie par rapport à 𝑦=𝑥 est (2;1). S’il appartient à la courbe 𝑦=𝑥2, substituer 𝑥=2 dans cette équation donnera 𝑦=1:𝑦=𝑥2=22=1=1.

L’image du point (1;2) par symétrie par rapport à 𝑦=𝑥 appartient à la courbe 𝑦=𝑥2. Par conséquent, il semble que 𝑓(𝑥)=2𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥2 pour 𝑥0 sont réciproques l’une de l’autre.

Bien sûr, même étudier plusieurs points n’est pas suffisant. On pourrait le vérifier en utilisant un logiciel pour tracer les représentations graphiques et leurs symétries par rapport à 𝑦=𝑥.

Dans cet exemple, on a montré comment identifier une série de points après une symétrie par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥 et comment utiliser cette information pour déterminer si deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre.

On pourrait vérifier le résultat plus strictement en utilisant la définition d’une fonction réciproque:si 𝑓 est une fonction dont l’ensemble de définition est 𝑋 et l’ensemble image est 𝑌, alors 𝑓 est la réciproque de 𝑓 avec ensemble de définition 𝑌 et ensemble image 𝑋 si 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥𝑥𝑋,𝑓𝑓(𝑦)=𝑦𝑦𝑌.pourtoutappartenantàpourtoutappartenantà

Évaluer la fonction composée 𝑓𝑔(𝑥) donne 𝑓𝑔(𝑥)=𝑓𝑥2=2𝑥2=2𝑥2=𝑥.

De même, 𝑔𝑓(𝑥)=𝑔2𝑥=2𝑥2=𝑥.

Ce sont des fonctions réciproques.

Terminons par récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si 𝑓 est une fonction dont l’ensemble de définition est 𝑋 et dont l’ensemble image est 𝑌, alors 𝑓 est la réciproque de 𝑓 avec ensemble de définition 𝑌 et ensemble image 𝑋 si 𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥𝑥𝑋,𝑓𝑓(𝑦)=𝑦𝑦𝑌.pourtoutappartenantàpourtoutappartenantà
  • Si 𝑓 admet une réciproque, alors la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) est identique à celle de 𝑥=𝑓(𝑦). Elle est obtenue par une symétrie de la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) par rapport à la droite d’équation 𝑦=𝑥.
  • L’ensemble image d’une fonction injective 𝑓(𝑥) est l’ensemble de définition de sa fonction réciproque 𝑓(𝑥), tandis que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est l’ensemble image de 𝑓(𝑥).

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