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Déterminez l’expression générale d’une fonction 𝑓 dont la dérivée troisième vérifie 𝑓 trois primes de 𝑡 égale à trois sinus 𝑡 moins deux.
Que signifie la notation 𝑓 trois prime de 𝑡 ? Il s’agit de la notation pour la dérivée troisième. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑡 a été dérivée trois fois pour obtenir 𝑓 trois prime de 𝑡. Nous devons donc faire l’opposé de la dérivation, c’est-à-dire intégrer trois fois pour obtenir 𝑓 de 𝑡. Alors allons-y et déterminons la primitive de trois sinus 𝑡 moins deux. De la même manière que nous dérivons terme par terme, nous pouvons intégrer terme par terme. Nous intégrons donc trois sinus 𝑡 et deux. Il est utile de rappeler quelques dérivées utiles. La dérivée de sinus 𝑡 est cosinus 𝑡. La dérivée de cosinus 𝑡 est moins sinus 𝑡. La dérivée de moins sinus 𝑡 est moins cosinus 𝑡. Et la dérivée de moins cosinus 𝑡 est sinus 𝑡. C’est utile car, pour l’intégration, les flèches vont dans le sens opposé.
Rappelons également les primitives d’autres fonctions. Si nous avons une fonction comme quatre 𝑥 au carré plus trois 𝑥 plus cinq, nous pouvons la dériver terme par terme. Nous commençons avec quatre 𝑥 au carré et nous multiplions le coefficient quatre par la puissance deux pour obtenir un nouveau coefficient de huit. Et puis, nous réduisons la puissance de un pour obtenir huit 𝑥. Trois 𝑥 est équivalent à trois 𝑥 puissance un. Donc, la dérivée de cela vaut trois. Il nous est utile de noter ici que la dérivée de trois 𝑥 est trois. Et donc qu’une primitive de trois est trois 𝑥. Cinq est une constante. Donc, sa dérivée est nulle.
Voilà donc pour la dérivation. Mais qu’en est-il des primitives ou de l’intégration ? Eh bien, c’est le contraire de la dérivation. Au lieu de multiplier le coefficient par la puissance et de soustraire un à la puissance, nous augmentons la puissance de un et divisons le coefficient par cette nouvelle puissance. Comme la dérivée des constantes est nulle, nous en tenons compte en ajoutant une constante à notre primitive. On appelle souvent cette constante 𝐶. Mais en fait, nous pouvons utiliser n’importe quelle lettre.
Donc, pour revenir à notre question, nous cherchons la primitive de trois sinus 𝑡 moins deux. Et cela nous donnera 𝑓 prime prime de 𝑡. Si nous regardons le tableau, nous voyons qu’une primitive de sinus 𝑡 est moins cosinus 𝑡. Donc, une primitive de trois sinus 𝑡 est moins trois cosinus 𝑡. Et une primitive de deux est deux 𝑡 comme nous l’avons vu dans l’exemple. Et nous devons inclure la constante d’intégration, 𝐶. Et maintenant, nous intégrons de nouveau pour trouver 𝑓 prime de 𝑡. Sur le tableau, nous voyons qu’une primitive de moins cosinus 𝑡 est moins sinus 𝑡. Donc, une primitive de moins trois cosinus 𝑡 est moins trois sinus 𝑡. Pour intégrer deux 𝑡, nous suivons les règles des primitives. Nous augmentons la puissance de 𝑡 de un, ce qui nous donne une nouvelle puissance de deux. Et puis, nous divisons le coefficient deux par la nouvelle puissance qui est deux, ce qui nous donne un. Donc, nous avons juste 𝑡 au carré. Nous avons vu comment intégrer une constante. Donc, une primitive de 𝐶 est simplement 𝐶𝑡. C’est de la même manière comme une primitive de deux est deux 𝑡, une primitive de 𝐶 est 𝐶𝑡.
Et finalement, parce que nous avons intégré, nous devons inclure une constante d’intégration. Donc, cette fois-ci, appelons-la 𝐷. Nous avons donc 𝑓 prime de 𝑡. Et nous devons continuer parce que, rappelons-le, nous cherchons à déterminer 𝑓 de 𝑡. Sur le tableau, une primitive de moins sinus 𝑡 est cosinus 𝑡. Donc, une primitive de moins trois sinus 𝑡 est trois cosinus 𝑡. Pour intégrer 𝑡 au carré, nous augmentons la puissance de un pour obtenir une nouvelle puissance de trois. Et puis, nous divisons par la nouvelle puissance. Nous obtenons donc 𝑡 au cube sur trois.
Pour intégrer 𝐶𝑡, nous suivons à nouveau les règles des primitives. Nous augmentons la puissance de un et nous divisons par la nouvelle puissance, ce qui nous donne 𝐶𝑡 au carré sur deux. Mais 𝐶 est une constante dont la valeur est inconnue. Donc, en la divisant, cela reste une constante de valeur inconnue. Donc, nous pouvons simplement écrire 𝐶𝑡 au carré. 𝐷 est une constante. Donc, une primitive est 𝐷𝑡. Et la dernière étape consiste à ajouter une constante d’intégration que nous pouvons appeler 𝐸 cette fois-ci. Alors maintenant, nous avons 𝑓 de 𝑡.
Il s’agit d’une famille de fonctions car il y a de nombreuses possibilités pour les constantes 𝐶, 𝐷 et 𝐸. Toutes les possibilités pour les valeurs de 𝐶, 𝐷 et 𝐸 créent une famille de fonctions. Pour la réponse finale, nous l’écrivons souvent avec le terme de plus grande puissance de la fonction en premier. Il s’agit ici de 𝑡 au cube sur trois.
Alors le résultat final est moins 𝑡 au cube sur trois plus trois cosinus 𝑡 plus 𝐶𝑡 au carré plus 𝐷𝑡 plus 𝐸.
