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Fiche explicative de la leçon : Primitives Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver la primitive d’une fonction. La primitive d’une function d’expression 𝑓(𝑥) est la function d’expression 𝐹(𝑥) telle que 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥).

Une primitive d’une fonction 𝑓 est une autre fonction 𝐹 dont la dérivée est égale à la fonction d’origine 𝑓.

Définition: Primitive d’une fonction

Pour une fonction derivable d’expression 𝐹(𝑥), si on a 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors on dit que 𝐹(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥).

Notons que puisque 𝑓(𝑥) est la dérivée de 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥);de même, 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥). Le processus de recherche d’une primitive d’une fonction est le processus inverse de dérivation d’une fonction;par exemple, 2𝑥 est la dérivée de 𝑥, donc on peut dire que 𝑥 est une primitive de 2𝑥.

Il y a de nombreuses applications des primitives, par exemple, lorsque nous considérons les équations du mouvement en mécanique newtonienne. Le vecteur vitesse, 𝑣(𝑡), est défini comme le taux de variation du déplacement, 𝑠(𝑡) par rapport au temps, 𝑡. En d’autres termes, la vitesse est la dérivée du déplacement:𝑣(𝑡)=𝑠(𝑡).

Cela signifie que l’inverse est également vrai;le déplacement est une primitive de la vitesse et ainsi la fonction d’expression 𝑠(𝑡) est une primitive de la fonction d’expression 𝑣(𝑡). De même, l’accélération, 𝑎(𝑡), est la dérivée de la vitesse, ce qui signifie que la vitesse est une primitive de l’accélération.

En fait, une primitive n’est pas unique et il existe de nombreuses fonctions qui diffèrent à une constante près et qui donnent la même dérivée. Pour voir cela, considérons la fonction constante 𝐹(𝑥)=1. La dérivée de cette fonction par rapport à 𝑥 est 𝑓(𝑥)=𝐹(𝑥)=(1)=0.

C'est ce qui est attendu puisque la fonction 𝐹 ne varie pas lorsque 𝑥 varie;ainsi sa dérivée est nulle. Cela signifie qu’une primitive de 𝑓(𝑥)=0 est 𝐹(𝑥)=1. Ceci est également vrai pour 𝐹(𝑥)=2, et en fait pour toute constante réelle 𝐹(𝑥)=C, car la dérivée sera toujours 𝑓(𝑥)=0, puisque C=0. Cela signifie qu’une primitive de 𝑓(𝑥)=0 est une constante 𝐹(𝑥)=C;ou encore, on peut dire que la primitive de 𝑓(𝑥)=0 est 𝐹(𝑥)=C pour tout C.

Qu’en est-il de la dérivée de 𝐹(𝑥)+C?La dérivée étant linéaire, nous pouvons dériver les combinaisons linéaires de fonctions séparément;en particulier, (𝑓+𝑔)=𝑓+𝑔, nous avons donc, (𝐹(𝑥)+)=𝐹(𝑥)+=𝐹(𝑥)+0=𝑓(𝑥).CC

La constante C, également appelée constante d’intégration, est très importante car elle produit une famille de primitives, 𝐹(𝑥)+C, paramétrée par C. Cela signifie que 𝑓(𝑥) est la dérivée de 𝐹(𝑥)+C, de sorte que 𝐹(𝑥)+C est la primitive ou la primitive la plus générale de 𝑓(𝑥) pour tout C;c’est pourquoi nous ajoutons toujours un +C pour déterminer la primitive (générale) de toute fonction, car sans cela nous avons une primitive, qui n’est pas unique. En d’autres termes, 𝐹(𝑥)+C est la fonction la plus générale qui a une dérivée 𝑓(𝑥) pour tout C;par exemple, contrairement à 𝑥 qui est une primitive particulière de 2𝑥, 𝑥+C est la primitive générale de 2𝑥. Cela signifie que 𝑥+1, 𝑥+7, 𝑥+2 , ou 𝑥+𝜋, et ainsi de suite, sont également des primitives de 2𝑥.

En utilisant cela, on peut aussi dire que la primitive générale d’une fonction 𝑓(𝑥) est la fonction 𝑓(𝑥)+C, pour C, et de même la primitive générale de la fonction 𝑓(𝑥) est la fonction 𝑓(𝑥)+C et ainsi de suite.

Si on nous donne également 𝐹(𝑥)=𝐹, aussi appelée condition initiale, alors nous pouvons également déterminer la constante C pour donner une primitive unique qui satisfait la condition initiale.

Notons également qu’un facteur constant devant une fonction n’affecte pas sa primitive. Cela découle de la définition de la dérivée appliquée à 𝑎𝐹(𝑥):(𝑎𝐹(𝑥))=𝑎𝐹(𝑥)=𝑎(𝐹(𝑥))=𝑎𝑓(𝑥).

Donc, 𝑎𝐹(𝑥) est une primitive de 𝑎𝑓(𝑥), ou encore 𝑎𝐹(𝑥)+C est la primitive générale de 𝑎𝑓(𝑥) pour tout C. Cela signifie que nous pouvons toujours amener un facteur constant à l’intérieur de la dérivée comme 𝑎(𝐹(𝑥))=(𝑎𝐹(𝑥));en d’autres termes, si la dérivée est multipliée par une constante, la primitive est également multipliée par la même constante et inversement.

Si l’on veut trouver la primitive de 𝑓(𝑥)=𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥) pour certaines fonctions 𝑢(𝑥);𝑣(𝑥) et constantes 𝑎,𝑏, on peut trouver les primitives de 𝑎𝑢(𝑥) et 𝑏𝑣(𝑥) séparément, disons 𝑎𝑈(𝑥) et 𝑏𝑉(𝑥), puis additionner les résultats. En d’autres termes, la primitive d’une somme est la somme des primitives;la primitive est une opération linéaire, ce qui découle de la linéarité de la dérivée.

Pour voir cela, on pose 𝐹(𝑥)=𝑎𝑈(𝑥)+𝑏𝑉(𝑥), avec 𝑢(𝑥)=𝑈(𝑥) et 𝑣(𝑥)=𝑉(𝑥), et en utilisant le fait que nous pouvons dériver les combinaisons linéaires de fonctions séparément, on a 𝑓(𝑥)=𝐹(𝑥)=(𝑎𝑈(𝑥)+𝑏𝑉(𝑥))=𝑎𝑈(𝑥)+𝑏𝑉(𝑥)=𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥).

Ainsi, une primitive de la somme 𝑓(𝑥)=𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥) est 𝐹(𝑥)=𝑎𝑈(𝑥)+𝑏𝑉(𝑥), la somme des primitives. Donc, afin de travailler en sens inverse et de trouver une primitive d’une somme de fonctions, on trouve simplement une primitive de chaque partie séparément et on additionne les résultats, sans oublier +C à la fin. Normalement, nous devrions obtenir une constante pour chaque partie du processus d’intégration, mais nous pouvons les combiner en une seule constante. La primitive la plus générale de 𝑓(𝑥)=𝑎𝑢(𝑥)+𝑏𝑣(𝑥) est 𝐹(𝑥)+=𝑎𝑈(𝑥)+𝑏𝑉(𝑥)+.CC

Notons que nous avons écrit la primitive la plus générale 𝐹(𝑥)+C pour que la constante apparaisse explicitement, mais on peut généralement l’absorber dans la fonction 𝐹(𝑥) de sorte qu’elle contienne déjà +C. Par exemple, on peut dire que la primitive générale de 𝑓(𝑥)=2𝑥 est 𝐹(𝑥)=𝑥+C, au lieu d’écrire la primitive générale comme 𝐹(𝑥)+C avec 𝐹(𝑥)=𝑥.

Maintenant, supposons 𝐹(𝑥)=𝑥 pour 𝑝;on peut trouver la dérivée de cette fonction par la règle de puissance pour la dérivation comme suit (𝑥)=𝑝𝑥.

Il sera utile de réécrire ceci comme 1𝑝(𝑥)=𝑥𝑝=𝑥, où l'on a divisé par la constante 𝑝0, puisqu'un facteur constant devant une fonction n’affecte pas la dérivée ou la primitive. Mais que se passe-t-il si nous voulons travailler en sens inverse?C’est-à-dire, étant donné 𝑓(𝑥)=𝑥, nous voulons déterminer la primitive. Cela signifie que nous voulons trouver la fonction la plus générale 𝐹(𝑥) qui se dérive pour donner 𝑥.

Nous avons déjà montré que la dérivée de 𝑥𝑝 est 𝑥, pour 𝑝0. Si l'on pose 𝑝=𝑎+1, alors on a 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Ainsi, 𝑥𝑎+1 est une primitive de 𝑥, à condition que 𝑎1. La primitive la plus générale de 𝑓(𝑥)=𝑥 peut être trouvée en ajoutant la constante d'intégration pour donner 𝐹(𝑥)=𝑥𝑎+1+,𝑎1,C résultat que nous pouvons vérifier en dérivant cette expression par rapport à 𝑥. Dans le cas où 𝑎=1, c’est-à-dire la primitive de 𝑥, on note que (|𝑥|)=𝑥.ln

Ainsi, la primitive générale de 𝑓(𝑥)=𝑥 quand 𝑎=1 est 𝐹(𝑥)=|𝑥|+.lnC

Voyons quelques exemples où nous appliquons ces règles, en commençant par trouver une primitive d’une fonction polynomiale.

Exemple 1: Déterminer la primitive générale d’une fonction polynomiale

Déterminer la primitive générale d’expression 𝐹(𝑥) de la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥3𝑥𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons trouver la primitive la plus générale d’une fonction polynomiale donnée.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que nous pouvons déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

On peut trouver la primitive générale de 𝑓(𝑥)=2𝑥3𝑥𝑥 en utilisant ces règles comme suit 𝐹(𝑥)=2𝑥7+13𝑥5+1𝑥2+1+=28𝑥36𝑥13𝑥+=𝑥4𝑥2𝑥3+.CCC

Considérons maintenant un exemple où nous devons déterminer la constante d'intégration en appliquant une condition initiale.

Exemple 2: Déterminer la primitive d’une fonction polynomiale

Déterminer la primitive 𝐹 de la fonction 𝑓(𝑥)=5𝑥+4𝑥, 𝐹(1)=2.

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons déterminer l'unique primitive d’une fonction satisfaisant une condition initiale donnée.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que l'on peut déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

La primitive générale de 𝑓(𝑥)=5𝑥+4𝑥 peut être trouvée à partir de ces règles pour donner 𝐹(𝑥)=5𝑥4+1+4𝑥3+1+=𝑥+𝑥+.CC

Si on nous donne également 𝐹(𝑥)=𝐹, aussi appelée condition initiale, alors nous pouvons également déterminer la constante C pour donner une primitive unique qui satisfait la condition initiale.

En utilisant la condition initiale 𝐹(1)=2, on obtient 𝐹(1)=(1)+(1)+=2,C qui, après réarrangement donne C=4.

Donc, l'unique primitive qui satisfait la condition initiale 𝐹(1)=2 est donnée par 𝐹(𝑥)=𝑥+𝑥4.

L’exemple suivant nécessite de prendre une primitive deux fois, afin de déterminer la fonction à partir de sa deuxième dérivée.

Exemple 3: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de sa deuxième dérivée à l’aide de l’intégration

Si 𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥+5𝑥+2, déterminer 𝑓(𝑥).

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction d’expression 𝑓(𝑥) à partir de l’expression de sa deuxième dérivée 𝑓(𝑥) en utilisant le processus d'intégration.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

Puisque 𝑓(𝑥) est la dérivée de 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥) et de même 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥). Donc, afin de déterminer 𝑓(𝑥) à partir de 𝑓(𝑥), on doit effectuer le processus d'intégration deux fois.

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que l'on peut déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes de d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

On peut trouver la primitive générale de 𝑓(𝑥)=3𝑥+3𝑥+5𝑥+2 à partir de ces règles, ce qui nous permet de déterminer que 𝑓(𝑥) vaut 𝑓(𝑥)=3𝑥5+1+3𝑥3+1+5𝑥1+1+2𝑥1+0+=𝑥2+3𝑥4+5𝑥2+2𝑥+.CC

Répétant ce processus pour trouver la primitive générale de 𝑓(𝑥), on trouve que 𝑓(𝑥) vaut 𝑓(𝑥)=12𝑥6+1+34𝑥4+1+52𝑥2+1+2𝑥1+1+𝑥1+0+=𝑥14+3𝑥20+5𝑥6+𝑥+𝑥+.CDCD

L’exemple suivant nécessite de trouver l’unique expression d’une fonction en utilisant sa dérivée première et une condition initiale.

Exemple 4: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de sa dérivée première et de la valeur de la fonction en un point

Déterminer la fonction 𝑓 si 𝑓(𝑥)=3𝑥+1𝑥 et 𝑓(1)=4.

Réponse

Pour cet exemple, nous voulons déterminer l'unique primitive d’une fonction qui satisfait une condition initiale donnée.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

Puisque 𝑓(𝑥) est la dérivée de 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥).

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que l'on peut déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

On commence par réécrire 𝑓(𝑥) comme 𝑓(𝑥)=3𝑥+1𝑥=3𝑥𝑥+1𝑥=3𝑥+𝑥.

On peut maintenant prendre la primitive en appliquant la règle de puissance pour l'intégration donnée ci-dessus:𝑓(𝑥)=3𝑥+1+𝑥+1+=2𝑥+2𝑥+.CC

Si on nous donne 𝑓(𝑥)=𝑓, aussi appelée condition initiale, alors on peut également déterminer la constante C pour donner une primitive unique qui satisfait la condition initiale.

En utilisant la condition initiale 𝑓(1)=4, 𝑓(1)=2(1)+21+=4.C

Ainsi, on trouve C=4.

Donc, l'unique primitive de 𝑓(𝑥) qui satisfait la condition initiale donnée correspond à 𝑓(𝑥)=2𝑥+2𝑥+4.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment trouver la primitive d’une fonction comportant des puissances de 𝑥 en travaillant dans le sens inverse à partir d’une dérivée. De même, on peut appliquer le même processus à d’autres fonctions courantes (exponentielles ou trigonométriques, par exemple) que nous rencontrons, en calculant d’abord la dérivée et en travaillant dans le sens inverse pour trouver une primitive avec l’inclusion de la constante +C. Cela nous permet de créer un tableau des primitives générales.

On peut également vérifier celles-ci directement en calculant la dérivé de chaque 𝐹(𝑥) pour montrer qu’elle est égale au 𝑓(𝑥) correspondant. Par exemple, si 𝐹(𝑥)+=1𝑎𝑒+CC, alors on peut trouver que la dérivée vaut 𝑓(𝑥)=(𝐹(𝑥)+)=1𝑎𝑒+=1𝑎(𝑒)+0=1𝑎×𝑎𝑒=𝑒.CC

Pour les fonctions plus compliquées qui sont données par la somme ou le produit de ces fonctions standard, on peut utiliser quelques règles pour nous aider à déterminer une primitive, telle que la linéarité de la primitive, propriété que nous avons établie plus haut.

Pour voir cela, supposons que l'on souhaite trouver une primitive de 𝑓(𝑥)=2𝑒+𝑥.sin

Ceci est une somme de deux types de fonctions:une fonction exponentielle et une fonction trigonométrique. On peut déterminer une primitive de 2𝑒 et sin𝑥 séparément et additionner le résultat. La dérivée de 𝑥cos est sin𝑥;ainsi la primitive de sin𝑥 est 𝑥cos et de même la primitive de 2𝑒 est cette même fonction. En particulier, on trouve 𝐹(𝑥)+=2𝑒𝑥+,CcosC que l'on peut vérifier en prenant la dérivée.

Maintenant, voyons quelques autres exemples afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension. L’exemple suivant traite d'une fonction trigonométrique et d'une puissance non entière de 𝑥.

Exemple 5: Déterminer la primitive générale d’une fonction donnée construite à partir de fonctions trigonométriques et de la fonction racine carrée

Déterminer la primitive générale de la fonction 𝑓(𝑥)=4𝑥+323𝑥sin.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer la primitive la plus générale d’une fonction construite à partir de la fonction racine carrée et d'une fonction trigonométrique.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que l'on peut déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

Notons également que (𝑥)=𝑥.cossin

Ainsi, la primitive générale de sin𝑥 est 𝑥+.cosC

On commence par réécrire 𝑓(𝑥) comme 𝑓(𝑥)=4𝑥+323𝑥=4𝑥+323𝑥.sinsin

Maintenant, on peut déterminer la primitive la plus générale en utilisant les règles ci-dessus comme suit 𝐹(𝑥)=4𝑥+3𝑥23𝑥+1+=4𝑥+3𝑥43𝑥+.cosCcosC

Donc, la primitive la plus générale est donnée par 𝐹(𝑥)=4𝑥3+3𝑥4𝑥+.cosC

Maintenant, voyons un exemple où nous devons déterminer une fonction par sa troisième dérivée avec une fonction trigonométrique et une racine carrée, en déterminant une primitive trois fois.

Exemple 6: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de sa troisième dérivée

Déterminer 𝑓(𝑡) si 𝑓(𝑡)=4𝑡+5𝑡cos.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’expression la plus générale d’une fonction à partir de sa troisième dérivée 𝑓(𝑡) en utilisant le processus d'intégration.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑡) est la fonction 𝐹(𝑡)+C pour tout C , où 𝐹(𝑡)=𝑓(𝑡). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑡) pour plus de simplicité.

Puisque 𝑓(𝑡) est la dérivée de 𝑓(𝑡), 𝑓(𝑡) est une primitive de 𝑓(𝑡);de même, 𝑓(𝑡) est la primitive de 𝑓(𝑡) et 𝑓(𝑡) est la primitive de 𝑓(𝑡). Donc, afin de déterminer 𝑓(𝑡) à partir de 𝑓(𝑡), on doit effectuer le processus d'intégration trois fois.

On rappelle que la primitive est linéaire, donc la primitive d’une somme est la somme des primitives. Cela signifie que l'on peut déterminer la primitive de chaque terme séparément et combiner les constantes d'intégration pour déterminer la primitive générale d’une fonction.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑡𝑎+1=𝑡,𝑎1. Donc, la primitive générale de 𝑡 est 𝑡𝑎+1+,𝑎1.C

Notons également que (𝑡)=𝑡,(𝑡)=𝑡.cossinsincos

Ainsi, la primitive générale de sin𝑡 est 𝑡+,cosC et la primitive générale de cos𝑡 est sinC𝑡+.

On peut aussi écrire la fonction racine carrée comme 𝑡=𝑡.

On peut trouver la primitive générale de 𝑓(𝑡)=4𝑡+5𝑡cos à partir de ces règles, ce qui nous permet de déterminer que 𝑓(𝑡) vaut 𝑓(𝑡)=4𝑡+1+5𝑡+=83𝑡+5𝑡+.sinCsinC

Répétant le processus pour trouver la primitive générale de 𝑓(𝑡), on trouve que 𝑓(𝑡) vaut 𝑓(𝑡)=83𝑡+15𝑡+𝑡+=1615𝑡5𝑡+𝑡+.cosCDcosCD

Une fois de plus, pour déterminer la primitive de 𝑓(𝑡), on trouve 𝑓(𝑡):𝑓(𝑡)=1615𝑡+15𝑡+𝑡1+1+𝑡+=32𝑡1055𝑡+𝑡2+𝑡+=32𝑡1055𝑡+𝑡+𝑡+.sinCDEsinCDEsinCDE

Notons que l'on a posé CC=2, car ceci est simplement une autre constante que l'on peut définir pour alléger la notation.

Si on a un produit de fonctions 𝐹(𝑥)=𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)+C, 𝑈(𝑥) et 𝑉(𝑥) sont les primitives de 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥) avec 𝑢(𝑥)=𝑈(𝑥) et 𝑣(𝑥)=𝑉(𝑥), on sait par la règle du produit que 𝑓(𝑥)=𝐹(𝑥)=(𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)+)=𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)+𝑉(𝑥)𝑈(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑉(𝑥)+𝑣(𝑥)𝑈(𝑥).C

Donc, une primitive de la combinaison 𝑢(𝑥)𝑉(𝑥)+𝑣(𝑥)𝑈(𝑥) est 𝑈(𝑥)𝑉(𝑥) et la primitive la plus générale de 𝑓(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑉(𝑥)+𝑣(𝑥)𝑈(𝑥) est 𝐹(𝑥)=𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)+.C

En fait, on peut appliquer ce processus à toute règle de dérivation pour trouver une règle correspondante pour la primitive.

Maintenant, supposons que l'on souhaite trouver une primitive de 𝑓(𝑥)=2𝑒𝑥+2𝑒𝑥.sincos

Ceci est une somme de deux fonctions, chacune étant un produit de deux types de fonctions:une fonction exponentielle et une fonction trigonométrique. Pour trouver la primitive, on doit inverser la règle du produit en identifiant 𝑢(𝑥) et 𝑣(𝑥) et en prenant le produit pour calculer une primitive. En comparant le premier terme de 𝑓(𝑥) avec le premier terme dans la règle du produit, 𝑢(𝑥)𝑉(𝑥), on peut avoir 𝑢(𝑥)𝑉(𝑥)=2𝑒𝑥sin et donc les deux choix 𝑢(𝑥)=𝑒,𝑉(𝑥)=2𝑥,sin ou 𝑢(𝑥)=2𝑥,𝑉(𝑥)=𝑒.sin

Seul un de ces choix va fonctionner pour notre primitive. On peut trouver une primitive de 𝑈(𝑥) pour déterminer 𝑢(𝑥) pour ces deux choix, puis comparer la dérivée du produit 𝑈(𝑥)𝑉(𝑥) pour voir lequel des deux nous donne la fonction 𝑓(𝑥).

Le premier choix donne 𝑈(𝑥)=𝑒 puisque la primitive de 𝑒 est la fonction elle-même et le produit 𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)=2𝑒𝑥sin:ddsinsincos𝑥(2𝑒𝑥)=2𝑒𝑥+2𝑒𝑥.

Clairement, ce choix fonctionne car le terme de droite équivaut à 𝑓(𝑥). Pour être complet, examinons également le deuxième choix. Une primitive de 𝑢(𝑥)=2𝑥sin est 𝑈(𝑥)=2𝑥cos, ce qui nous donnerait le produit 𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)=2𝑥𝑒cos. En prenant la dérivée de ce produit, on a ddcossincos𝑥(2𝑒𝑥)=2𝑒𝑥2𝑒𝑥.

Cela ne fonctionne pas car le deuxième terme a un signe différent que dans la fonction 𝑓(𝑥). Ainsi, la primitive la plus générale de 𝑓(𝑥)=2𝑒𝑥+2𝑒𝑥sincos est 𝐹(𝑥)=2𝑒𝑥+.sinC

Notons que l'on aurait pu également procéder avec le deuxième terme dans la règle du produit et 𝑓(𝑥) avec 𝑣(𝑥)𝑈(𝑥)=2𝑒𝑥cos, mais ceci nous donnerait le même résultat;ainsi, il suffit de vérifier un seul terme pour trouver le produit approprié, qui est la primitive dont nous avons besoin, puis de dériver pour vérifier si l'on obtient bien la fonction 𝑓(𝑥).

Enfin, considérons la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥𝑒+2𝑥𝑒.

Encore une fois ceci est la somme de deux fonctions, chacune un produit d’une puissance de 𝑥 et d'une fonction exponentielle. Donc, lors de l’identification de 𝑈(𝑥)=𝑥 et 𝑉(𝑥)=𝑒, on obtient 𝐹(𝑥)=𝑥𝑒+,C résultat que l'on peut également vérifier en prenant la dérivée 𝐹(𝑥)=𝑥𝑒+=𝑥𝑒+0=𝑥𝑒+2𝑥𝑒=𝑓(𝑥).C

Enfin, considérons un exemple où nous devons inverser la règle du produit pour une fonction construite avec une racine carrée et une exponentielle.

Exemple 7: Utilisation de la règle du produit pour déterminer une primitive

En considérant la règle du produit, déterminer une fonction 𝑓 de sorte que 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+2𝑒𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer la primitive de 𝑓(𝑥) en considérant la règle du produit.

La primitive générale d’une fonction d’expression 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥)+C pour tout C, 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥). On peut aussi absorber la constante C dans la fonction 𝐹(𝑥) pour plus de simplicité.

On souhaite déterminer une primitive d’une fonction en appliquant la règle du produit en sens inverse. Rappelons que la règle du produit, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, est donnée par (𝑢𝑣)=𝑢𝑣+𝑣𝑢.

En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, on peut montrer que 𝑥𝑎+1=𝑥,𝑎1.

Donc, la primitive générale de 𝑥 est 𝑥𝑎+1+,𝑎1.C

On note aussi que la dérivée de 𝑒 est cette même fonction;ainsi la primitive générale de 𝑒 est 𝑒+C.

Si l'on compare les termes, on peut identifier 𝑣(𝑥)=2𝑒,𝑢(𝑥)=𝑥, où une primitive de 𝑣(𝑥) est 𝑣(𝑥)=2𝑒, ou 𝑣(𝑥)=𝑥,𝑢(𝑥)=2𝑒, où une primitive de 𝑣(𝑥) est 𝑣(𝑥)=𝑥+1=23𝑥.

Le premier choix nous donne le produit 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)=2𝑒𝑥, résultat que l'on peut vérifier directement en calculant la dérivée avec la règle du produit en prenant 𝑢(𝑥)=2𝑒 et 𝑣(𝑥)=𝑥:𝑢(𝑥)=𝑥(𝑒)=𝑒,dd et 𝑣(𝑥)=𝑥𝑥=𝑥𝑥=12𝑥=12𝑥=12𝑥.dddd

Ainsi, en utilisant la règle du produit, on a dd𝑥2𝑥𝑒=𝑒𝑥+2𝑥𝑒, qui est clairement égal à 𝑓(𝑥) et on peut écrire 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥𝑒.dd

Donc, la primitive générale de 𝑓(𝑥) est donnée par 𝑓(𝑥)=2𝑥𝑒+.C

Dans cette fiche explicative, nous avons déterminé les primitives d’une fonction principalement en inversant le processus de dérivation. Il y a des façons plus directes de calculer une primitive, en utilisant ce qu’on appelle une intégrale. En particulier, une primitive d’une fonction 𝑓(𝑥) équivaut à l’intégrale indéfinie de 𝑓(𝑥). Ainsi, si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥+,dC où C est aussi appelée constante d’intégration. Pour déterminer des intégrales indéfinies, il existe de nombreux outils que nous pouvons utiliser, ce qui facilite la recherche d’une primitive. Le théorème fondamental de l'analyse fait également le lien entre les dérivées et les intégrales définies, qui peuvent être interprétées comme l’aire sous la courbe de 𝑓(𝑥) sur un intervalle.

Celles-ci dépassent le cadre de cette fiche explicative et seront couvertes dans une autre leçon plus en détail.

Points Clés

  • L'intégration est le processus inverse de la dérivation.
  • Si 𝐹(𝑥) est une primitive de 𝑓(𝑥), alors la primitive générale est 𝐹(𝑥)+C pour tout C. En d’autres termes, les primitives incluent toujours +C, qui donnent une famille de primitives (générales) paramétrées par la constante C.
  • Une primitive unique peut être déterminée en incluant une condition initiale.
  • Les primitives satisfont à certaines propriétés, semblables aux dérivés. Nous pouvons rassembler ces propriétés dans un tableau, où 𝑈, 𝑉 et 𝐹 sont les primitives de 𝑢, 𝑣 et 𝑓 respectivement.
    Fonction d’originePrimitive générale
    Règle de facteur constant:𝑎𝑓(𝑥)𝑎𝐹(𝑥)+C
    Règle de la somme:𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)𝑈(𝑥)+𝑉(𝑥)+C
    Règle du produit:𝑢(𝑥)𝑉(𝑥)+𝑈(𝑥)𝑣(𝑥)𝑈(𝑥)𝑉(𝑥)+C

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