Fiche explicative de la leçon: Primitives Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver la primitive d’une fonction. La primitive d’une function d’expression est la function d’expression telle que .

Une primitive d’une fonction est une autre fonction dont la dérivée est égale à la fonction d’origine .

Notons que puisque est la dérivée de , est une primitive de  ; de même, est une primitive de et est une primitive de . Le processus de recherche d’une primitive d’une fonction est le processus inverse de dérivation d’une fonction ; par exemple, est la dérivée de , donc on peut dire que est une primitive de .

Il y a de nombreuses applications des primitives, par exemple, lorsque nous considérons les équations du mouvement en mécanique newtonienne. Le vecteur vitesse, , est défini comme le taux de variation du déplacement, par rapport au temps, . En d’autres termes, la vitesse est la dérivée du déplacement : 

Cela signifie que l’inverse est également vrai ; le déplacement est une primitive de la vitesse et ainsi la fonction d’expression est une primitive de la fonction d’expression . De même, l’accélération, , est la dérivée de la vitesse, ce qui signifie que la vitesse est une primitive de l’accélération.

En fait, une primitive n’est pas unique et il existe de nombreuses fonctions qui diffèrent à une constante près et qui donnent la même dérivée. Pour voir cela, considérons la fonction constante . La dérivée de cette fonction par rapport à est

C'est ce qui est attendu puisque la fonction ne varie pas lorsque varie ; ainsi sa dérivée est nulle. Cela signifie qu’une primitive de est . Ceci est également vrai pour , et en fait pour toute constante réelle , car la dérivée sera toujours , puisque . Cela signifie qu’une primitive de est une constante  ; ou encore, on peut dire que la primitive de est pour tout .

Qu’en est-il de la dérivée de  ? La dérivée étant linéaire, nous pouvons dériver les combinaisons linéaires de fonctions séparément ; en particulier, , nous avons donc,

La constante C, également appelée constante d’intégration, est très importante car elle produit une famille de primitives, , paramétrée par C. Cela signifie que est la dérivée de , de sorte que est la primitive ou la primitive la plus générale de pour tout  ; c’est pourquoi nous ajoutons toujours un pour déterminer la primitive (générale) de toute fonction, car sans cela nous avons une primitive, qui n’est pas unique. En d’autres termes, est la fonction la plus générale qui a une dérivée pour tout  ; par exemple, contrairement à qui est une primitive particulière de , est la primitive générale de . Cela signifie que , , , ou , et ainsi de suite, sont également des primitives de .

En utilisant cela, on peut aussi dire que la primitive générale d’une fonction est la fonction , pour , et de même la primitive générale de la fonction est la fonction et ainsi de suite.

Si on nous donne également , aussi appelée condition initiale, alors nous pouvons également déterminer la constante C pour donner une primitive unique qui satisfait la condition initiale.

Notons également qu’un facteur constant devant une fonction n’affecte pas sa primitive. Cela découle de la définition de la dérivée appliquée à  : 

Donc, est une primitive de , ou encore est la primitive générale de pour tout . Cela signifie que nous pouvons toujours amener un facteur constant à l’intérieur de la dérivée comme  ; en d’autres termes, si la dérivée est multipliée par une constante, la primitive est également multipliée par la même constante et inversement.

Si l’on veut trouver la primitive de pour certaines fonctions et constantes , on peut trouver les primitives de et séparément, disons et , puis additionner les résultats. En d’autres termes, la primitive d’une somme est la somme des primitives ; la primitive est une opération linéaire, ce qui découle de la linéarité de la dérivée.

Pour voir cela, on pose , avec et , et en utilisant le fait que nous pouvons dériver les combinaisons linéaires de fonctions séparément, on a

Ainsi, une primitive de la somme est , la somme des primitives. Donc, afin de travailler en sens inverse et de trouver une primitive d’une somme de fonctions, on trouve simplement une primitive de chaque partie séparément et on additionne les résultats, sans oublier à la fin. Normalement, nous devrions obtenir une constante pour chaque partie du processus d’intégration, mais nous pouvons les combiner en une seule constante. La primitive la plus générale de est

Notons que nous avons écrit la primitive la plus générale pour que la constante apparaisse explicitement, mais on peut généralement l’absorber dans la fonction de sorte qu’elle contienne déjà . Par exemple, on peut dire que la primitive générale de est , au lieu d’écrire la primitive générale comme avec .

Maintenant, supposons pour  ; on peut trouver la dérivée de cette fonction par la règle de puissance pour la dérivation comme suit

Il sera utile de réécrire ceci comme où l'on a divisé par la constante , puisqu'un facteur constant devant une fonction n’affecte pas la dérivée ou la primitive. Mais que se passe-t-il si nous voulons travailler en sens inverse ? C’est-à-dire, étant donné , nous voulons déterminer la primitive. Cela signifie que nous voulons trouver la fonction la plus générale qui se dérive pour donner .

Nous avons déjà montré que la dérivée de est , pour . Si l'on pose , alors on a

Ainsi, est une primitive de , à condition que . La primitive la plus générale de peut être trouvée en ajoutant la constante d'intégration pour donner résultat que nous pouvons vérifier en dérivant cette expression par rapport à . Dans le cas où , c’est-à-dire la primitive de , on note que

Ainsi, la primitive générale de quand est

Voyons quelques exemples où nous appliquons ces règles, en commençant par trouver une primitive d’une fonction polynomiale.

Considérons maintenant un exemple où nous devons déterminer la constante d'intégration en appliquant une condition initiale.

L’exemple suivant nécessite de prendre une primitive deux fois, afin de déterminer la fonction à partir de sa deuxième dérivée.

L’exemple suivant nécessite de trouver l’unique expression d’une fonction en utilisant sa dérivée première et une condition initiale.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment trouver la primitive d’une fonction comportant des puissances de en travaillant dans le sens inverse à partir d’une dérivée. De même, on peut appliquer le même processus à d’autres fonctions courantes (exponentielles ou trigonométriques, par exemple) que nous rencontrons, en calculant d’abord la dérivée et en travaillant dans le sens inverse pour trouver une primitive avec l’inclusion de la constante . Cela nous permet de créer un tableau des primitives générales.

On peut également vérifier celles-ci directement en calculant la dérivé de chaque pour montrer qu’elle est égale au correspondant. Par exemple, si , alors on peut trouver que la dérivée vaut

Pour les fonctions plus compliquées qui sont données par la somme ou le produit de ces fonctions standard, on peut utiliser quelques règles pour nous aider à déterminer une primitive, telle que la linéarité de la primitive, propriété que nous avons établie plus haut.

Pour voir cela, supposons que l'on souhaite trouver une primitive de

Ceci est une somme de deux types de fonctions : une fonction exponentielle et une fonction trigonométrique. On peut déterminer une primitive de et séparément et additionner le résultat. La dérivée de est  ; ainsi la primitive de est et de même la primitive de est cette même fonction. En particulier, on trouve que l'on peut vérifier en prenant la dérivée.

Maintenant, voyons quelques autres exemples afin de pratiquer et d’approfondir notre compréhension. L’exemple suivant traite d'une fonction trigonométrique et d'une puissance non entière de .

Maintenant, voyons un exemple où nous devons déterminer une fonction par sa troisième dérivée avec une fonction trigonométrique et une racine carrée, en déterminant une primitive trois fois.

Si on a un produit de fonctions , où et sont les primitives de et avec et , on sait par la règle du produit que

Donc, une primitive de la combinaison est et la primitive la plus générale de est

En fait, on peut appliquer ce processus à toute règle de dérivation pour trouver une règle correspondante pour la primitive.

Maintenant, supposons que l'on souhaite trouver une primitive de

Ceci est une somme de deux fonctions, chacune étant un produit de deux types de fonctions : une fonction exponentielle et une fonction trigonométrique. Pour trouver la primitive, on doit inverser la règle du produit en identifiant et et en prenant le produit pour calculer une primitive. En comparant le premier terme de avec le premier terme dans la règle du produit, , on peut avoir et donc les deux choix ou

Seul un de ces choix va fonctionner pour notre primitive. On peut trouver une primitive de pour déterminer pour ces deux choix, puis comparer la dérivée du produit pour voir lequel des deux nous donne la fonction .

Le premier choix donne puisque la primitive de est la fonction elle-même et le produit  : 

Clairement, ce choix fonctionne car le terme de droite équivaut à . Pour être complet, examinons également le deuxième choix. Une primitive de est , ce qui nous donnerait le produit . En prenant la dérivée de ce produit, on a

Cela ne fonctionne pas car le deuxième terme a un signe différent que dans la fonction . Ainsi, la primitive la plus générale de est

Notons que l'on aurait pu également procéder avec le deuxième terme dans la règle du produit et avec , mais ceci nous donnerait le même résultat ; ainsi, il suffit de vérifier un seul terme pour trouver le produit approprié, qui est la primitive dont nous avons besoin, puis de dériver pour vérifier si l'on obtient bien la fonction .

Enfin, considérons la fonction

Encore une fois ceci est la somme de deux fonctions, chacune un produit d’une puissance de et d'une fonction exponentielle. Donc, lors de l’identification de et , on obtient résultat que l'on peut également vérifier en prenant la dérivée

Enfin, considérons un exemple où nous devons inverser la règle du produit pour une fonction construite avec une racine carrée et une exponentielle.

Dans cette fiche explicative, nous avons déterminé les primitives d’une fonction principalement en inversant le processus de dérivation. Il y a des façons plus directes de calculer une primitive, en utilisant ce qu’on appelle une intégrale. En particulier, une primitive d’une fonction équivaut à l’intégrale indéfinie de . Ainsi, si , alors où C est aussi appelée constante d’intégration. Pour déterminer des intégrales indéfinies, il existe de nombreux outils que nous pouvons utiliser, ce qui facilite la recherche d’une primitive. Le théorème fondamental de l'analyse fait également le lien entre les dérivées et les intégrales définies, qui peuvent être interprétées comme l’aire sous la courbe de sur un intervalle.

Celles-ci dépassent le cadre de cette fiche explicative et seront couvertes dans une autre leçon plus en détail.