Vidéo : Primitives

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la primitive d’une fonction. La primitive d’une fonction 𝑓(𝑥) est la fonction 𝐹(𝑥) où 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥).

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Transcription de vidéo

Primitives

À ce stade, vous savez comment calculer les dérivées de nombreuses fonctions. Et ont été introduites à une variété de leurs applications. Dans cette vidéo, nous voulons poser une question qui inverse ce processus. Étant donné une fonction 𝑓, comment pouvons-nous déterminer une fonction avec comme dérivée 𝑓 ? Et pourquoi nous intéresserions-nous à une telle fonction ?

La réponse à la première partie de cette question est la primitive. Cette question étant, étant donné une fonction 𝑓, comment déterminer une fonction avec la dérivée 𝑓 ? La primitive d’une fonction 𝑓 est une fonction de la dérivée 𝑓. En d’autres termes, c’est une fonction qui inverse le fonctionnement de la dérivée. Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥. Pour prendre la primitive de cette fonction, nous avons besoin d’une fonction dont la dérivée est deux 𝑥. Nous savons que lorsque nous prenons la dérivée de 𝑥 au carré, nous obtenons deux 𝑥. Et cela signifie que la primitive de deux 𝑥 serait 𝑥 au carré. Cependant, 𝑥 carré n’est pas la seule primitive de deux 𝑥. 𝑥 au carré plus un est aussi une primitive de deux 𝑥. Et c’est parce que la dérivée d’une constante est zéro. Pour tenir compte de cela, nous disons que la primitive de deux 𝑥 est-𝑥 carré plus 𝑐, où 𝑐 est une valeur constante.

Voyons maintenant pourquoi nous pourrions être intéressés à faire quelque chose comme ça. Considérons ce que nous savons sur le mouvement. Si nous commençons par la position d’un objet et la fonction 𝑠 de 𝑡, nous pouvons déterminer la vitesse de cet objet, la 𝑣 de 𝑡, en prenant la dérivée de notre fonction de position. Et si nous prenons la dérivée de notre fonction de la vitesse, on peut calculer l’accélération de notre objet, le 𝑎 de 𝑡. Mais si nous voulions aller dans la direction opposée ? Si nous connaissions notre accélération et si nous voulions calculer la position, nous aurions besoin de la primitive. Ce n’est que l’un des nombreux cas où nous avons besoin d’une primitive. Passons à autre chose et examinons quelques exemples de recherche de la primitive.

Déterminez la primitive générale 𝐹 de 𝑥 de la fonction inférieure 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 à la puissance sept moins trois 𝑥 à la puissance cinq moins 𝑥 au carré.

Pour ce faire, nous allons prendre la primitive de chacun de ces termes séparément. Nous avons besoin de deux fois primitive 𝑥 à la puissance sept. Nous devons savoir quelle fonction, quand on prend la dérivée, est égale à deux fois 𝑥 à la puissance sept. Et pour 𝑥 de 𝑎, nous pouvons déterminer la primitive en prenant 𝑥 de 𝑎 plus un sur 𝑎 plus un. Et puis, sous la forme générale, nous ajoutons 𝑐 pour représenter une constante. Appliquons cela à deux fois 𝑥 à la puissance sept. Nous laisserons deux sur le côté, nous porterons 𝑥 à la puissance sept plus un et diviserons par sept plus un.

La primitive de deux fois 𝑥 à la puissance sept est deux fois 𝑥 à la puissance huit sur huit. Et nous pouvons réduire cela à un sur quatre. Deux fois 𝑥 à la puissance sept a une primitive de 𝑥 à la puissance huit plus quatre. Et nous allons répéter ce processus avec un nombre moins trois 𝑥 à la puissance cinq. Nous pouvons garder les moins trois et nous avons 𝑥 de cinq plus un sur cinq plus un. Moins trois fois 𝑥 à la puissance six sur six, ce qui se simplifie en 𝑥 à la puissance six sur deux. Et nous ferons en sorte que cela reste négatif.

Nous allons répéter le processus une dernière fois. Nous avons affaire à moins un 𝑥 au carré, alors je vais en tirer moins un. Ensuite, nous aurons moins un 𝑥 de deux plus un sur deux plus un, moins 𝑥 au cube sur trois. Parce que nous recherchons la forme la plus générale, nous ne pouvons pas oublier cette constante à la fin. Ce qui fait notre primitive 𝐹 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance huit sur quatre moins 𝑥 à la puissance six sur deux moins 𝑥 au cube sur trois plus 𝑐.

Voyons maintenant un cas où nous ne voulons pas la forme la plus générale.

Déterminer la primitive 𝐹 de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑥 à la puissance quatre plus quatre 𝑥 au cube où le 𝐹 d’un égale moins deux.

Avant de faire quoi que ce soit, nous allons calculer la primitive. Et cela signifie que nous suivrons le même processus de l’exemple précédent. Nous allons extraire la constante, en ajouter un à notre exposant, puis diviser par la valeur du nouvel exposant. Dans ce cas, nous aurons cinq fois 𝑥 à la puissance cinq divisée par cinq. Et nous réduirons cela à cinq 𝑥 puissance cinq. Maintenant, pour le second terme, prendre que quatre, nous allons élever 𝑥 au cube 𝑥 à la puissance quatre, puis diviser par quatre. Ce qui se simplifie en 𝑥 à la puissance quatre. Les quatre dans le numérateur et le dénominateur s’éliminent.

Si nous trouvions la forme générale, nous ajouterions une constante 𝑐. Et nous disons que grand 𝐹 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance cinq plus 𝑥 à la puissance quatre plus 𝑐. Et nous voulons 𝐹 de un pour nous aider à déterminer la valeur de 𝑐. 𝐹 de un est égal à moins deux. Un à la puissance cinq plus un à la puissance quatre. Un plus un égale deux. Donc, deux plus 𝑐 doivent être égaux à deux. Soustrayez deux des deux côtés. Et nous voyons que la valeur constante est moins quatre. Nous allons prendre cette information et la brancher à ce que nous avons trouvé pour la primitive général. Une primitive dans ces conditions est 𝑥 de cinq plus 𝑥 à la puissance quatre moins quatre.

Si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 à la puissance cinq plus trois 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 carré plus deux, déterminer 𝑓 de 𝑥.

Si on nous donne une dérivée seconde, nous pouvons prendre la primitive qui nous donnera la dérivée première de 𝑓 de 𝑥. Et ensuite, nous prendrons la primitive de cette valeur qui nous donnera notre 𝑓 de 𝑥 originale. Le processus ne sera pas différent de nos exemples précédents. Nous devrons le faire deux fois. Prenons la primitive de trois 𝑥 à la puissance cinq qui deviendrait trois fois 𝑥 à la puissance six sur six. Et le second terme, trois fois 𝑥 au cube, a une primitive de trois fois 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. Cinq 𝑥 carré devient cinq 𝑥 au cube sur trois. Et la primitive de deux est deux 𝑥. Assurez-vous d’ajouter votre terme constant.

Maintenant, à ce stade, nous avons la dérivée première de cette fonction. Et nous pourrions simplifier certains des coefficients ici. Mais comme nous allons reprendre la primitive, j’attendrai et simplifierai la dernière étape. Maintenant, nous avons besoin de trois fois primitive 𝑥 à la puissance six sur six. Trois sixièmes de fois 𝑥 à la puissance sept sur sept. Les trois quarts 𝑥 à la puissance quatre est égal à trois quarts fois 𝑥 puissance cinq sur cinq. Cinq fois un tiers 𝑥 au cube. Cinq tiers 𝑥 à la puissance quatre sur quatre. Deux 𝑥 devient deux fois 𝑥 au carré sur deux. La primitive d’une constante est cette constante fois 𝑥. Et nous aurons besoin d’une constante supplémentaire à la fin, que nous pouvons appeler 𝐷.

Nous avons trouvé notre valeur 𝑓 de 𝑥, mais nous souhaitons simplifier. Nous pouvons réduire ce nombre de trois sur six à un demi. Et puis, nous aurons 𝑥 à la puissance sept sur 14. Nous avons multiplié les dénominateurs dans notre deuxième terme. Et nous obtenons trois fois 𝑥 à la puissance cinq sur 20. Notre troisième terme est cinq fois 𝑥 à la puissance quatre sur 12. Dans notre quatrième terme, les groupes de deux s’annulent et nous avons 𝑥 au carré. Nos deux derniers termes, le 𝑐𝑥 plus 𝐷 ne peut pas être simplifié davantage. Ce qui signifie que la primitive générale de la fonction donnée est 𝑥 à la puissance sept sur 14 plus de trois fois 𝑥 à la puissance cinq plus 20 plus de cinq fois 𝑥 à la puissance quatre plus 12 plus 𝑥 carré plus 𝑐𝑥 plus 𝐷.

Pour nos deux derniers exemples, nous allons examiner ce qui au premier abord peut sembler être une forme irrégulière.

Déterminer la primitive générale 𝐹 de 𝑥 de la fonction 𝑓, étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq sur deux plus quatre sur 𝑥.

Ce premier terme, cinq sur deux, agit comme une constante. Et nous prenons sa primitive en disant cinq fois plus de deux 𝑥. Tout d’abord, il peut ne pas sembler très clair ce que nous pouvons faire avec quatre sur 𝑥. Mais si on écrivait comme ça, quatre fois un sur 𝑥 ? Maintenant, nous disons, quelle fonction a un dérivé de l’un sur 𝑥 ? Le log naturel de 𝑥 a un dérivé de un sur 𝑥. Cela signifie que la primitive quatre fois sur un 𝑥 va être quatre fois le logarithme naturel de 𝑥. Parce que quatre fois le logarithme naturel de 𝑥 a un dérivé de quatre fois sur un 𝑥. Nous allons faire tomber quatre fois le logarithme naturel de 𝑥. Et puisque nous envisageons une forme générale, nous devons encore ajouter une valeur constante 𝑐. Capital 𝐹 de 𝑥 est égal à cinq sur deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme naturel de 𝑥 plus 𝑐.

En considérant la règle du produit, déterminer la fonction 𝑓 afin que 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 plus deux fois 𝑒 de 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥.

Nous devons d’abord nous rappeler la règle de produit pour les dérivées. Cette règle de produit nous dit la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 fois la fonction 𝑔 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑔 de 𝑥 en plus 𝑔 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Avant d’essayer de déterminer un 𝑓 de 𝑥 et un 𝑔 de 𝑥, Réécrivons cette fonction. Nous avons 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 𝑒 de 𝑥 puissance. Et nous savons qu’il est en cours multiplié par un sur la racine carrée de 𝑥. Nous pouvons écrire que 𝑥 à la borne négative de la puissance de la moitié. Nous multiplions 𝑒 de 𝑥 fois de puissance 𝑥 à la puissance moins un demi et deux fois 𝑒 de 𝑥 fois la puissance 𝑥 à la puissance la moitié.

Quelque chose que nous savons est que la dérivée de 𝑒 de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥. Si nous disons que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 de 𝑥, puis 𝑓 prime de 𝑥 est aussi égal 𝑒 de 𝑥. Cela signifie que 𝑥 à la puissance un demi égal 𝑔 prime de 𝑥. Et cela signifie que 𝑔 de 𝑥 est égale à deux fois 𝑥 à la puissance un demi. 𝑔 de 𝑥 est égal à deux fois 𝑥 à la puissance un demi. Si nous vérifions cette dérivée, nous obtenons deux fois un demi fois 𝑥 à la puissance un demi moins un, qui est en fait 𝑥 à la puissance moins un demi. Mais qu’est-ce que cela signifie pour nous ? Eh bien, dans la règle du produit, cette valeur est la dérivée de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. Et cela signifie que la primitive va être 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. Nous connaissons 𝑓 de 𝑥 et nous connaissons 𝑔 de 𝑥, ce qui signifie que la primitive vaut deux fois 𝑥 à la puissance un demi fois 𝑒 de 𝑥. Et nous pouvons remettre sous la forme initiale. Deux fois la racine carrée de 𝑥 fois 𝑒 de 𝑥.

Récapitulons brièvement ce point clé concernant les primitives. Si vous avez donné une fonction 𝑓 prime de 𝑥, sa primitive sera la fonction 𝑓 de 𝑥 dont la dérivée 𝑓 prime de 𝑥. Notre premier exemple était quand 𝑓 prime de 𝑥 est égal à deux 𝑥, nous pouvons prendre la primitive qui nous donne 𝑥 au carré plus une constante 𝑐. Et 𝑥 carré plus une constante 𝑐, si vous prenez cette dérivée, alors vous donner deux 𝑥.

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