Vidéo de la leçon: Les primitives Mathématiques

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Les primitives

À présent, vous savez calculer les dérivées de nombreuses fonctions. Et vous connaissez nombre de leurs applications. Dans cette vidéo, nous allons nous poser la question inverse. Soit une fonction 𝑓, comment trouver une fonction dont la dérivée est 𝑓 ? Et pourquoi s’intéresser à cette fonction ?

La réponse à la première partie de cette question est la primitive. La question est : soit une fonction 𝑓, comment trouver une fonction dont la dérivée est 𝑓 ? Une primitive d’une fonction 𝑓 est une fonction dont la dérivée est 𝑓. Autrement dit, c’est une fonction qui fait le contraire de la dérivée. Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥. Pour trouver une primitive de cette fonction, on cherche une fonction de dérivée deux 𝑥. On sait que la dérivée de 𝑥 au carré est deux 𝑥. Cela signifie qu’une primitive de deux 𝑥 est 𝑥 au carré. Mais 𝑥 au carré n’est pas la seule primitive de deux 𝑥. 𝑥 au carré plus un est aussi une primitive de deux 𝑥. C’est parce que la dérivée d’une constante est zéro. Pour tenir compte de ça, la primitive de deux 𝑥 est 𝑥 au carré plus 𝑐, où 𝑐 est une constante.

Maintenant, voyons pourquoi on pourrait s’intéresser à ça. Voyons ce qu’on sait des mouvements. Commençons par la position d’un objet, la fonction 𝑠 de 𝑡 ; on trouve la vitesse 𝑣 de 𝑡 de cet objet en calculant la dérivée de la fonction de position. Et si on calcule la dérivée de la fonction vitesse, on obtient l’accélération de l’objet, 𝑎 de 𝑡. Mais comment faire l’opération inverse ? Si on connaît l’accélération et qu’on veut calculer la position, on a besoin de la primitive. C’est un des nombreux cas où on a besoin d’une primitive. À présent, examinons quelques exemples de recherche de primitives.

Trouvez la primitive la plus générale 𝐹 majuscule de 𝑥 de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 égale deux 𝑥 puissance sept moins trois 𝑥 puissance cinq moins 𝑥 au carré.

Pour ce faire, on va calculer séparément la primitive de chacun de ces termes. On cherche la primitive de deux fois 𝑥 puissance sept. On recherche quelle fonction a pour dérivée deux fois 𝑥 puissance sept. Pour 𝑥 puissance 𝑎, la primitive est 𝑥 puissance 𝑎 plus un sur 𝑎 plus un. Pour la forme générale, on ajoute une constante 𝑐. Appliquons cela à deux fois 𝑥 puissance sept. On laisse le deux ; on prend 𝑥 puissance sept plus un, et on divise par sept plus un.

La primitive de deux fois 𝑥 puissance sept est deux fois 𝑥 puissance huit sur huit. Ça se simplifie à un sur quatre. Deux 𝑥 puissance sept a pour primitive 𝑥 puissance huit sur quatre. Et on procède de même pour moins trois 𝑥 puissance cinq. On garde le moins trois, et on a 𝑥 puissance cinq plus un sur cinq plus un. Moins trois fois 𝑥 puissance six sur six, ce qui se simplifie à 𝑥 puissance six sur deux. Et on fait attention à ne pas oublier le signe moins.

On recommence ce procédé une dernière fois. On a moins 𝑥 au carré, alors on met un moins un. Ensuite, on a moins une fois 𝑥 puissance deux plus un sur deux plus un, moins 𝑥 au cube sur trois. Comme on cherche la forme générale, on n’oublie pas la constante à la fin. Donc, la primitive 𝐹 de 𝑥 est 𝑥 puissance huit sur quatre moins 𝑥 puissance six sur deux moins 𝑥 au cube sur trois plus 𝑐.

Passons à un exemple où on ne cherche pas la forme générale.

Déterminez la primitive 𝐹 majuscule de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 égale cinq 𝑥 puissance quatre plus quatre 𝑥 au cube, où 𝐹 majuscule de un égale moins deux.

Commençons par calculer la primitive générale. On va donc suivre la même méthode que dans l’exemple précédent. On garde la constante, on ajoute un à l’exposant, puis on divise par le nouvel exposant. On obtient cinq fois 𝑥 puissance cinq divisé par cinq. Ce qui se simplifie à 𝑥 puissance cinq. Ensuite, pour le deuxième terme, on garde le quatre, on change 𝑥 au cube en 𝑥 puissance quatre, puis on divise par quatre. Ce qui se simplifie à 𝑥 puissance quatre. Les quatre du numérateur et du dénominateur se simplifient.

Si on cherche la forme générale, on ajoute une constante 𝑐. Donc, 𝐹 majuscule de 𝑥 égale 𝑥 puissance cinq plus 𝑥 puissance quatre plus 𝑐. Et on calcule 𝐹 de un pour trouver la valeur de 𝑐. 𝐹 de un égale moins deux. Un puissance cinq plus un puissance quatre. Un plus un égale deux. Donc, deux plus 𝑐 égale moins deux. On retranche deux de chaque côté. Et on trouve que la constante vaut moins quatre. Utilisons cette valeur dans la primitive générale qu’on a établie. Cette primitive est donc 𝑥 puissance cinq plus 𝑥 puissance quatre moins quatre.

Si la dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 puissance cinq plus trois 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré plus deux, déterminez 𝑓 de 𝑥.

Si on a la dérivée seconde, on peut déterminer la primitive qui donnera la dérivée première 𝑓 de 𝑥. Puis on détermine la primitive de cette fonction, ce qui donne la fonction 𝑓 de 𝑥. Le procédé n’est pas différent des exemples précédents. Mais il faut le faire deux fois. Prenons la primitive de trois 𝑥 puissance cinq, qui est trois fois 𝑥 puissance six sur six. Et le deuxième terme, trois fois 𝑥 au cube, a pour primitive trois fois 𝑥 puissance quatre sur quatre. Pour cinq 𝑥 au carré, c’est cinq 𝑥 au cube sur trois. Et la primitive de deux est deux 𝑥. Pensez à ajouter le terme constant.

Maintenant, on a la dérivée première de la fonction. Et on pourrait simplifier certains des coefficients. Mais comme on va encore calculer la primitive, on va attendre et simplifier à la fin. On cherche la primitive de trois fois 𝑥 puissance six sur six. Trois sur six fois 𝑥 puissance sept sur sept. Trois quarts de 𝑥 puissance quatre donne trois quarts de 𝑥 puissance cinq sur cinq. Cinq tiers de 𝑥 au cube. Cinq tiers de 𝑥 puissance quatre sur quatre. Deux 𝑥 donne deux fois 𝑥 au carré sur deux. La primitive d’une constante est cette constante fois 𝑥. Et on ajoute une constante à la fin, qu’on appelle 𝐷.

On a trouvé la valeur 𝑓 de 𝑥, mais il faut la simplifier. Le nombre trois sur six se simplifie à un demi. On a donc 𝑥 puissance sept sur 14. On multiplie les dénominateurs dans le deuxième terme. Et on obtient trois fois 𝑥 puissance cinq sur 20. Le troisième terme est cinq fois 𝑥 puissance quatre sur 12. Dans le quatrième terme, les deux se simplifient et il reste 𝑥 au carré. Les deux derniers termes, 𝑐𝑥 plus 𝐷, ne peuvent pas se simplifier davantage. Ce qui signifie que la primitive générale de la fonction donnée est 𝑥 puissance sept sur 14 plus trois 𝑥 puissance cinq sur 20 plus cinq 𝑥 puissance quatre sur 12 plus 𝑥 au carré plus 𝑐𝑥 plus 𝐷.

Les deux derniers exemples porteront sur ce qui semble à première vue une forme irrégulière.

Déterminez la primitive générale 𝐹 de 𝑥 de la fonction 𝑓 minuscule, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale cinq sur deux plus quatre sur 𝑥.

Le premier terme, cinq sur deux, est une constante. On calcule sa primitive : cinq 𝑥 sur deux. Au premier abord, on peut se demander que faire de ce quatre sur 𝑥. Mais écrivons-le comme ceci, quatre fois un sur 𝑥. Et maintenant, demandons-nous : quelle fonction a pour dérivée un sur 𝑥 ? Le logarithme népérien de 𝑥 a pour dérivée un sur 𝑥. Cela signifie que la primitive de quatre fois un sur 𝑥 est quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Parce que quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 a pour dérivée quatre fois un sur 𝑥. On écrit donc quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Et comme on cherche la forme générale, il faut encore ajouter une constante 𝑐. 𝐹 majuscule de 𝑥 égale cinq sur deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 plus 𝑐.

À l’aide de la formule de la dérivée d’un produit, déterminez la fonction 𝑓 telle que 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑒 puissance 𝑥 sur la racine carrée de 𝑥 plus deux 𝑒 puissance 𝑥 fois la racine carrée de 𝑥.

Commençons par rappeler la dérivée d’un produit. D’après cette formule, la dérivée de la fonction 𝑓 de 𝑥 fois la fonction 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑔 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 fois la dérivée de 𝑓 de 𝑥. Avant de chercher 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, réécrivons cette fonction. On a 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑒 puissance 𝑥. Multiplié par un sur la racine carrée de 𝑥. On peut écrire ceci 𝑥 puissance moins un demi. On multiplie 𝑒 puissance 𝑥 par 𝑥 puissance moins un demi ; plus deux fois 𝑒 puissance 𝑥 fois 𝑥 puissance un demi.

On sait que la dérivée de 𝑒 puissance 𝑥 est 𝑒 puissance 𝑥. Si on pose 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 puissance 𝑥, alors 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑒 puissance 𝑥. Cela signifie que 𝑥 puissance moins un demi égale 𝑔 prime de 𝑥. Et cela signifie que 𝑔 de 𝑥 égale deux fois 𝑥 puissance un demi. 𝑔 de 𝑥 égale deux fois 𝑥 puissance un demi. Si on calcule sa dérivée, on trouve deux fois un demi de 𝑥 puissance un demi moins un, ce qui est bien égal à 𝑥 puissance moins un demi. Mais qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, dans la dérivée d’un produit, cette expression est la dérivée de 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. Ce qui implique que la primitive est 𝑓 de 𝑥 fois 𝑔 de 𝑥. On connaît 𝑓 de 𝑥 et on connaît 𝑔 de 𝑥, et donc la primitive est deux fois 𝑥 puissance un demi fois 𝑒 puissance 𝑥. Et on peut réécrire cela sous la forme qui nous a été donnée. Deux racine carrée de 𝑥 fois 𝑒 puissance 𝑥.

Récapitulons brièvement ce cours sur les primitives. Si on nous donne une fonction 𝑓 prime de 𝑥, sa primitive est la fonction 𝑓 de 𝑥 dont la dérivée est 𝑓 prime de 𝑥. Dans notre premier exemple, 𝑓 prime de 𝑥 égale deux 𝑥, la primitive est 𝑥 au carré plus une constante 𝑐. Et si on calcule la dérivée de 𝑥 au carré plus une constante 𝑐, on trouve deux 𝑥.