Transcription de la vidéo
Déterminez, s’ils existent, les points 𝑥, 𝑦, où la courbe d'équation 𝑦 égal à 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 16 a un maximum ou un minimum local.
Lorsque nous parlons de points maximum ou minimum local, nous pensons des formes de ce type, que j’ai représentées sur le tableau. Et le point commun entre ces courbes, c’est qu’en ces deux points, le maximum et le minimum, la pente de la courbe 𝑚 est égale à zéro. Et c’est ce qui va nous aider à répondre à la question, parce que cela nous indique par quoi commencer. Pour pouvoir utiliser la pente, il faut d’abord déterminer la fonction pente.
Et nous pouvons l’obtenir en dérivant la fonction qui nous est donnée. Nous allons donc dériver pour trouver 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Alors, en dérivant la fonction 𝑦 égale 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 16, nous obtenons trois 𝑥 au carré plus six 𝑥. Et pour rappeler comment nous avons fait cela, je vais juste considérer le premier terme. Alors, en fait, ce que nous faisons, c’est que nous multiplions l’exposant par le coefficient - donc trois multiplié par un - puis nous réduisons l’exposant de un - donc trois moins un. Nous obtenons donc trois 𝑥 au carré.
Voilà donc comment vous faites la dérivation. Très bien, maintenant que nous avons la fonction pente. Nous pouvons utiliser ce que nous avons mentionné précédemment, le fait qu’aux points maximum et minimum, la pente est égale à zéro. Et donc, nous la mettons égale à zéro pour trouver les abscisses 𝑥 de ces points. Nous obtenons donc zéro est égal à trois 𝑥 au carré plus six 𝑥.
Et maintenant, la première étape est en fait de diviser les deux membres par trois. Et nous faisons cela pour simplifier l’équation. En faisant cela, nous obtenons zéro égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Et maintenant, pour déterminer 𝑥, nous allons factoriser cette expression. Et comme 𝑥 est un facteur commun dans les deux termes, nous allons le sortir de l’expression et mettre des parenthèses. Donc, nous obtenons zéro est égal à 𝑥 et dans les parenthèses, nous avons 𝑥 plus deux. Et c’est parce que 𝑥 multiplié par 𝑥 nous donne 𝑥 au carré et 𝑥 multiplié par deux nous donne deux 𝑥.
Parfait, nous avons factorisé l’expression. Maintenant, déterminons les valeurs de 𝑥 qui sont en fait les solutions de cette équation. Donc, 𝑥 égal à zéro ou 𝑥 égal à moins deux. Juste pour rappeler pourquoi, si nous remplaçons 𝑥 par zéro dans l’équation, nous avons zéro multiplié par zéro plus deux qui est simplement égal à zéro. C’est donc une des solutions. Et si nous avons 𝑥 égal à moins deux, alors nous avons moins deux multiplié par moins deux plus deux. Et alors, moins deux plus deux font zéro. Donc, c’est aussi égal à zéro.
C’est parfait, nous avons maintenant trouvé les solutions. Et ce sont en fait les valeurs des abscisses 𝑥. Mais en regardant l’énoncé, on nous demande les valeurs 𝑥, 𝑦. Donc il faut aussi déterminer les valeurs des ordonnées 𝑦. Nous allons maintenant déterminer les valeurs des ordonnées 𝑦 en remplaçant les valeurs de 𝑥 dans la fonction initiale.
Donc, tout d’abord, en remplaçant 𝑥 par zéro, nous obtenons la fonction lorsque 𝑥 est égal à zéro. Ce qui nous donne zéro au cube plus trois multiplié par zéro au carré moins 16 et nous obtenons donc l’ordonnée 𝑦 égal à moins 16. Alors passons maintenant à 𝑥 égal à moins deux. Et en faisant cela, nous obtenons moins deux au cube plus trois multiplié par moins deux au carré moins 16, ce qui est égal à moins huit parce que moins deux au cube vaut moins huit plus 12, puis moins 16, ce qui nous donne donc comme ordonnée 𝑦 égal à moins 12.
Alors, maintenant que nous avons trouvé les coordonnées 𝑥 et 𝑦 des points maximum et minimum, nous devons déterminer lequel est un maximum et lequel est un minimum. Pour cela, nous allons en fait regarder la dérivée seconde. Et on procède ainsi, parce que la dérivée seconde nous aide à déterminer la convexité des différentes parties de notre fonction.
Nous pouvons voir sur mon dessin que lorsque la fonction a une partie convexe vers le bas, alors la dérivée seconde va être positive. Et la raison pour laquelle ceci est utile dans cette question parce que cela va nous permettre d’identifier les minimums locaux. Cependant, lorsque la fonction est convexe vers le haut, nous constatons que la dérivée seconde va être négative. Et c’est utile, parce que cela va correspondre à une partie avec un point maximum.
Donc, on voit bien qu’on peut utiliser dérivée seconde pour déterminer si les points que nous avons trouvés sont des maximums ou des minimums locaux. Donc, pour calculer la dérivée seconde, nous allons dériver la fonction pente - donc notre 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 initial. Et en faisant cela, nous obtenons six 𝑥 plus six. Et ceci est parce que nous dérivons en fait de la même manière comme toute autre expression. Parce que si nous prenons trois 𝑥 au carré, encore une fois, nous multiplions deux - l’exposant - par trois, qui est le coefficient. Nous obtenons donc six et ensuite nous réduisons l’exposant de un. Nous obtenons donc 𝑥.
Très bien, la dérivée seconde est donc égale à six 𝑥 plus six. Alors, nous allons maintenant remplacer les valeurs de 𝑥 dans la dérivée seconde. Et cela va nous permettre de déterminer la convexité de cette partie de la fonction et donc de savoir s’il s’agit d’un maximum local ou d’un minimum local.
Donc, en commençant par 𝑥 égal à zéro, la dérivée seconde va être égal à six multiplié par zéro plus six, ce qui fait six. Et qui est positif. Cette partie de la fonction est donc convexe vers le bas. Donc, on sait qu’il s’agit d’un minimum local.
Alors passons maintenant à 𝑥 égal à moins deux et remplaçons cette valeur dans la dérivée seconde. Nous avons donc six multiplié par moins deux plus six, ce qui nous donne moins six. Alors c’est une valeur négative, nous savons donc que la fonction est convexe vers le haut sur cette partie. Ce point correspond donc à un maximum local.
Nous pouvons donc dire que la fonction 𝑦 égale à 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 16 admet un minimum local au point zéro, moins 16 et un maximum local au point moins deux, moins 12.
