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Fiche explicative de la leçon : Test de la dérivée seconde pour les extrema locaux Mathématiques

Dans cet exposé, nous apprendrons à classer les extrema locaux à l'aide du test de la dérivée seconde.

Trouver des maxima et des minima locaux est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes des Mathématiques et de la Physique. Par exemple, la lumière voyage le long du chemin qui minimise le temps total, et la position d'équilibre de nombreux systèmes est la position d'énergie minimale. Des exemples comme ceux-ci conduisent les mathématiciens et les physiciens à développer une riche théorie et de nombreuses techniques pour trouver les maxima et les minima. Dans cet exposé, nous concentrerons sur une technique particulière de classification des points critiques comme maxima ou minima en utilisant la dérivée seconde.

Commençons par rappeler les définitions des points extrêmes et critiques locaux.

Définition: Extrema locaux

Une fonction 𝑓 possède un maximum relatif en 𝑐 si 𝑓(𝑐)𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 proche de 𝑐. Lorsqu'on dit proche de 𝑐, pour être précis, nous signifions qu'il existe un intervalle 𝐼 autour de 𝑐 sur lequel 𝑓(𝑐)𝑓(𝑥) pour tout 𝑥𝐼. De manière similaire, 𝑓 possède un minimum relatif en 𝑐 si 𝑓(𝑐)𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 proche de 𝑐.

Points critiques

Un point critique d'une fonction dérivable 𝑓 est un point de la courbe représentative de 𝑓 où la dérivée est nulle. Cela se produit lorsque 𝑓(𝑥)=0, et nous disons que 𝑓 possède un point critique en 𝑥.

Un important théorème d'Analyse relie les extrema locaux aux points critiques;il s'appelle théorème de Fermat. Il stipule ce qui suit.

Théorème de Fermat

Si 𝑓 possède un maximum ou minimum relatif en un point 𝑥 et que 𝑓(𝑥) existe, alors 𝑓 possède un point critique en 𝑥;c'est-à-dire, 𝑓(𝑥)=0.

Rappelons que la réciproque du théorème de Fermat n'est pas vraie;il est possible d'avoir un point critique qui n'est pas un maximum ou un minimum.

Par exemple, considérons la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥 à 𝑥=0. Puisque 𝑓(𝑥)=3𝑥, nous pouvons voir que 𝑓(0)=0, ce qui signifie que 𝑓 est stationnaire à 0. Cependant, nous nous souvenons du graphique de la fonction cubique qu'elle n'a pas de maximum ou de minimum local. Ainsi, une fonction peut avoir un point stationnaire qui n'est pas un extremum local.

Dans cet exposé, nous allons examiner comment nous pouvons utiliser la dérivée seconde pour classer les points critiques comme des maxima ou des minima.

La dérivée seconde nous renseigne sur le taux de variation de la pente d'une courbe. Par conséquent, considérons comment la pente d'une la courbe varie autour d'un point fixe. Nous commençons par considérer un minimum relatif. À gauche d'un minimum relatif, la dérivée est négative;en le minimum relatif, la dérivée est nulle;et à droite du minimum relatif, la dérivée est positive.

Cela nous indique qu'autour d'un minimum relatif, la dérivée croît. Sachant que la dérivée d'une fonction peut être considérée comme une fonction, nous pouvons utiliser les propriétés de la dérivée pour tirer des conclusions sur son comportement. Rappelons notamment que si une fonction donnée possède une dérivée positive, alors elle est croissante. Par conséquent, si la dérivée de la dérivée— qu'on appelle la dérivée seconde— est positive, on peut conclure que la dérivée croît et par conséquent que nous avons un minimum relatif. L'utilisation de cette méthode pour classer les points critiques est appelée test de la dérivée seconde.

On peut de manière similaire considérer comment la dérivée varie autour d'un maximum relatif. À gauche d'un maximum relatif, la dérivée est positive;en le maximum relatif, la dérivée est nulle;et à droite du maximum relatif, la dérivée est négative.

Par conséquent, en utilisant un argument similaire, nous pouvons conclure que si la dérivée seconde est négative, le point critique est un maximum relatif.

Il est intéressant de noter que si la dérivée seconde est égale à zéro, alors nous ne pouvons rien conclure sur la nature du point critique. Par exemple, considérez les fonctions 𝑓(𝑥)=𝑥 et 𝑔(𝑥)=𝑥;les deux ont un point critique en 𝑥=0 et les deux dérivées secondes en ce point sont nulles. Cependant, le point critique de 𝑓 est un point d'inflexion, tandis que 𝑔 admet un minimum.

En résumé, nous pouvons énoncer le test de la dérivée seconde pour les extrema locaux.

Test de la dérivée seconde pour les extrema locaux

Étant donnée une fonction dérivable 𝑓 avec un point critique en 𝑥,

  • si 𝑓(𝑥)>0, le point est un minimum relatif;
  • si 𝑓(𝑥)<0, le point est un maximum relatif.
  • si 𝑓(𝑥)=0, le test de la dérivée seconde n'est pas concluant.

Nous allons maintenant examiner un certain nombre d'exemples où nous appliquons le test de la dérivée seconde pour classer les extrema.

Exemple 1: Déterminer les maxima et minima locaux

Détermine, si possible, le point (𝑥;𝑦)𝑦=𝑥+4𝑥6 possède un maximum relatif ou minimum relatif.

Réponse

Puisque la fonction donnée est un polynôme, nous savons que sa dérivée seconde existe partout. Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extréma local d’une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c’est-à-dire à 𝑥𝑙𝑒𝑓𝑡.𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑥𝑡𝑟𝑚𝑑𝑦𝑡𝑒𝑥𝑡𝑟𝑚𝑑𝑥𝑟𝑖𝑔𝑡𝑣𝑒𝑟𝑡=0.

Étant donné que la fonction est deux fois dérivable, nous pouvons utiliser le test de dérivée seconde qui stipule que si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||<0 à certains 𝑥, alors la fonction a une valeur maximale locale à 𝑥, alors que si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||>0, alors il a une valeur minimale locale à 𝑥. Enfin, si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||=0, alors le test de dérivée seconde n'est pas concluant à 𝑥. On commence donc par calculer la dérivée de la fonction 𝑦=𝑥+4𝑥6. Puisque nous avons un polynôme, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour différencier chaque terme pour obtenir dd𝑦𝑥=2𝑥+4.

Nous pouvons trouver les points critiques de la fonction en résolvant dd𝑦𝑥=0 en 𝑥 de la façon suivante:0=2𝑥+4.

En ajoutant 2𝑥 aux deux membres de l'équation, nous avons 2𝑥=4𝑥=2.

Nous pouvons à présent déterminer la dérivée seconde de la fonction dd𝑦𝑥=2.

Comme dd𝑦𝑥 est négative pour tout 𝑥, elle est aussi négative en 𝑥=2. Ainsi, la fonction 𝑦=𝑥+4𝑥6 possède un maximum relatif en 𝑥=2.

Nous pouvons à présent remplacer 𝑥=2 dans l'équation 𝑦=𝑥+4𝑥6 pour déterminer la valeur maximale:𝑦=(2)+4(2)6=4+86=2.

Ainsi, la fonction 𝑦=𝑥+4𝑥6 possède un maximum en (2;2).

Il vaut souvent utile de vérifier la justesse de notre calcul en utilisant nos connaissances générales en mathématiques. Par exemple, la fonction qui nous a été donnée est une fonction quadratique avec un coefficient en 𝑥 négatif;ainsi, on s'attendrait à ce que la fonction ait une seule valeur maximale qui est celle que nous avons trouvée.

Exemple 2: Utiliser le test de la dérivée seconde

Détermine, si possible, les points (𝑥;𝑦)𝑦=𝑥+3𝑥16 possède un maximum relatif ou un minimum relatif.

Réponse

Puisque la fonction donnée est un polynôme, nous savons que sa dérivée seconde existe partout. Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extrema local d'une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire à 𝑥dd𝑦𝑥|||=0.

Étant donné que la fonction est deux fois dérivable, nous pouvons utiliser le test de dérivée seconde qui stipule que si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||<0 à certains 𝑥, alors la fonction a une valeur maximale locale à 𝑥, alors que si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||>0, alors il a une valeur minimale locale à 𝑥. Enfin, si dd𝑦𝑥|||=0 et dd𝑦𝑥|||=0, alors le test de dérivée seconde n'est pas concluant à 𝑥. On commence donc par calculer la dérivée de la fonction 𝑦=𝑥+4𝑥6. Puisque nous avons un polynôme, nous pouvons utiliser la règle de puissance pour différencier chaque terme pour obtenir dd𝑦𝑥=2𝑥+4.

En dérivant encore, nous avons dd𝑦𝑥=6𝑥+6.

Nous pouvons déterminer les points critiques de la fonction en posant dd𝑦𝑥=0 et en résolvant en 𝑥 ce qui suit:3𝑥+6𝑥=0; en factorisant, nous obtenons 3𝑥(𝑥+2)=0.

Ainsi, la fonction possède des points critiques en 𝑥=0 et 𝑥=2. Nous pouvons évaluer maintenant la dérivée seconde en chaque point pour déterminer la nature du point critique. En commençant avec 𝑥=0, nous remplaçons cette valeur dans l'équation de la dérivée seconde qui suit:dd𝑦𝑥=6(0)+6=6.

Comme dd𝑦𝑥>0 en 𝑥=0, nous avons un minimum local en 𝑥=0. Nous pouvons à présent déterminer la valeur de la fonction en ce point en remplaçant 𝑥=0 dans l'expression de 𝑦 qui suit:𝑦=(0)+3(0)16=16.

Ainsi, en (0;16), la fonction possède un minimum relatif.

De manière similaire, pour 𝑥=2, nous pouvons déterminer la valeur de dd𝑦𝑥 en ce point en remplaçant 𝑥=2 dans l'expression de la dérivée seconde ce qui suit:dd𝑦𝑥=6(2)+6=6.

Comme dd𝑦𝑥<0 en 𝑥=2, nous avons un maximum relatif en 𝑥=2. Nous pouvons à présent déterminer la valeur de la fonction en ce point en remplaçant 𝑥=2 dans l'expression de 𝑦 ce qui suit:𝑦=(2)+3(2)16=8+1216=12.

Ainsi, la fonction 𝑦=𝑥+3𝑥16 possède un minimum relatif en (0;16) et un maximum relatif en (2;12).

Nous pouvons appliquer notre intuition mathématique pour vérifier notre réponse. La fonction qu'on nous donnée est cubique avec un coefficient positif en 𝑥. Nous devrions, ainsi, nous attendre à ce que la fonction ait soit un seul point d'inflexion, soit deux tournants:un étant maximal et l'autre minimal. C'est exactement ce que nous avons trouvé. En outre, étant donné que les coefficient positif de 𝑥, on s'attendrait à ce que le maximum relatif se produise en un point à gauche du minimum relatif. Une fois de plus, cela se reflète dans notre réponse.

Nous allons maintenant examiner un exemple où le test de la dérivée seconde n'est pas concluant.

Exemple 3: Classer les points critiques

Déterminer les maxima/minima relatifs de la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥.

Réponse

Puisque la fonction donnée est un polynôme, nous savons que sa dérivée seconde existe partout. Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extrema local d'une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire à 𝑥𝑓(𝑥)=0.

Étant donné que la fonction est deux fois dérivable nous pouvons utiliser le test de dérivée seconde qui stipule que si, pour certains 𝑥, 𝑓(𝑥)=0 et 𝑓(𝑥)<0, alors la fonction a une valeur maximale locale à 𝑥, alors que si 𝑓(𝑥)=0 et 𝑓(𝑥)>0, alors il a une valeur minimale locale à 𝑥. Après cette phrase ajouter:enfin, si 𝑓(𝑥)=0 et 𝑓(𝑥)=0, alors le test de dérivée seconde n'est pas concluant.

Nous commençons par calculer les dérivées première et seconde de 𝑓. Comme 𝑓 est une fonction polynomiale, nous pouvons utiliser la règle des puissances pour dériver chaque terme comme suit:𝑓(𝑥)=12𝑥6𝑥.

En dérivant encore, nous avons 𝑓(𝑥)=36𝑥12𝑥=12𝑥(3𝑥1).

Pour déterminer les points critiques de 𝑓, nous posons 𝑓(𝑥)=0 et résolvons en 𝑥:12𝑥6𝑥=0.

En factorisant 6𝑥, nous avons 6𝑥(2𝑥1)=0.

Ainsi, 𝑓 possède des points critiques lorsque 𝑥=0 ou 𝑥=12. Nous n'allons pas essayer le test de la dérivée seconde en évaluant la dérivée seconde en les points 𝑥=0 et 𝑥=12. En commençant avec 𝑥=0, en remplaçant ceci dans l'équation de la dérivée seconde, nous déterminons que 𝑓(0)=12(0)(3(0)1)=0.

Dans ce cas, le test de la dérivée seconde est inutile et nous avons besoin de considérer la valeur de 𝑓(𝑥) dans le voisinage immédiat de 𝑥=0. En écrivant 𝑓(𝑥) sous la forme factorisée, nous avons 𝑓(𝑥)=6𝑥(2𝑥1).

Comme 6𝑥>0 pour tout 𝑥0, le signe de 𝑓 autour de zéro est est complètement déterminé par 2𝑥1. Elle est négative pour tout 𝑥<12, 𝑓(𝑥)<0 pour tout 𝑥0. Ainsi, le point critique est un point d'inflexion.

Nous considérons à présent le point 𝑥=12. En remplaçant cette valeur dans l'expression de la dérivée seconde, nous avons 𝑓12=12123121=6321=612=3.

Comme 𝑓12>0, la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥 possède un minimum relatif en 𝑥=12. Finalement, nous pouvons déterminer la valeur minimale en remplaçant 𝑥=12 dans l'expression de 𝑓(𝑥) comme suit:𝑓12=312212=3116218=31628=116.

Ainsi, 12;116 est un minimum relatif de la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥2𝑥.

Sur une représentation graphique de la fonction, Nous pouvons voir les deux points d'inflexion et le minimum.

Exemple 4: Utiliser le test de la dérivée seconde avec des fonctions radicales

Déterminer les maxima et minima locaux de 𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥.

Réponse

Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extrema local d'une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire à dd𝑦𝑥|||=0.

Étant donné que nous avons une fonction radicale avec des racines paires, la fonction n'est définie que pour 𝑥0. On rappelle qu'un extremum local n'est défini que pour un point intérieur de l'ensemble de définition. Puisque 𝑥=0 est un point de terminaison de l'ensemble de définition, nous pouvons exclure ce point comme candidat pour les extrema locaux. Si nous restreignons l'ensemble de définition de la fonction à 𝑥>0, nous avons une fonction deux fois dérivable nous pouvons donc appliquer le test de la dérivée seconde. Soit une fonction dérivable 𝑓 avec un point stationnaire à 𝑥,

  • si 𝑓(𝑥)>0, alors le point est un minimum relatif;
  • si 𝑓(𝑥)<0, alors le point est un maximum relatif.
  • si 𝑓(𝑥)=0, le test de la dérivée seconde n'est pas concluant.

Nous commençons par trouver les dérivées première et seconde de la fonction. Comme nous avons des fonctions radicales, Nous pouvons appliquer la règle des puissances. Nous commençons par réécrire les radicaux sous la forme d'exposants comme suit:𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥.

Nous pouvons à présent appliquer la règle des puissances pour dériver chaque terme:𝑓(𝑥)=𝑥𝑥.

En dérivant encore, nous avons 𝑓(𝑥)=12𝑥+34𝑥.

Nous pouvons à présent déterminer les points critiques de la fonction en posant la dérivée première égale à zéro et en résolvant en 𝑥 ce qui suit:0=𝑥𝑥.

En multipliant le tout par 𝑥, nous avons 0=𝑥1.

Ainsi, 𝑥=1.

Par conséquent, 𝑓 a un point stationnaire à 𝑥=1. Nous pouvons maintenant évaluer la dérivée seconde à ce point pour déterminer la nature du point stationnaire. En remplaçant 𝑥=1 dans l'expression de la dérivée seconde, nous avons 𝑓(1)=12(1)+34(1)=12+34=14.

Comme 𝑓(1)>0, 𝑓 possède un minimum relatif en 𝑥=1. Pour déterminer la valeur minimale, nous remplaçons 𝑥=1 dans l'expression de 𝑓 comme suit:𝑓(1)=2141=24=2.

Ainsi, la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥4𝑥 possède un minimum relatif en (1;2).

Dans une représentation graphique de la fonction, nous pouvons clairement voir le minimum.

Exemple 5: Utiliser le test de la dérivée seconde pour déterminer les maxima et minima

Détermine, si possible, le maximum relatif et minimum relatif de 𝑦=7𝑥+7𝑥.

Réponse

Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extrema local d'une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire à 𝑥dd𝑦𝑥|||=0.

Comme la fonction 𝑦=7𝑥+7𝑥 est dérivable pour tout 𝑥0, Nous pouvons appliquer le test de la dérivée seconde. Rappelez-vous que le test de la dérivée seconde dit que, étant donnée une fonction dérivable avec un point critique en 𝑥,

  • si dd𝑦𝑥<0, alors le point est un minimum relatif;
  • si dd𝑦𝑥>0, alors le point est un maximum relatif.
  • si dd𝑦𝑥|||=0, le test de la dérivée seconde n'est pas concluant.

Nous commençons par déterminer les dérivées première et seconde de la fonction. En utilisant la règle des puissances pour dériver chaque terme, nous avons dd𝑦𝑥=77𝑥.

En dérivant encore, nous avons dd𝑦𝑥=14𝑥.

Nous déterminons les points critiques de la fonction en posant dd𝑦𝑥=0 et en résolvant en 𝑥 comme suit:0=77𝑥.

En multipliant l'équation par 𝑥 et en divisant par 7, nous avons 0=𝑥1.

Ainsi, la fonction possède des points critiques en 𝑥=1 et 𝑥=1.

En commençant avec 𝑥=1, nous remplaçons ceci dans l'équation pour la dérivée seconde pour trouver dd𝑦𝑥=141=14.

Comme dd𝑦𝑥>0, la fonction 𝑦=7𝑥+7𝑥 possède un minimum relatif en 𝑥=1. Nous pouvons à présent déterminer la valeur de ce minimum relatif en remplaçant 𝑥=1 dans l'équation 𝑦=7𝑥+7𝑥:𝑦=7(1)+71=14.

Ainsi, la fonction possède un minimum relatif de 14 en 𝑥=1.

Nous considérons à présent le second point critique. En remplaçant 𝑥=1 dans l'équation de la dérivée seconde, nous avons dd𝑦𝑥=14(1)=14.

Comme dd𝑦𝑥<0, la fonction 𝑦=7𝑥+7𝑥 possède un maximum relatif en 𝑥=1. Finalement, Nous pouvons déterminer la valeur de ce maximum relatif en remplaçant 𝑥=1 dans l'équation 𝑦=7𝑥+7𝑥 pour obtenir 𝑦=7(1)+71=14.

Ainsi, la fonction 𝑦=7𝑥+7𝑥 possède un maximum relatif de 14 en 𝑥=1 et un minimum relatif de 14 en 𝑥=1.

Au premier abord, il peut sembler étrange que la valeur du maximum relatif soit inférieure à la valeur du minimum relatif. Cependant, un graphique montre pourquoi il en est ainsi.

Exemple 6: Utiliser le test de la dérivée seconde Pour déterminer les maxima et minima

Déterminer les maxima et minima locaux de 𝑓(𝑥)=5𝑥3+2𝑥16𝑥ln, s'ils existent.

Réponse

Le théorème de Fermat qui nous dit que tout extrema local d'une fonction dérivable doit se produire en un point stationnaire, c'est-à-dire à 𝑥 where 𝑓(𝑥)=0.

Comme ln𝑥 est seulement définie pour un 𝑥 strictement positif, l'ensemble de définition de notre fonction est 𝑥>0. Sur ce domaine, la fonction est dérivable. Ainsi, nous pouvons utiliser le test de la dérivée seconde pour classer les points critiques. Rappel du test de la dérivée seconde:étant donnée une fonction dérivable 𝑓 avec un point critique en 𝑥,

  • si 𝑓(𝑥)>0, alors le point est un minimum relatif;
  • si 𝑓(𝑥)<0, alors le point est un maximum relatif.
  • si 𝑓(𝑥)=0, le test de la dérivée seconde n'est pas concluant.

Nous commençons en calculant les dérivées première et seconde de 𝑓. Rappelez-vous que la dérivée ddln𝑥𝑥=1𝑥. Ainsi, avec la règle des puissances pour les autres termes, nous avons 𝑓(𝑥)=103𝑥+216𝑥.

En dérivant encore, nous avons 𝑓(𝑥)=103+16𝑥.

Nous déterminons les points critiques de 𝑓 en posant 𝑓(𝑥)=0 et en résolvant en 𝑥 ce qui suit:0=103𝑥+216𝑥.

En multipliant le tout par 6𝑥, nous avons 0=20𝑥12𝑥+1.

Cette équation peut être factorisée comme suit:0=(10𝑥1)(2𝑥1).

Ainsi, 𝑓 admet des points critiques en 𝑥=110 et 𝑥=12. Nous pouvons à présent considérer la valeur de la dérivée seconde en chacun de ces points pour déterminer s'il s'agit de maxima ou de minima. En commençant avec 𝑥=110 et en remplaçant ceci dans l'expression de la dérivée seconde, nous avons 𝑓110=103+16=103+1006=403.

Comme 𝑓110>0, la fonction possède un minimum relatif en 𝑥=110. Nous pouvons déterminer la valeur de ce minimum en remplaçant 𝑥=110 dans l'expression de 𝑓 comme suit:𝑓110=53+211016110=5300+21016110=116016110.lnlnln

Ainsi, la fonction possède un minimum relatif de 116016110ln en 𝑥=110.

Nous pouvons à présent considérer la nature de l'autre point critique en 𝑥=12. En remplaçant cette valeur dans l'expression de la dérivée seconde, on obtient 𝑓12=103+16=103+46=83.

Comme 𝑓12<0, la fonction possède un maximum relatif en 𝑥=12. Nous pouvons déterminer la valeur de ce maximum en remplaçant 𝑥=12 dans l'expression de 𝑓 comme suit:𝑓12=53+2121612=512+11612=7121612.lnlnln

Ainsi, la fonction 𝑓(𝑥)=5𝑥3+2𝑥16𝑥ln possède un maximum relatif de 7121612ln en 𝑥=12 et un minimum relatif de 116016110ln en 𝑥=110.

Un tracé de la courbe montre clairement le maximum et le minimum relatif de la fonction.

Points clés

  • La dérivée seconde peut être utilisée pour aider à classer les maxima et minima d'une fonction.
  • Le test de la dérivée seconde dit que, étant donnée une fonction dérivable 𝑓 avec un point critique en 𝑥,
    • si 𝑓(𝑥)>0, alors le point est un minimum relatif;
    • si 𝑓(𝑥)<0, alors le point est un maximum relatif.
    • Si 𝑓(𝑥)=0, le test de la dérivée seconde est non concluant
  • Pour appliquer le test de la dérivée seconde, nous suivons la méthode suivante:
    • Vérifier la dérivabilité de la fonction.
    • Calculer les dérivées première et seconde.
    • Poser la dérivée première égale à zéro et résoudre en la variable.
    • Évaluer la dérivée seconde en les zéros de la dérivée première et appliquer le test de la dérivée seconde.
    • Pour déterminer les valeurs maximales et minimales, remplacer les zéros de la dérivée dans la fonction originale.

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