Vidéo : Test de la dérivée seconde pour les extrema locaux

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment classer les extrema locaux à l’aide du test de la dérivée seconde.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous verrons comment appliquer le test de dérivée seconde pour classer un point critique en tant que minimum local, maximum local ou point d’inflexion.

Nous devons déjà être familiers avec la définition des points critiques comme points d’une fonction où la pente de la tangente à la courbe est égale à zéro ou n’est pas définie et comment trouver les points critiques pour la fonction en utilisant la dérivation. Vous connaissez peut-être aussi le test de la dérivée première pour classer les points critiques, également appelé détermination de leur nature. Les points critiques peuvent être des minima locaux, des maxima locaux ou des points d’inflexion. Et ils sont classés en fonction de la forme de la courbe en ce point. Ceci est déterminé par le comportement de la pente de la courbe autour du point.

Rappelons que la dérivée première d’une fonction 𝑓 prime de 𝑥 ou d𝑦 par d𝑥, si nous utilisons la notation de Leibniz, nous indique la pente d’une courbe. C’est le taux de changement de la courbe elle-même. Et aux points critiques, la dérivée première est égale à zéro. Par conséquent, la dérivée seconde d’une fonction, qui est la dérivée de la dérivée première, nous indique la pente de la pente. Ou plus utilement, il nous renseigne sur le taux de variation de la pente d’une courbe. Voyons comment la pente d’une courbe change autour d’un point critique, en commençant par un minimum local.

En dessinant des tangentes à la courbe de chaque côté du point critique, nous voyons que la pente de la courbe et donc la dérivée première de la fonction est négative à gauche de notre point critique et positive à droite du point critique. La pente et donc la valeur de 𝑓 prime de 𝑥 passe de négatif à zéro à positif. Et donc, la valeur de la pente augmente. Rappelons que si une fonction augmente, elle a une dérivée positive. Donc, cela nous dit que lorsque la pente augmente, la dérivée de la pente est positive.

La dérivée de la pente est la dérivée seconde de la fonction d’origine. On peut donc conclure qu’au minimum local, la dérivée seconde de la fonction sera positive : 𝑓 double prime de 𝑥 est supérieur à zéro. Nous pouvons appliquer le même raisonnement à un maximum local. Cette fois, la pente 𝑓 prime de 𝑥 passe de positive à zéro à négative et donc la valeur de 𝑓 prime de 𝑥 diminue. Si une fonction diminue, sa dérivée est négative. Nous pouvons donc conclure qu’à un maximum local, la dérivée de 𝑓 prime de 𝑥, c’est-à-dire 𝑓 double prime de 𝑥, la dérivée seconde de la fonction d’origine, sera négative.

Malheureusement, le test de dérivée seconde n’est pas particulièrement utile pour identifier les points d’inflexion. En un point d’inflexion, la pente passe soit de positive à zéro à positive, soit de négative à zéro à négative. Et donc, le signe de 𝑓 prime de 𝑥 est le même de chaque côté d’un point d’inflexion. Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser les résultats sur l’augmentation ou la diminution des fonctions pour utiliser le test de dérivée seconde pour classer un point d’inflexion. En fait, il s’avère qu’aux points d’inflexion, la dérivée seconde d’une fonction est égale à zéro. Mais cela peut également être vrai à certains minima locaux ou maxima locaux. Il ne suffit donc pas de conclure qu’en un point critique doit être un point d’inflexion.

Par exemple, considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre. On sait par sa courbe qu’il a un point minimum local à l’origine. Si nous trouvons la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥, celle-ci est égale à quatre 𝑥 au cube. Et en fixant cette valeur à zéro, nous confirmons qu’il existe bien un point critique lorsque 𝑥 est égal à zéro. La dérivée seconde de la fonction prime double prime de 𝑥 est 12 𝑥 au carré. Et si nous devions substituer 𝑥 est égal à zéro dans la dérivée seconde, nous obtiendrions zéro. Mais comme nous l’avons vu, ce point critique est un minimum local, pas un point d’inflexion. Ce que cela nous dit, c’est que si la dérivée seconde en un point critique est égale à zéro, nous devons plutôt utiliser le test de dérivée première pour déterminer la nature du point critique, car il pourrait être un point d’inflexion, mais il peut également être un minimum local ou maximum local. Prenons maintenant quelques exemples.

Déterminer les valeurs locales maximale et minimale de la fonction 𝑦 est égal à moins trois 𝑥 au carré moins six 𝑥 moins quatre.

Tout d’abord, nous rappelons qu’aux points critiques, la dérivée première de la fonction — dans ce cas d𝑦 par d𝑥 — est égale à zéro. Donc, notre première étape va être de trouver la première dérivée de cette fonction. En appliquant la règle des puissances, nous constatons que d𝑦 par d𝑥 est égal à six 𝑥 moins moins six. Nous définissons ensuite notre expression pour d𝑦 par d𝑥 égale à zéro et résolvons pour 𝑥, en donnant 𝑥 est égal à moins un. Notre fonction a donc un point critique, qui se produit lorsque 𝑥 est égal en un point négatif.

Ensuite, nous devons évaluer la fonction au point critique, ce que nous faisons en substituant 𝑥 est égal à moins un dans l’équation qui nous a été donnée. Nous obtenons 𝑦 égal à moins trois multipliés par moins un un carré moins six multiplié par moins un un moins quatre, ce qui simplifie en moins un. Cela nous dit alors que le seul point critique de cette fonction est le point avec des coordonnées négatives, négatives. Mais nous devons déterminer s’il s’agit d’un minimum local ou d’un maximum local, ce que nous ferons en appliquant le test de la dérivée seconde.

Pour trouver la dérivée seconde, nous devons dériver notre dérivée première par rapport à 𝑥. Nous trouvons donc la dérivée de moins six 𝑥 moins six par rapport à 𝑥. En appliquant la règle de puissance, nous voyons que cette dérivée est juste égale à moins six. Maintenant, cette dérivée seconde n’est en fait qu’une constante car nous avons dérivé deux fois une expression quadratique. Nous n’avons donc pas besoin de remplacer la coordonnée 𝑥 à notre point critique afin d’évaluer parce que la dérivée seconde est constante pour toutes les valeurs de 𝑥. Nous notons que moins six est inférieur à zéro. Nous rappelons que si la dérivée seconde d’une fonction est négative au point critique, alors le point critique est un maximum local. Donc le point moins un, moins un est en effet un maximum local de cette fonction.

Nous pouvons donc conclure que cette fonction n’a pas de valeur minimale locale mais a une valeur maximale locale négative. Notez que c’est la valeur de la fonction elle-même que nous donnons ici, pas la valeur 𝑥, bien qu’elles soient toutes les deux les mêmes dans ce cas. Nous pouvons également confirmer ce résultat en utilisant notre connaissance des courbes des fonctions du second degré. Comme le coefficient de 𝑥 au carré dans cette courbe est négatif, le graphique de ce quadratique sera une parabole négative. Nous savons que les paraboles n’ont qu’un seul point critique. Et si le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, alors leur point critique sera un maximum local.

Prenons maintenant un autre exemple.

Trouvez les points 𝑥, 𝑦 où 𝑦 est égal à neuf 𝑥 plus neuf sur 𝑥 a un maximum local ou un minimum local.

Les maxima locaux et les minima locaux sont des exemples de points critiques. Et nous rappelons qu’aux points critiques d’une fonction, la dérivée première d𝑦 par d𝑥 est égale à zéro. Avant de dériver, nous pouvons trouver utile de réécrire le deuxième terme de notre fonction comme neuf 𝑥 au négatif. On peut alors utiliser la règle des puissances pour trouver la dérivée première d𝑦 par d𝑥. N’oubliez pas que lorsque nous nous dérivons, nous diminuons la puissance un. Donc, lorsque nous diminuons cette puissance moins un, elle deviendra moins deux et non nul. Attention à ça ! C’est une erreur courante. Nous pouvons réécrire cette dérivée comme neuf moins neuf sur 𝑥 au carré et nous allons ensuite définir cette dérivée égale à zéro.

Nous allons maintenant résoudre l’équation résultante afin de trouver les valeurs 𝑥 aux points critiques. Nous commençons par multiplier chaque terme de l’équation par 𝑥 au carré. Nous pouvons ensuite diviser par neuf pour donner 𝑥 au carré moins un égal à zéro. Ajoutez un des deux côtés et prenez finalement la racine carrée, en vous rappelant que nous avons des solutions positives et négatives. Nous constatons que 𝑥 est égal à plus un ou moins un. Cette fonction a donc deux points critiques.

Ensuite, nous devons trouver les valeurs 𝑦 à chaque point critique en évaluant la fonction elle-même. Lorsque 𝑥 est égal à plus un, 𝑦 est égal à neuf multiplié par un plus neuf sur un, ce qui est égal à 18, ce qui donne un point critique de un, 18. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 est égal à moins 18. Donc, notre deuxième point critique a des coordonnées moins un, moins 18. Nous devons maintenant déterminer si ces points critiques sont des minima locaux ou des maxima locaux, ce que nous ferons en utilisant le test de dérivée seconde. Nous allons libérer de l’espace pour ce faire.

Pour trouver la dérivée seconde d deux 𝑦 par d𝑥 au carré, nous devons dériver la dérivée première, qui était de neuf moins neuf 𝑥 à la puissance moins deux par rapport à 𝑥. Ce faisant, nous obtenons moins neuf multiplié par moins deux 𝑥 à la puissance moins trois, que nous pouvons écrire comme 18 sur 𝑥 au cube. Ensuite, nous devons évaluer cette dérivée seconde à chacun de nos points critiques. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, la dérivée seconde est de 18 sur moins un cube, ce qui est égal à moins 18. C’est inférieur à zéro. Et nous rappelons que si la dérivée seconde d’une fonction est négative en un point critique, alors le point critique est un maximum local. L’évaluation de la dérivée seconde lorsque 𝑥 est égal à positif donne 18 sur un cube, ce qui est 18. Et comme cela est supérieur à zéro, nous concluons que le point critique lorsque 𝑥 est égal à un est un minimum local.

Nous avons donc résolu le problème. Nous avons répondu que le point un, 18 est un minimum local et le point moins un, 18 est un maximum local.

Dans notre exemple suivant, nous appliquerons nos connaissances du test de dérivée seconde pour les extrema locaux à un problème impliquant la dérivation des fonctions trigonométriques.

Le cas échéant, trouvez les valeurs locales maximale et minimale de 𝑓 de 𝑥 égal à 19 sin 𝑥 plus 15 cos 𝑥, ainsi que leur type.

On rappelle tout d’abord qu’aux points critiques d’une fonction, la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 est égale à zéro. Nous devrons également rappeler le cycle que nous pouvons utiliser pour dériver le sinus et le cosinus. 𝑓 prime de 𝑥 est donc égal à 19 cos 𝑥 moins 15 sin 𝑥 et nous le mettons égal à zéro. Pour résoudre, nous pouvons d’abord séparer les deux termes sur les côtés opposés de l’équation, puis diviser les deux côtés de l’équation par cos 𝑥 et 15 pour donner sin 𝑥 sur cos 𝑥 est égal à 19 sur 15. À ce stade, nous rappelons une de nos identités trigonométriques : tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 sur cos 𝜃. Nous avons donc tan 𝑥 est égal à 19 sur 15.

Pour résoudre, nous appliquons la fonction tan inverse. Et nous devons rappeler à ce stade que pour dériver les fonctions trigonométriques, nous devons travailler avec l’angle mesuré en radians car les limites clés utilisées lorsque nous dérivons pour la première fois les dérivées des premiers principes ne sont vraies qu’en radians. Ainsi, lorsque nous évaluons 𝑥 sur nos calculatrices, nous devons nous assurer que nous travaillons en radians. On constate alors que 𝑥 est égal à 0.9025 radians. Cependant, tan 𝑥 est une fonction périodique avec une période de 𝜋. Il existe donc d’autres solutions à cette équation qui correspondront à d’autres points critiques de la fonction 𝑓. Cela signifie que les points critiques se produiront en cette valeur 𝑥 que nous venons de trouver des multiples entiers plus ou moins de 𝜋. Ajouter 𝜋 à notre valeur de 0.9025 donne 4.0441 radians. Ce sera donc la deuxième valeur 𝑥 à laquelle un maximum ou un minimum local se produit.

Ensuite, nous devons évaluer la fonction 𝑓 de 𝑥 à chacun des points critiques. Pour notre premier point critique, lorsque 𝑥 est égal à 0.9025, nous obtenons 24.21 à deux décimales. Et à notre deuxième point critique, où 𝑥 est égal à 4.0441, nous obtenons un résultat de moins 24.21 à deux décimales. Maintenant, cela a du sens parce que les fonctions sinus et cosinus ont chacune une droite de symétrie horizontale sur l’axe des 𝑥 et donc aussi une somme ou une différence des fonctions sinus et cosinus, ce qui signifie que la valeur absolue du maximum local sera identique à la valeur absolue du minimum local.

Maintenant, enfin, nous devons appliquer le test de dérivée seconde pour classer ces points critiques. Faisons donc un peu de place. On dérive 𝑓 prime de 𝑥 pour donner moins 19 sin 𝑥 moins 15 cos 𝑥. Maintenant, nous devons évaluer cette fonction en chacun de nos points critiques, mais il y a une astuce que nous pouvons utiliser ici. Comme nous avons dérivé deux fois, nous avons parcouru la moitié de notre cycle de dérivation, ce qui signifie que la dérivée seconde est en fait presque identique à la fonction d’origine. Ce qui est différent, c’est que les deux termes sont négatifs au lieu de positifs. Mais si nous factorisons ce moins un de notre expression, nous voyons que dans ce cas, 𝑓 double prime de 𝑥 est en fait égal à moins 𝑓 de 𝑥.

La raison pour laquelle cela est utile est que nous avons déjà évalué 𝑓 de 𝑥 en chacun de nos points critiques. Nous pouvons donc utiliser les valeurs que nous avons déjà trouvées afin de déterminer la dérivée seconde en nos points critiques. En notre premier point critique, lorsque 𝑥 est égal à 0.9025, 𝑓 de 𝑥 était égal à 24.21. Ainsi, la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑥 sera égale à moins 24.21. Comme elle est inférieure à zéro, cela nous indique que ce point critique sera un maximum local. En notre deuxième point critique, la valeur de 𝑓 de 𝑥 était moins 24.21. Ainsi, la valeur de 𝑓 double prime de 𝑥 sera plus 24.21 et comme cela est supérieur à zéro, notre deuxième point critique est un minimum local.

Il s’agit maintenant de valeurs locales minimum et maximum. Mais en raison de la forme de la courbe de 𝑓 de 𝑥, ce sont aussi les valeurs minimales et maximales absolues de la fonction. Nous pouvons donc conclure que la valeur minimale locale et absolue de la fonction est moins 24.21 et que la valeur maximale locale et absolue de la fonction est 24.21.

Prenons notre dernier exemple.

Supposons que 𝑓 prime de quatre est égal à zéro et 𝑓 double prime de quatre est égal à moins quatre. Que pouvez-vous dire sur 𝑓 au point 𝑥 est égal à quatre ? 𝑓 a un minimum local à 𝑥 égal à quatre. 𝑓 a un maximum local à 𝑥 égal à quatre. 𝑓 a un point d’inflexion à 𝑥 égal à quatre. Il n’est pas possible d’indiquer la nature du point tournant de 𝑓 à 𝑥 égal à quatre. Ou 𝑓 a une tangente verticale à 𝑥 égale quatre.

Prenons à tour de rôle chacun des éléments d’information qui nous ont été fournis. Tout d’abord, on nous dit que 𝑓 prime de quatre est égal à zéro. Et si la dérivée première d’une fonction est égale à zéro en un point donné, alors la fonction a un point critique en ce point. Nous savons donc que 𝑓 a un point critique lorsque 𝑥 est égal à quatre. Ensuite, on nous dit que 𝑓 double prime de quatre est égal à moins quatre. Ainsi, la dérivée seconde de notre fonction 𝑓 est négative lorsque 𝑥 est égal à quatre. La dérivée seconde sera négative à un maximum local. Nous pouvons donc conclure que 𝑓 a un maximum local à 𝑥 égal à quatre.

C’est la deuxième option de la liste qu’on nous a donnée. Les première, troisième et quatrième options sont donc fausses. Si un point est un maximum local, il ne peut pas être aussi un minimum local ou un point d’inflexion. Et il nous a été possible de déterminer la nature de ce tournant. Prenons la cinquième option. Nous savons que la dérivée première de notre fonction 𝑓 est nulle lorsque 𝑥 est égal à quatre, ce qui signifie que la pente de la courbe et la pente de la tangente seront nulles. Par conséquent, 𝑓 aura une tangente horizontale et non verticale à 𝑥 égal à quatre. Nous avons donc résolu le problème. 𝑓 a un maximum local en 𝑥 égal à quatre.

Résumons ce que nous avons vu dans cette vidéo.

Si 𝑓 est une fonction dérivable telle que la dérivée première 𝑓 prime de 𝑎 est égale à zéro, alors 𝑓 a un point critique en 𝑥 égal à 𝑎. Si la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑎 est positive, alors le point critique est un minimum local. Mais si la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑎 est négative, le point critique est un maximum local. Si la dérivée seconde 𝑓 double prime de 𝑎 est égale à zéro, alors le point critique pourrait être un point d’inflexion. Mais il est possible que ce soit aussi un minimum local ou un maximum local. Donc, dans ce cas, nous aurions besoin d’utiliser le test de la dérivée première afin de classer le point critique.

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