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Sachant que 𝐵 multiplié par 𝐴 est égal à la matrice deux par deux : huit, moins quatre, moins sept, moins cinq, quelle est la transposée de la matrice 𝐴 multipliée par la transposée de la matrice 𝐵?
Dans cette question, on nous donne que la matrice 𝐵 multipliée par la matrice 𝐴 est une matrice deux par deux. Nous devons utiliser ceci pour déterminer la transposée de la matrice 𝐴 multipliée par la transposée de la matrice 𝐵. Pour ce faire, nous allons devoir trouver une relation entre 𝐵 multiplié par 𝐴 et la transposée de 𝐴 multipliée par la transposée de 𝐵. Nous pouvons la trouver en rappelant comment nous distribuons la transposée sur le produit matriciel.
Nous pouvons nous rappeler que si la matrice 𝐵 multipliée par la matrice 𝐴 est bien définie, alors nous pouvons distribuer la transposée sur ce produit de matrices. Tout ce que nous devons faire est de prendre la transposée de chaque matrice et de changer l’ordre de la multiplication. La transposée de la matrice 𝐵 fois 𝐴 est égale à la transposée de la matrice 𝐴 multipliée par la transposée de la matrice 𝐵. Nous pouvons voir que la partie droite de cette équation est ce qu’on nous demande de trouver dans la question et on nous donne la matrice 𝐵 multipliée par 𝐴.
Nous pouvons donc remplacer par cette matrice dans l’équation. Nous obtenons que la transposée de la matrice 𝐴 multipliée par la transposée de la matrice 𝐵 est égale à la transposée de la matrice deux par deux huit, moins quatre, moins sept, moins cinq.
Maintenant, tout ce que nous devons faire est de construire la transposée de cette matrice deux par deux. Nous pouvons le faire en rappelant que pour construire la transposée d’une matrice, nous écrivons les lignes correspondantes de cette matrice comme les colonnes correspondantes de la nouvelle matrice. Nous pouvons le faire ligne par ligne. Commençons par la première ligne de cette matrice, qui est la ligne huit, moins quatre. Nous devons écrire cette ligne comme la première colonne de la transposée. La première colonne est donc huit, moins quatre.
Nous pouvons alors faire la même chose à la deuxième ligne. La deuxième colonne de la transposée de cette matrice sera moins sept, moins cinq. Puisqu’il s’agissait de la dernière ligne, cela nous donne la transposée de cette matrice. Nous obtenons la matrice deux par deux : huit, moins sept, moins quatre, moins cinq. Voici notre réponse finale. Nous avons pu montrer que si 𝐵 fois 𝐴 est la matrice deux par deux : huit, moins quatre, moins sept, moins cinq, alors la transposée de 𝐴 fois la transposée de 𝐵 est la matrice deux par deux : huit, moins sept, moins quatre, moins cinq.
