Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les propriétés du produit matriciel, et à les comparer aux propriétés de la multiplication avec des nombres. Nous allons commencer par rappeler comment on multiplie deux matrices et définir les propriétés qu’elles doivent avoir pour qu’on puisse le faire.
On ne peut multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde, par exemple, une matrice de taille trois deux et une matrice de taille deux cinq. Il y a deux colonnes dans la première matrice et deux lignes dans la seconde. La matrice résultante aura trois lignes et cinq colonnes. Il s’agit du nombre de lignes de la première matrice et du nombre de colonnes de la seconde.
En général, on peut multiplier une matrice de taille 𝑚 𝑛 par une matrice de taille 𝑛 𝑝, ce qui donne une matrice de taille 𝑚 𝑝. On peut démontrer cela comme suit. La matrice 𝐴 a des éléments de 𝑎 un un à 𝑎 𝑚𝑛, et la matrice 𝐵 a des éléments de 𝑏 un un à 𝑏 𝑛𝑝. Lorsqu’on multiplie la matrice 𝐴 par la matrice 𝐵 on obtient la matrice 𝐶, avec des éléments de 𝑐 un un à 𝑐 𝑚𝑝. On peut calculer chacun des éléments de la matrice 𝐶 avec la formule suivante. Le terme général 𝑐 𝑖𝑗 est égal à la somme de 𝑘 égal à un à 𝑘 égal à 𝑛 de 𝑎 𝑖𝑘 multiplié par 𝑏 𝑘𝑗, où 𝑎 𝑖𝑘 et 𝑏 𝑘𝑗 sont les termes généraux des matrices 𝐴 et 𝐵. Ceci est égal à la somme de 𝑎 𝑖 un multiplié par 𝑏 un 𝑗 et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 𝑖𝑛 multiplié par 𝑏 𝑛𝑗.
Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.
Si la matrice 𝐴 est égale à moins quatre, deux, deux, moins quatre et la matrice 𝐵 est égale à moins trois, moins trois, moins un, un, calculez 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴.
Rappelons qu’on ne peut multiplier deux matrices que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde. Étant donné que nos deux matrices sont de taille deux deux, il sera de même pour 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴. Commençons par multiplier la matrice 𝐴 par la matrice 𝐵. Lorsqu’on multiplie deux matrices, on multiplie les éléments de chaque ligne de la première matrice par les éléments de chaque colonne de la seconde matrice.
Le premier élément de la matrice 𝐴𝐵 sera égal à moins quatre multiplié par moins trois plus deux multiplié par moins un. Ceci est égal à 10, car moins quatre multiplié par moins trois font 12 et deux multiplié par moins un est égal à moins deux. L’élément supérieur droit de la matrice 𝐴𝐵 sera égal à moins quatre fois moins trois plus deux fois un. Cela est égal à 14.
On répète ce processus en multipliant les nombres de la seconde ligne de la matrice 𝐴 par les colonnes de la matrice 𝐵. Deux multiplié par moins trois plus moins quatre multipliés par moins un est égal à moins deux. Et deux multiplié par moins trois plus moins quatre multiplié par un est égal à moins 10. La matrice 𝐴𝐵 est égale à 10, 14, moins deux, moins 10.
Nous devons maintenant répéter ce processus pour la matrice 𝐵𝐴. Moins trois multiplié par moins quatre plus moins trois multiplié par deux est égal à six. Lorsqu’on répète cette opération pour les autres lignes et colonnes on obtient les valeurs six, six et moins six. La matrice 𝐵𝐴 est donc égale à six, six, six, moins six.
On constate que la matrice 𝐴𝐵 n’est pas égale à la matrice 𝐵𝐴. Cela nous mène à une règle générale pour la multiplication des matrices. Étant donné que 𝐴𝐵 n’est pas égal à 𝐵𝐴, la multiplication matricielle n’est pas commutative. Ceci est différent de la multiplication des nombres, car la multiplication de deux nombres est commutative.
Dans la prochaine question, nous allons examiner un exemple spécifique lorsque 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐴.
Indiquez si la phrase suivante est vraie ou fausse. Si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices de taille deux deux, alors 𝐴𝐵 n’est jamais égal à 𝐵𝐴.
Pour prouver qu’une phrase est fausse, il suffit de trouver une situation dans laquelle elle n’est pas vraie. On nous dit que nos deux matrices sont de taille deux deux. Et nous allons définir les éléments de la matrice 𝐴 comme étant 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Quand bien même nous aurions pu attribuer n’importe quelle valeur aux éléments de la matrice 𝐵, dans ce cas, nous allons définir la matrice 𝐵 comme la matrice identité : un, zéro, zéro, un. On sait que la matrice identité a des uns sur sa diagonale principale et des zéros partout ailleurs.
Pour calculer la matrice 𝐴𝐵, on doit multiplier 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 par un, zéro, zéro, un. Lorsqu’on multiplie des matrices, on multiplie les éléments de chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la seconde matrice. 𝑎 multiplié par un est égal à 𝑎, et 𝑏 multiplié par zéro est égal à zéro. Par conséquent, le premier élément de la matrice 𝐴𝐵 est 𝑎. Si on répète cela pour les autres lignes et colonnes, on obtient les éléments 𝑏, 𝑐 et 𝑑. La matrice 𝐴𝐵 est égale à 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, qui est égale à la matrice 𝐴.
Nous allons maintenant répéter cette méthode en multipliant la matrice 𝐵, qui est la matrice identité, par la matrice 𝐴. Encore une fois, cela nous donne les éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Nous avons donc trouvé un exemple où la matrice 𝐴𝐵 est la même que la matrice 𝐵𝐴. Cela nous amène à une règle générale. Multiplier une matrice par la matrice identité, est pareil que multiplier la matrice identité par cette matrice. Dans les deux cas, la matrice initiale ne change pas. 𝐴𝐼 est égal à 𝐼𝐴, qui est égal à la matrice 𝐴.
On peut aller plus loin lorsqu’on analyse la propriété de commutativité des matrices. Nous allons maintenant définir les éléments de la matrice 𝐵 comme étant 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ. Lorsqu’on multiplie les matrices 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴, on obtient les matrices de taille deux deux suivantes. À première vue, les matrices 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 semblent n’avoir rien en commun. Cependant, nous remarquons que l’élément supérieur gauche contient 𝑎𝑒 ou 𝑒𝑎 et l’élément inférieur droit contient 𝑑ℎ ou ℎ𝑑. Les éléments 𝑎, 𝑑, 𝑒 et ℎ sont les éléments des diagonales principales des matrices 𝐴 et 𝐵, respectivement. On peut voir que si tous les autres produits donnaient zéro, les deux matrices seraient les mêmes.
Voyons ce qui se passe si 𝑏, 𝑐, 𝑓 et 𝑔 sont zéro. Les matrices 𝐴𝐵 et 𝐵𝐴 sont toutes deux égales à 𝑎𝑒, zéro, zéro, 𝑑ℎ. Ceci est un exemple de matrice diagonale, car tous les éléments à l’exception de ceux de la diagonale principale sont zéro. Cela nous mène à une autre règle générale de multiplication matricielle. Si 𝐴 et 𝐵 sont des matrices diagonales, les deux matrices sont commutatives. 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐴.
Dans la prochaine question, nous allons montrer comment distribuer la multiplication matricielle sur l’addition.
Étant donné trois matrices 𝐴, 𝐵 et 𝐶, laquelle des opérations ci-dessous est égale à 𝐴 multipliée par 𝐵 plus 𝐶 ? Est-ce (A) 𝐴𝐵 plus 𝐶, (B) 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶, (C) 𝐵𝐴 plus 𝐶𝐴, (D) 𝐵𝐴 plus 𝐶 ou (E) 𝐵 plus 𝐴𝐶 ?
Pour répondre à cette question, nous devons utiliser la propriété de distributivité des matrices. On peut distribuer des matrices comme on le fait pour des nombres réels. Multiplier la matrice 𝐴 par la matrice 𝐵 plus 𝐶 est égale à la matrice 𝐴𝐵 plus la matrice 𝐴𝐶. Il est important de noter que si les parenthèses venaient avant, ce serait multiplier 𝐵 plus 𝐶 par 𝐴, alors notre réponse serait 𝐵𝐴 plus 𝐶𝐴. Si la matrice 𝐴 est distribuée sur la gauche, on doit s’assurer que chaque produit de la somme résultante a 𝐴 sur la gauche. De même, si la matrice 𝐴 est distribuée sur la droite, chaque produit de la somme résultante doit avoir 𝐴 sur la droite. On peut donc voir que la bonne réponse est l’option (B). 𝐴 multiplié par 𝐵 plus 𝐶 est égal à 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶.
Il est important de retenir que lorsqu’on effectue l’addition matricielle et la multiplication matricielle, il est essentiel de vérifier la taille de chaque matrice. Pour additionner les matrices 𝐵 et 𝐶, elles doivent avoir la même taille. Pour effectuer la multiplication matricielle, le nombre de colonnes de la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes de la matrice 𝐵 et 𝐶.
Nous allons voir une application de la propriété de distributivité dans le dernier exemple.
Supposez que la matrice 𝐴 est égale à un, moins trois, moins quatre, deux ; la matrice 𝐵 est égale à deux, zéro, un, moins un ; et la matrice 𝐶 est égale à zéro, un, moins trois, zéro. Cette question comporte quatre parties. Calculez la matrice 𝐴𝐵. Calculez la matrice 𝐴𝐶. Calculez 𝐴 multiplié par deux 𝐵 plus sept 𝐶. Et exprimez 𝐴 multiplié par deux 𝐵 plus sept 𝐶 en termes de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.
Pour multiplier la matrice 𝐴 par la matrice 𝐵, on doit multiplier tous les éléments des lignes de la matrice 𝐴 par les colonnes de la matrice 𝐵. Un multiplié par deux plus moins trois multiplié par un est égal à moins un. Si on répète cette opération pour les autres lignes et colonnes on obtient les éléments trois, moins six et moins deux. La matrice 𝐴𝐵 est égale à moins un, trois, moins six, moins deux.
Pour calculer la matrice 𝐴𝐶, on multiplie un, moins trois, moins quatre, deux par zéro, un, moins trois, zéro. Cela nous donne les éléments neuf, un, moins six et moins quatre. On a donc la matrice 𝐴𝐶.
Dans la troisième partie de la question, on commence par multiplier la matrice 𝐵 par le scalaire ou la constante deux et la matrice 𝐶 par le scalaire sept. Lorsqu’on multiplie une matrice par un scalaire, on multiplie simplement chaque élément par ce scalaire. On a donc que deux 𝐵 est égal à quatre, zéro, deux, moins deux. De même, sept 𝐶 est égal à zéro, sept, moins 21, zéro.
Ensuite, on doit additionner ces deux matrices. On le fait en additionnant les éléments aux positions correspondantes dans chaque matrice. Quatre plus zéro est égal à quatre. Si on répète cela pour les autres éléments on obtient la matrice quatre, sept, moins 19, moins deux.
Pour finir, nous devons multiplier cette matrice par la matrice 𝐴. Ici l’ordre est important. Nous devons multiplier la matrice 𝐴 par la matrice quatre, sept, moins 19, moins deux. Cela nous donne les éléments 61, 13, moins 54 et moins 32. 𝐴 multiplié par deux 𝐵 plus sept 𝐶 est égal à 61, 13, moins 54, moins 32.
Dans la dernière partie de cette question, nous pouvons utiliser la propriété de distributivité de la multiplication matricielle. Nous pouvons multiplier la matrice 𝐴 par deux 𝐵 puis additionner à la matrice 𝐴 multipliée par sept 𝐶. Cela nous donne un, moins trois, moins quatre, deux multiplié par quatre, zéro, deux, moins deux plus un, moins trois, moins quatre, deux multiplié par zéro, sept, moins 21, zéro. Le premier produit nous donne moins deux, six, moins 12, moins quatre. Le second produit nous donne 63, sept, moins 42, moins 28.
Nous pourrions être tentés de juste additionner ces matrices. Cependant, on nous a demandé de donner notre réponse en termes de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Nous remarquons que notre première matrice moins deux, six, moins 12, moins quatre est l’équivalent de deux fois la matrice 𝐴𝐵. Nous remarquons également que la seconde matrice 63, sept, moins 42, moins 28 est l’équivalent de sept fois la matrice 𝐴𝐶. Cela signifie que la matrice 𝐴 multipliée par deux 𝐵 plus sept 𝐶 est égale à deux multiplié par la matrice 𝐴𝐵 plus sept multiplié par la matrice 𝐴𝐶.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans notre premier exemple qu’en général, la multiplication matricielle n’est pas commutative. La matrice 𝐴𝐵 n’est pas égale à la matrice 𝐵𝐴. Il y a cependant quelques exceptions à cette règle. Multiplier une matrice par la matrice identité donne la matrice initiale. Cela peut être fait dans n’importe quel ordre. 𝐴 multiplié par 𝐼 est égal à 𝐼 multiplié par 𝐴, qui est égal à la matrice 𝐴.
Nous avons également vu que si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices diagonales du même ordre, alors 𝐴𝐵 est égal à 𝐵𝐴. Deux matrices diagonales du même ordre sont commutatives. Nous avons également vu que la multiplication matricielle est distributive par rapport à l’addition matricielle. Autrement dit, 𝐴 multiplié par 𝐵 plus 𝐶 est égal à 𝐴𝐵 plus 𝐴𝐶. Il est important de noter ici que la matrice 𝐴 devant les parenthèses sera la première matrice de chacun des produits. Ce n’est pas la même chose que la matrice 𝐵𝐴 plus la matrice 𝐶𝐴.
L’ordre de chaque matrice est également important. Pour effectuer une addition matricielle, les deux matrices doivent avoir le même ordre. Pour effectuer une multiplication matricielle, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Si les ordres n’ont pas ces propriétés, l’addition et la multiplication matricielles ne peuvent pas être définies. Ces propriétés ont des similarités et des différences avec les propriétés de multiplication des nombres.