Fiche explicative de la leçon: Propriétés du produit matriciel Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les propriétés du produit matriciel, et à les comparer aux propriétés de la multiplication avec des nombres.

Pour commencer la discussion sur les propriétés, commençons par rappeler la définition du produit matriciel.

Il apparait alors rapidement que le produit matriciel est une opération beaucoup plus restrictive que son homologue numérique. D’une part, nous savons que la matrice produit ne peut exister que si est de dimension et de dimension , ce qui signifie que le nombre de colonnes dans doit être égal au nombre de lignes dans .

Une autre chose à considérer est que certaines propriétés qui s’appliquent à la multiplication des nombres réels ne s’appliquent pas pour les matrices. Par exemple, pour deux nombres réels quelconques et , nous avons

Cette propriété s’appelle la commutativité

Si le produit matriciel était aussi commutatif, cela signifierait que pour tout couple de matrices et . En supposant que soit de dimension et de dimension , alors calculer signifierait essayer de multiplier une matrice de dimension par une matrice de dimension . Cela signifie que ne serait bien défini que si . Ceci montre que le produit matriciel ne peut pas toujours être commutatif pour la simple raison que changer l’ordre de multiplication n’est pas toujours possible.

Supposons que nous ayons eu une situation où . Considérons les deux matrices

Comme est une matrice de dimension et est une matrice de dimension , le produit existe et est une matrice de dimension . Effectuons le calcul du premier coefficient,

Considérons maintenant la multiplication dans l’autre sens (c. -à-d. ). Comme est une matrice de dimension et est une matrice de dimension , le résultat sera une matrice de dimension . Pour le premier coefficient, nous avons

Donc, même si et sont bien définies, les deux matrices sont respectivement de dimension et , ce qui signifie qu’elles ne peuvent pas être égales. En fait, la seule situation dans laquelle les dimensions de et peuvent être égales est lorsque et sont deux matrices carrées de même ordre (c’est-à-dire lorsque et sont toutes deux de dimension ). Cependant, même dans ce cas, rien ne garantit que et seront égales. Ceci est une propriété générale du produit matriciel que nous énonçons ci-dessous.

Bien qu’il soit possible que le produit de deux matrices puisse être commutatif dans certaines conditions, cela ne sera généralement pas le cas. Pour illustrer cela, considérons quelques exemples afin d’illustrer la non-commutativité du produit matriciel. Dans le premier exemple, nous déterminerons le produit de deux matrices carrées dans les deux sens et comparerons leurs résultats.

Exemple 1: Calcul du produit de deux matrices dans les deux sens

Sachant que calculez et .

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons déterminer le produit matriciel de deux matrices de dimension dans les deux sens.

Comme et sont toutes les deux de dimension , dans les deux sens, leur produit sera de dimension . Considérons le calcul du premier coefficient de la matrice . Nous avons

où nous avons calculé . Nous faisons de même pour chaque coefficient de , ce qui nous donne la matrice suivante : 

Il reste à calculer , ce que nous pouvons faire en échangeant les matrices, ce qui nous donne

On note que n’est pas égal à , ce qui signifie que le produit n’est pas commutatif.

Considérons un autre exemple où nous vérifions si changer l’ordre du produit des matrices donne le même résultat.

Après avoir vu deux exemples où le produit matriciel n’est pas commutatif, on peut se demander si il existe des matrices dont le produit est commutatif. Rappelons un type particulier de matrices pour lesquelles cela peut être le cas.

Dans les cas de matrices de dimensions ou (que nous examinerons principalement dans cette fiche explicative), les matrices diagonales ont les formes suivantes

Maintenant, dans l’exemple suivant, nous illustrerons le fait que si le produit matriciel est non commutatif en général, il est commutatif pour les matrices diagonales. En particulier, nous considérerons des matrices diagonales de dimension .

Le phénomène illustré ci-dessus n’est pas propre aux matrices et que nous avons utilisé dans l’exemple et nous pouvons généraliser ce résultat pour établir une propriété des matrices diagonales.

Pour le prouver dans le cas des matrices de dimension , considérons deux matrices diagonales et  : 

Alors, leurs produits dans les deux sens sont

Ainsi, pour tout couple de matrices diagonales . Notez que le produit de deux matrices diagonales donne toujours une matrice diagonale où chaque coefficient de la diagonale est le produit des couples de coefficients correspondants des diagonales des matrices initiales. Ainsi, il est facile d’imaginer comment cela peut être étendu au-delà du cas des matrices de dimension .

Il est important de noter que la propriété n’est valable que lorsque les deux matrices sont diagonales. Par exemple, considérons les deux matrices où est une matrice diagonale et n’est pas une matrice diagonale. Dans ce cas, nous trouvons que

Par conséquent, même si les coefficients des diagonales sont égaux, les coefficients à l’extérieur des diagonales ne le sont pas, ainsi .

Bien que la propriété de commutativité ne soit généralement pas valable pour les produits de matrices diagonales et de matrices non diagonales, il existe en fait certains types de matrices diagonales qui peuvent commuter avec toute autre matrice du même ordre. Considérons un exemple particulier : la matrice identité.

Dans la majorité des cas que nous considérerons, les matrices identité auront les formes : 

Une propriété fondamentale des matrices identité est qu’elles commutent avec toute matrice de même ordre. Cependant, elles ont aussi une propriété encore plus fondamentale, que nous illustrerons dans l’exemple suivant.

Le dernier exemple a mis en évidence que le produit d’une matrice quelconque par la matrice identité ne change pas la matrice et que le produit de la matrice identité par elle-même est aussi la matrice identité. En fait, si nous avions calculé , on aurait de même constaté que

Donc, , ce qui signifie que non seulement les matrices commutent, mais que le produit est également égal à dans les deux cas.

On pourrait remarquer que cette propriété est similaire à celle du nombre 1 (parfois appelée identité multiplicative). Dans l’ensemble des réels, c’est à dire pour tout nombre réel , nous avons

C’est en fait une propriété qui fonctionne presque exactement de la même manière pour la matrices identité.

Nous notons que les ordres des matrices identité utilisées ci-dessus sont choisis uniquement pour que le produit matriciel soit bien défini. Dans le cas où est une matrice carrée, , alors .

Prouvons cette propriété pour le cas des matrices de dimension en considérant une matrice quelconque de dimension

Si l’on calcule le produit de cette matrice avec la matrice identité , on trouve que

En changeant le sens de la multiplication, on obtient

Ainsi, il est vrai que pour toute matrice de dimension , notée et il est également possible de le montrer pour les cas de dimensions supérieures.

Jusqu’à présent, nous avons découvert que, bien que la commutativité soit une propriété du produit des nombres réels, ce n’est pas une propriété qui s’étend au produit matriciel. Bien que cette propriété particulière ne soit pas vraie, il existe d’autres propriétés du produit de nombres réels qui restent vraies pour les matrices. Regardons cela de plus près.

Rappelons que pour tous nombres réels , , et , nous avons

C’est une propriété qu’on appelle l’associativité. La propriété d’associativité signifie que dans des situations où nous devons effectuer deux fois un produit, nous pouvons choisir l’ordre dans lequel le faire ; on peut soit calculer , puis multiplier par , ou on peut calculer puis multiplier par  ; les deux résultats seront les mêmes.

Pour déterminer si cette propriété s’applique également au produit matriciel, considérons un exemple impliquant le produit de trois matrices.

Exemple 5: Étude de la propriété d’associativité du produit matriciel

Sachant que déterminez si  ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous devons calculer le produit de trois matrices des deux manières possibles : calculer puis multiplier à droite par et, calculer et multiplier à gauche par .

Commençons par calculer . Comme est et est , sera . Pour illustrer cette méthode, calculons les coefficients du produit en détail pour la première ligne. Nous avons

où nous avons calculé . Pour le coefficient suivant de la même ligne, nous avons

comme . En répétant cette méthode pour chaque coefficient de on obtient

Ensuite, pour calculer , on multiplie cette matrice à droite par . Cela nous donne

Maintenant, nous devons trouver , ce qui signifie que nous devons d’abord calculer (une matrice ). Cela nous donne

Puis, pour trouver , on multiplie à gauche par . Cela nous donne

En conclusion, nous voyons que les matrices et que nous avons calculées sont égales. Par conséquent, nous pouvons conclure que la propriété d’associativité est vraie et que l’affirmation donnée est vraie.

Comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent, l’associativité matricielle semble s’appliquer à trois matrices choisies de manière arbitraire. En fait, il s’agit d’une propriété générale qui s’applique à toutes les matrices pour lesquelles le produit est possible (mais la preuve complète est assez lourde et peu utile, nous ne l’étudierons donc pas ici).

Alors que nous comparons les propriétés du produit matriciel avec celles du produit des nombres réels, considérons une autre propriété fondamentale.

Rappelons que pour tous nombres réels , , et , nous avons

Cette propriété est connu sous le nom de distributivité ; cela nous fournit un moyen facile de développer les parenthèses dans les expressions. En fait, nous avons déjà vu que cette propriété est vraie pour la multiplication des matrices par des scalaires. Rappelons que la multiplication par un scalaire d’une matrice peut être définie comme suit.

Comme nous l’avons vu, la propriété de distributivité pour la multiplication par un scalaire est la même que pour les nombres réels, à savoir : étant donné un scalaire et deux matrices et de mêmes dimensions, nous avons

En ce qui concerne le produit matriciel, la propriété de distributivité est toujours valable, conduisant au résultat suivant.

Il est important de connaître les dimensions des matrices donnés dans la propriété ci-dessus, car la somme et les produits , et doivent être bien définis.

Notez que tout comme la propriété d’associativité, une preuve concrète de celle-ci est plus longue qu’intéressante, car il s’agit simplement de prouver l’égalité coefficient par coefficient en utilisant les définitions du produit et de la somme de matrices.

Considérons un exemple où nous pouvons voir l’application de la propriété de distributivité des matrices.

Exemple 6: Étudier la propriété de distributivité du produit matriciel par rapport à l’addition

Soient , et .

1. Calculez .
2. Calculez .
3. Calculez .
4. Exprimez en fonction de et .

Réponse

Partie 1

Pour commencer, on nous a demandé de calculer , ce que nous pouvons faire en utilisant le produit matriciel. et sont des matrices de dimension , de sorte que leur produit sera aussi une matrice de dimension . Pour illustrer le calcul du coefficient en bas à gauche, nous avons

où nous avons calculé . En répétant cela pour les coefficients restants, nous obtenons

Partie 2

On peut calculer de la même manière que nous l’avons fait pour . sera aussi une matrice étant donné que et sont toutes deux . En effectuant le produit matriciel, on obtient

Partie 3

Pour la partie suivante, on nous a demandé de trouver . Pour calculer cela directement, nous devons d’abord calculer les multiplications de et par les scalaires, à savoir et . Nous le faisons en multipliant chaque coefficient des matrices par le scalaire correspondant. Ainsi, nous avons

L’étape suivante consiste à ajouter les matrices en utilisant une somme de matrice. Nous le faisons en additionnant les coefficients de mêmes positions. Cela nous donne

Enfin, pour calculer , on multiplie cette matrice par . Comme précédemment, nous obtiendrons une matrice de dimension résultant du produit de deux matrices de dimension . On a

Partie 4

Dans la dernière partie, nous devons exprimer en fonction de et . La méthode la plus simple consiste à utiliser la propriété de distributivité du produit matriciel. Ainsi, quels que soient les matrices , , et de dimensions appropriées, nous avons

Dans ce cas, si on remplace et , on trouve que

Ainsi, nous avons exprimé en fonction de et . Cherchons néanmoins à vérifier que notre solution est correcte et que les lois de la distributivité restent valables. Comme nous avons déjà calculé , , et dans les parties précédentes, cela devrait être assez facile à faire. et peuvent être calculées en multipliant et par des scalaires : 

Enfin, nous pouvons additionner ces deux matrices en utilisant la somme matricielle, pour obtenir

Comme cela correspond à la matrice que nous avons calculée dans la partie précédente, nous pouvons confirmer que notre solution est bien correcte : .

Pour la dernière partie de cette fiche explicative, nous examinerons comment la transposée interagit avec le produit matriciel. Commençons par rappeler sa définition.

Par exemple, considérons la matrice de dimension

La transposée de cette matrice est la matrice suivante de dimension  : 

Il se trouve que le produit et la transposition de matrices ont une propriété intéressante lorsqu’elles sont combinées ; c’est ce que nous allons voir dans le théorème ci-dessous.

Une fois encore, nous n’en inclurons pas la preuve complète car il s’agit simplement d’utiliser les définitions du produit et de la transposition coefficient par coefficient.

Dans le dernier exemple, nous montrerons cette propriété de transposition du produit matriciel pour un produit donné.

Terminons par récapituler les propriétés du produit matriciel que nous avons apprises au cours de cette fiche explicative.