Question Video: Déterminer le terme général d’une suite arithmétique étant donnée la valeur d’un terme et de la somme de deux termes de la suite Mathématiques • Second Year of Secondary School

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Déterminez, en fonction de 𝑛, le terme général d'une suite arithmétique dont le sixième terme vaut 46 et dont la somme du troisième avec le dixième vaut 102.

Si le premier terme de la suite arithmétique est 𝑎 et la raison est 𝑟, alors le 𝑛ième terme ou le terme général est donné par 𝑎 plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑟. Dans cet exemple, on nous dit que le sixième terme est 46. Cela signifie que 𝑎 plus cinq 𝑟 est égal à 46. On nous a également dit que la somme des troisième et dixième termes est 102. Cela signifie que 𝑎 plus deux 𝑟 plus 𝑎 plus neuf 𝑟 est égal à 102. Le calcul du membre gauche de cette équation nous donne deux 𝑎 plus 11𝑟 égale à 102.

Nous avons maintenant deux équations simultanées. La multiplication de la première équation par deux nous donne deux 𝑎 plus 10𝑟 égal à 92. Notre prochaine étape consiste à soustraire l’équation une de l’équation deux. Deux 𝑎 moins deux 𝑎 est zéro, 11𝑟 moins 10𝑟 est égal à un 𝑟 ou 𝑟, et 102 moins 92 est égal à 10. Par conséquent, 𝑟, la raison, est égal à 10.

En remplaçant la valeur de 𝑟 dans l’équation une, on obtient deux 𝑎 plus 10 multiplié par 10 égale à 92. 10 multiplié par 10 donne 100. Nous avons donc deux 𝑎 plus 100 égale 92. Si nous soustrayons 100 des deux membres de cette équation, on obtient deux 𝑎 égal moins huit. Enfin, diviser les deux membres de cette équation par deux nous donne une valeur de 𝑎, le premier terme, égale à moins quatre.

Si le sixième terme de notre suite arithmétique est 46 et le troisième terme plus le dixième terme est 102, alors le premier terme 𝑎 est égal à moins quatre et la raison de la suite est égale à 10. Le terme général peut donc être calculé en remplaçant ces valeurs dans la formule 𝑇 𝑛 est égal à moins quatre plus 10 multiplié par 𝑛 moins un. Le développement des parenthèses nous donne 10𝑛 moins 10 et moins quatre moins 10 est moins 14. Par conséquent, 𝑇 𝑛, le terme général, est égal à 10𝑛 moins 14.

Une suite arithmétique dont le sixième terme est 46 et la somme des troisième et dixième termes est 102 a un terme général de 10𝑛 moins 14.