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Fiche explicative de la leçon : Utiliser les formules des suites arithmétiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment écrire des formules explicites et de récurrence pour les suites arithmétiques afin de déterminer la valeur du terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique, et comment déterminer le rang d’un terme étant donnée sa valeur.

Définition: Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique si la différence commune entre deux termes consécutifs quelconques est constante.

Un exemple de suite arithmétique est la table de multiplication de 22;4;6;8;.

Il y a ici clairement une différence commune, appelée « raison », égale à 2 entre chacun des termes consécutifs. De même, toute autre table de multiplication est également une suite arithmétique. Un autre exemple est la suite des nombres impairs1;3;5;7;.

Il s’agit d’une autre suite de raison 2 entre chaque terme consécutif et elle peut être considérée comme la table de multiplication de 2 décalée d’une unité vers le bas.

Avant d’étudier les suites arithmétiques plus en détail, définissons quelques notations. Le premier terme d’une suite arithmétique est généralement noté 𝑇 ou 𝑇. La raison est généralement notée 𝑟le deuxième terme 𝑇 est alors 𝑇+𝑟, le troisième terme 𝑇 est 𝑇+2𝑟, et ainsi de suite

Afin de s’assurer qu’une suite est arithmétique, on doit vérifier que la raison est constante entre toute paire de termes consécutifs. Pour trouver la raison, on choisit n’importe quel terme de la suite, puis on le soustrait au terme suivant. Par exemple, on peut calculer 𝑇𝑇 ou 𝑇𝑇. Une fois qu’on a calculé la raison, on peut facilement calculer les termes successifs de la suite en ajoutant la raison au terme précédent. Étudions un exemple. On considère la suite arithmétique 3;7;11;15;.

On peut calculer la raison 𝑟 en déterminant la différence entre deux termes consécutifs quelconques. On prend ici 𝑇=3 et 𝑇=7𝑟=𝑇𝑇=73=4.

On connaît les quatre premiers termes. Donc, pour déterminer le cinquième terme, 𝑇, on ajoute 4 au quatrième terme, 𝑇𝑇=15+4=19.

Le sixième terme 𝑇 est alors 𝑇+4=23 et enfin, 𝑇=𝑇+4=27. Par conséquent, les trois termes suivants de la suite sont 19;23;27.

Pour une question comme celle-ci, il n’est pas nécessaire de montrer ce niveau de détail des calculs, mais c’est utile pour développer des concepts plus avancés. Par exemple, il peut être demandé de trouver le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique. On vient de montrer que les termes peuvent être calculés en ajoutant la raison 𝑟 à des termes successifs. Comme indiqué précédemment, la suite peut être représentée de la manière suivante

On remarque ici que le coefficient de 𝑟 (le nombre devant 𝑟) est toujours inférieur d’une unité au rang du terme. Le quatrième terme par exemple est 𝑇+3𝑟. On peut généraliser cela pour le terme de rang 𝑛 en indiquant que le coefficient de 𝑟 est inférieur d’une unité au rang 𝑛1, d’où, 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟. On peut utiliser cette formule pour calculer le terme général ou le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique quelconque donnée. Montrons cela avec un exemple.

Exemple 1: Déterminer le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique

À l’aide du tableau, déterminez l’expression qui représente la valeur de chaque terme en fonction de son rang. Calculez ensuite la valeur du quinzième terme de la suite.

Rang2345𝑛
Valeur du terme491419

Réponse

On doit commencer par établir la raison 𝑟 entre chacun des termes consécutifs. On connaît les valeurs de 𝑇;𝑇;𝑇, et 𝑇, donc 𝑇𝑇=94=5;𝑇𝑇=149=5;𝑇𝑇=1914=5.

Les différences sont égales, on peut donc supposer que la suite est arithmétique. On sait que le deuxième terme est égal à 𝑇+𝑟𝑇 est le premier terme, et 𝑟 est la raison, donc 𝑇+𝑟=4.

En remplaçant par 𝑟=5, on obtient 𝑇+5=4; et en le résolvant, on voit que 𝑇=1. On rappelle que le terme de rang 𝑛 est 𝑇=𝑇+(𝑛1)𝑟.

On peut donc substituer les valeurs de 𝑇 et 𝑟 pour obtenir 𝑇=1+5(𝑛1); qui se simplifie par 𝑇=5𝑛6.

Pour trouver le 15e terme, on remplace par 𝑛=15𝑇=5(15)6=69.

L’exemple ci-dessus illustre une méthode très formelle pour déterminer le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique. On peut adopter une approche moins formelle qu’on va montrer maintenant.

Comme déjà mentionné, une table de multiplication est une suite arithmétique. Par exemple, la table de multiplication de 22;4;6;8;.

Si on souhaite trouver le 7e terme de la table de multiplication de 2, on doit multiplier 2 par 7. Si on souhaite calculer le 12e terme, on doit multiplier 2 par 12. De même, si on souhaite calculer le terme de rang 𝑛, on doit multiplier 2 par 𝑛 donc 2𝑛. Pour la table de 8, le terme de rang 𝑛 est 8𝑛 et ainsi de suite. Toute suite arithmétique peut être décrite comme un décalage d’une table de multiplication. On considère la suite 8;11;14;17;.

La raison 𝑟 est ici 3, cette suite est donc un décalage de la table de multiplication de 3. On peut exprimer les deux suites et identifier le décalage comme indiqué ci-dessous

On sait que le terme de rang 𝑛 de la table de multiplication de 3 est 3𝑛 et que cette suite est un décalage de la table de multiplication de 3 de +5 unités, le terme de rang 𝑛 de cette suite est donc 3𝑛+5. On peut adopter une approche similaire si la raison est négative; on compare simplement la suite à une table de multiplication négative.

Étudions un autre exemple.

Exemple 2: Déterminer le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique

Déterminez, en fonction de 𝑛, le terme général de la suite arithmétique 7;5;3;1;.

Réponse

On doit d’abord calculer la raison en soustrayant 𝑇 à 𝑇𝑇𝑇=(5)(7)=2.

On peut donc comparer la suite à la table de multiplication de 2 comme indiqué ci-dessous

On peut en déduire que la suite est un décalage de la table de multiplication de 2 de 9 unités. Par conséquent, le terme général de rang 𝑛 de la suite est 2𝑛9.

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