Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment écrire des formules explicites et de récurrence pour les suites arithmétiques afin de déterminer la valeur du terme dans une suite arithmétique et comment déterminer le rang d’un terme en fonction de sa valeur.
Une suite, , est une collection de nombres (ou d’autres objets) énumérés qui suivent en général un motif. Les éléments individuels d’une suite, notés avec , sont appelés les termes et sont désignés par leur indice qui nous indique la position ou rang du terme donné dans la suite.
Maintenant, rappelons la définition d’une suite arithmétique.
Définition : suite arithmétique
Une suite arithmétique, également appelée progression arithmétique, est une suite de nombres, , qui a une différence non nulle constante entre deux termes consécutifs, appelée raison : où est le terme dans la suite arithmétique.
Une suite arithmétique peut aussi être représentée de façon générale comme suit :
Afin de calculer la raison d’une suite arithmétique donnée, nous pouvons soustraire n’importe quel terme de la suite par le terme qui le précède immédiatement ; par exemple, nous pouvons soustraire le deuxième terme du troisième terme ou le premier terme du deuxième terme dans la suite ; dans les deux cas, on obtiendra le même nombre pour une suite arithmétique. Par exemple, si on a la suite , on voit clairement la différence entre deux termes consécutifs :
Cette suite peut être représentée comme suit :
Comme on peut le voir dans la définition, la formule de récurrence de la suite arithmétique peut être écrite comme suit :
Autrement dit, un terme dans une suite arithmétique est obtenu en ajoutant la raison au terme précédent. Afin de définir une suite arithmétique, nous devons posséder ou déterminer la raison et le premier terme .
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons un terme d’une suite arithmétique en utilisant la formule de récurrence.
Exemple 1: Déterminer un terme particulier à partir de la formule de récurrence d’une suite arithmétique
Complétez ce qui suit : si le premier terme d’une suite arithmétique est égal à 16 et , alors le cinquième terme est égal à .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la valeur du cinquième terme d’une suite arithmétique, à partir d’une formule de récurrence et du premier terme.
Nous pouvons déterminer la valeur de chaque terme de la suite arithmétique en utilisant et en substituant les valeurs dans la formule de récurrence :
Ainsi, la valeur du cinquième terme est égale à 24.
Si l’on note le premier terme pour simplifier, la forme générale d’une suite arithmétique est :
Le deuxième terme de la suite arithmétique est calculé en ajoutant au premier terme, , pour obtenir . Le troisième terme est égal au deuxième terme plus , pour donner :
En d’autres termes, nous obtenons chaque terme en ajoutant le même nombre, , au terme qui le précède. En utilisant la forme générale, nous pouvons écrire une formule explicite pour le terme comme :
En général, en appliquant la formule de récurrence à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que ce qui nous permet de déterminer la valeur du terme dans la suite, , à partir du terme, :
Maintenant, voyons quelques exemples sur la façon de déterminer les formules explicites de suites arithmétiques données. Dans l’exemple suivant, nous déterminerons cela à partir des premiers termes.
Exemple 2: Déterminer le terme général d’une suite arithmétique
Déterminez, en fonction de , le terme général de la suite arithmétique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le terme général d’une suite arithmétique donnée.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
On nous donne les premières valeurs de la suite, . Calculons d’abord la différence entre les termes consécutifs :
Ainsi, nous avons une raison , ce qui confirme que nous avons une suite arithmétique.
Le terme général pour la suite arithmétique donnée, en utilisant la raison et premier terme , est
Ainsi, le terme général de la suite est .
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons le terme général à partir d’un tableau avec des valeurs commençant par le sixième terme, puis évaluons le dix-huitième terme dans la suite.
Exemple 3: Écrire des expressions algébriques à partir d’un tableau donné puis les évaluer
À l’aide du tableau, déterminez l’expression qui représente la valeur de chaque terme en fonction de sa position. Ensuite, déterminez la valeur du dix-huitième terme dans la suite.
| Position | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Valeur du terme | 19 | 22 | 25 | 28 |
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le terme général d’une suite en utilisant un tableau donné indiquant la position et les valeurs des termes dans la suite. Afin de déterminer un motif dans cette suite, considérons la différence entre les termes successifs :
Nous pouvons voir que chaque terme successif peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant une constante (). Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. Par conséquent, il doit s’agir d’une suite arithmétique de raison 3.
Rappelons que la formule explicite pour le terme d’une suite arithmétique peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
Maintenant, nous pouvons déterminer le premier terme en remplaçant et dans cette formule :
Puisque nous savons que , nous pouvons substituer cela dans la formule pour obtenir
Par conséquent, le premier terme de la suite est . Le terme général pour la suite arithmétique donnée, en utilisant la raison et le premier terme , est
Enfin, nous pouvons déterminer le dix-huitième terme de la suite en substituant pour obtenir :
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons la formule explicite d’une suite arithmétique où les termes sont exprimés en fonction de deux paramètres. En utilisant la formule explicite, nous déterminerons ensuite le dix-neuvième terme de la suite.
Exemple 4: Déterminer la valeur d’un terme dans une suite arithmétique donnée
Déterminez dans la suite arithmétique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la valeur d’un terme dans une suite arithmétique donnée.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
Calculons d’abord la différence entre les termes consécutifs :
Le terme général pour la suite arithmétique donnée, en utilisant la raison et le premier terme , est
Enfin, nous pouvons déterminer , le dix-neuvième terme de la suite, en substituant pour obtenir :
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons le terme général d’une suite arithmétique qui vérifie des conditions particulières pour certains termes de la suite.
Exemple 5: Déterminer le terme général d’une suite arithmétique sous une certaine condition
Déterminez le terme général de la suite arithmétique qui vérifie les relations. et .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le terme général d’une suite arithmétique qui vérifie des conditions particulières.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
En utilisant cette formule explicite avec la condition , nous avons :
De même, pour la condition , nous avons :
Si on substitue la première équation , on obtient :
Ainsi, nous avons un système de deux équations :
En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient :
Nous pouvons maintenant obtenir le premier terme à partir de l’une des équations suivantes :
Par conséquent, le terme général de la suite arithmétique qui vérifie les relations est :
Comme nous l’avons vu jusqu’à présent, pour déterminer une valeur spécifique du terme dans une suite arithmétique, nous devons substituer la valeur donnée de dans la formule explicite (c’est-à-dire, pour le 5e terme, nous substituons ).
Mais que se passe-t-il si nous voulons faire l’inverse ? En d’autres termes, pour une valeur donnée dans une suite, nous voulons déterminer la valeur de l’indice , appelé également rang du terme, qui est la position où la valeur apparaît dans la suite telle que la formule explicite de donne cette valeur. Pour une valeur donnée , le rang du terme dans une suite arithmétique peut être déterminé en isolant dans la formule explicite :
Par exemple, si nous avons une suite arithmétique définie par , on peut déterminer le rang du terme égal à 92 (c’est-à-dire tel que ) en résolvant l’équation suivante pour :
Ainsi, le rang du terme valant 92 dans la suite est et ainsi .
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons le rang d’une valeur donnée dans une suite arithmétique après avoir déterminé le terme général.
Exemple 6: Déterminer le rang d’un terme dans une suite à partir de sa valeur
Déterminez le rang du terme dont la valeur est 112 dans la suite .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le rang d’un terme donné dans une suite arithmétique.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. Le rang d’une valeur qui apparaît dans une suite arithmétique est la position ou la valeur de dont nous obtenons la valeur à partir de la formule explicite pour .
La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
Calculons d’abord la différence entre les termes consécutifs :
Cela confirme que nous avons bien une suite arithmétique. Le terme général pour la suite arithmétique donnée, en utilisant la raison et le premier terme , est
Pour déterminer le rang du terme 112 dans la suite arithmétique, nous voulons déterminer la valeur de avec ou tel que :
Par conséquent, le rang du terme 112 est et ainsi .
Maintenant, considérons un exemple où nous devons évaluer les trois premiers termes d’une suite arithmétique définie par une formule explicite, puis déterminer le rang d’une valeur particulière et le premier terme dont la valeur est supérieure à un nombre donné.
Exemple 7: Déterminer la suite arithmétique et le rang des termes vérifiant une certaine condition étant donné le terme général de cette suite
Déterminez les trois premiers termes de la suite qui a pour terme général pour . Ensuite, déterminez le rang du terme dont la valeur est 157 et le rang du premier terme dont la valeur est supérieure à 100.
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer les trois premiers termes d’une suite arithmétique définie en fonction d’une formule explicite, puis déterminer le rang d’un autre terme et le rang du premier terme dont la valeur est supérieure à une valeur donnée.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante entre deux termes consécutifs. Les trois premiers termes peuvent être déterminés à partir du terme général en substituant , 2 et 3 :
Ainsi, les trois premiers termes sont 31, 45, 59.
Le rang d’une valeur qui apparaît dans une suite arithmétique est la position ou la valeur de pour laquelle nous obtenons la valeur particulière de la formule explicite pour .
Pour le rang du terme 157 dans la suite arithmétique, nous voulons déterminer la valeur de telle que soit :
Par conséquent, le rang du terme 157 est et ainsi .
Le rang du premier terme dont la valeur est supérieure à 100 peut être déterminé en résolvant l’inéquation pour la plus petite valeur entière de :
Par conséquent, la plus petite valeur entière de est , qui est le rang du plus petit terme dont la valeur est supérieure à 100. En particulier, nous avons .
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le terme général d’une suite arithmétique qui satisfait à des conditions particulières, puis l’utiliser pour déterminer le rang et la valeur du premier terme négatif de la suite.
Exemple 8: Déterminer le terme général d’une suite arithmétique ainsi que le rang et la valeur du premier terme négatif sous une condition donnée
Déterminez le terme de la suite arithmétique sachant que et . Puis, déterminez le rang et la valeur du premier terme négatif de la suite.
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le terme général d’une suite arithmétique qui satisfait à des conditions particulières, puis le rang et la valeur du premier terme négatif de la suite.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme :
En utilisant cette formule explicite avec la condition , nous avons :
De même avec , en utilisant , on obtient :
Le terme général pour la suite arithmétique donnée, en utilisant la raison et le premier terme , est :
Le rang du premier terme négatif dans la suite peut être déterminé en résolvant l’inéquation pour la plus petite valeur entière de :
Ainsi, la plus petite valeur entière est , qui est le rang du premier terme négatif de la suite avec pour valeur .
Le nombre de termes dans une suite arithmétique, , est égal au rang du dernier terme de la suite, , soit .
Dans le dernier exemple, nous déterminerons la valeur d’un paramètre inconnu apparaissant dans les termes d’une suite arithmétique donnée, puis déterminerons le nombre total de termes dans la suite.
Exemple 9: Déterminer le nombre de termes dans une suite arithmétique donnée
Déterminez et le nombre de termes dans la suite arithmétique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer un paramètre inconnu apparaissant dans les termes d’une suite arithmétique, puis déterminer le nombre total de termes dans la suite.
Rappelons qu’une suite arithmétique est définie par une raison, une différence constante, , entre deux termes consécutifs. On peut utiliser cette propriété pour déterminer la valeur de l’inconnue en calculant la différence entre le deuxième et le premier terme, puis entre le dernier et l’avant-dernier terme,
Comme la différence entre deux termes consécutifs dans une suite arithmétique est constante, nous pouvons poser ces deux expressions de la raison comme étant égales pour obtenir une unique équation en fonction de :
Ainsi, nous avons , que nous pouvons substituer aux termes de la suite arithmétique donnée pour obtenir la suite . Cette suite a une raison de .
La formule explicite pour le terme peut être écrite en fonction de la raison et du premier terme, , comme
Le nombre de termes est équivalent au rang du dernier terme de la suite, que nous pouvons déterminer à partir de la formule explicite. Pour la suite donnée, le terme général est
Ainsi, le nombre de termes ou le rang du dernier terme, 40, dans la suite arithmétique peut être déterminé en résolvant , ce qui donne .
Récapitulons les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Une suite arithmétique est une suite de nombres, , qui a une différence non nulle constante entre deux termes consécutifs, appelée raison :
- Cette formule peut aussi être utilisée pour déterminer les termes suivants dans une suite arithmétique à partir de la raison en utilisant la relation de récurrence : C’est-à-dire que chaque terme d’une suite arithmétique est déterminé en ajoutant la raison au terme précédent.
- En général, en appliquant la relation de récurrence à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que ce qui nous permet de déterminer la valeur du terme dans la suite, , à partir de la valeur.
- Si l’on note la valeur de départ comme pour simplifier, la forme générale d’une suite arithmétique est À partir de cette forme générale, nous avons aussi une formule explicite pour tout terme de la suite : Nous pouvons déterminer la formule explicite d’une suite arithmétique en identifiant le premier terme et la raison.
- Une suite arithmétique peut être définie en fonction d’un ensemble de nombres, , d’une formule de récurrence avec un premier terme donné, ou d’une formule explicite.
- Pour une valeur donnée dans une suite, , pour déterminer la valeur de , la position ou rang du terme dans la suite, nous avons la formule
