Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Utiliser les formules des suites arithmétiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à établir le terme général d’une suite arithmétique afin de trouver la valeur du terme de rang 𝑛 ou de déterminer le rang d’un terme à partir de sa valeur.

09:51

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à établir le terme général d’une suite arithmétique afin de trouver la valeur du terme de rang 𝑛 ou de déterminer le rang d’un terme à partir de sa valeur. Nous allons commencer par rappeler quelques définitions de base des suites arithmétiques.

Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante ; par exemple la suite sept, 11, 15, 19, et ainsi de suite. La différence entre deux termes consécutifs de cette suite est toujours égale à quatre. On appelle celle valeur la raison. Le premier terme d’une suite arithmétique est généralement noté 𝑎 un, le deuxième terme 𝑎 deux, et ainsi de suite. Mais le premier terme peut également parfois être noté 𝑎 zéro, le deuxième terme a un, et ainsi de suite.

Le terme de rang 𝑛, noté 𝑎 𝑛, d’une suite arithmétique de raison r et de premier terme 𝑎 un est défini par 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r. Dans notre exemple, 𝑎 un est égal à sept, et la raison r est égale à quatre. Cela signifie que 𝑎 𝑛 est égal à sept plus 𝑛 moins un fois quatre. En distribuant le 4, cela devient sept plus quatre 𝑛 moins quatre, ce qui est égal à quatre 𝑛 plus trois. Nous pouvons alors utiliser cette formule pour calculer la valeur de n’importe quel terme de la suite. Par exemple, pour calculer le dixième terme, on remplace 𝑛 par 10 dans la formule. Le terme 𝑎 10 est donc égal à quatre fois 10 plus trois, soit 43.

Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons calculer un terme d’une suite arithmétique.

Calculez 𝑎 45 pour la suite arithmétique 18, 26, 34, et ainsi de suite jusqu’à 698, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.

Dans cette question, nous étudions une suite arithmétique qui commence par 18, 26, 34. Comme il est indiqué que 𝑛 est supérieur ou égal à un, nous pouvons désigner ces trois premiers termes par 𝑎 un, 𝑎 deux et 𝑎 trois. Nous savons alors qu’une suite est arithmétique si la différence entre ses termes consécutifs est constante. Dans cet exemple, la raison est égale à huit, car 18 plus huit égale 26 et 26 plus huit égale 34.

Nous devons alors calculer le 45ème terme de la suite. Nous savons que le terme de rang 𝑛 de la suite arithmétique de raison r et de premier terme 𝑎 un est défini par 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r. Cela signifie que 𝑎 45 est égal à 18 plus 45 moins un fois huit. Cela se simplifie par 18 plus 44 fois huit. Et comme 40 fois huit égale 320 et quatre fois huit égale 32, 44 fois huit est égal à 352. Ajouter 18 à cela nous donne une réponse finale de 370. Le 45ème terme de la suite arithmétique 18, 26, 34, et ainsi de suite jusqu’à 698 est donc 370.

Dans le prochain exemple, nous devons trouver le nombre de termes d’une suite arithmétique.

Calculez le nombre de termes de la suite arithmétique moins quatre, deux, huit, et ainsi de suite jusqu’à 392.

Nous savons que pour qu’une suite soit arithmétique, la différence entre ses termes consécutifs doit être constante. C’est bien le cas dans cet exemple car la différence entre le premier et le deuxième terme est la même que la différence entre le deuxième et le troisième terme. Cette raison est ici égale à six.

Nous savons alors que le terme de rang 𝑛 de la suite arithmétique de raison r et de premier terme 𝑎 un vérifie l’équation 𝑎 n égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r. Dans cette suite, le dernier terme est égal à 392. En substituant les valeurs de 𝑎 un et r dans le membre droit de l’équation, on a moins quatre plus 𝑛 moins un fois six. En distribuant le six, on obtient six 𝑛 moins six. Et puisque le dernier terme est égal à 392, on a moins quatre plus six 𝑛 moins six égale 392.

Le membre de gauche se simplifie par six 𝑛 moins 10. On peut ensuite ajouter 10 aux deux membres de l’équation et on obtient six 𝑛 égale 402. Enfin, en divisant les deux membres de cette équation par six, on trouve que 𝑛 est égal à 402 sur six, soit 67. Nous pouvons donc conclure qu’il y a 67 termes dans la suite arithmétique moins quatre, deux, huit, et ainsi de suite jusqu’à 392.

Dans le prochain exemple, nous allons déterminer la formule du terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique.

Déterminez en fonction de 𝑛 le terme général de la suite arithmétique dont le sixième terme est 46 et dont la somme des troisième et dixième termes est égale à 102.

On rappelle qu’une suite est arithmétique si la différence entre ses termes consécutifs est constante. Le terme de rang 𝑛, noté 𝑎 𝑛, de toute suite arithmétique est égal à 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r, où 𝑎 un est le premier terme et r est la raison.

L’énoncé indique que le sixième terme est 46. Donc 𝑎 six est égal à 46. On nous dit aussi que la somme des troisième et dixième termes est 102. Donc 𝑎 trois plus 𝑎 10 est égal à 102. En utilisant la formule générale, on a 𝑎 un plus six moins un fois r égale 46. Cela se simplifie par 𝑎 un plus cinq r égale 46. Et comme il y a deux inconnues, nous appelons cette équation un.

Le troisième terme, 𝑎 trois, est égal à 𝑎 un plus deux r. Le dixième terme, 𝑎 10, est égal à 𝑎 un plus neuf r. Comme leur somme est égale à 102, on a 𝑎 un plus deux r plus 𝑎 un plus neuf r égale 102. Le membre de gauche se simplifie alors par deux 𝑎 un plus 11r. En appelant cette équation deux, nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues : 𝑎 un et r.

Nous pouvons le résoudre par combinaison. Multiplier l’équation un par deux nous donne deux 𝑎 un plus 10r égale 92. Si on appelle cette équation trois, on peut ensuite la soustraire à l’équation deux. Il reste simplement r égale 10. En substituant ensuite cette valeur dans l’équation un, on obtient 𝑎 un plus cinq fois 10 égale 46. Ce qui signifie que 𝑎 un plus 50 égale 46. Soustraire 50 aux deux membres de l’équation nous donne alors 𝑎 un égale moins quatre.

Nous connaissons maintenant les valeurs du premier terme et de la raison de notre suite arithmétique. En les replaçant dans l’équation générale, on a 𝑎 𝑛 égale moins quatre plus 𝑛 moins un fois 10. En distribuant le 10, on obtient moins quatre plus 10𝑛 moins 10, ce qui est égal à 10𝑛 moins 14. Le terme général de la suite arithmétique dont le sixième terme est 46 et dont la somme des troisième et dixième termes est égale à 102 est donc 10𝑛 moins 14.

Dans le dernier exemple, nous allons déterminer le rang d’un terme d’une suite arithmétique.

Déterminez le rang du terme dont la valeur est 112 dans la suite 17, 22, 27, 32, etc.

Nous commençons par rappeler que le rang d’un terme dans une suite correspond à sa position. Dans cette question, nous étudions la suite 17, 22, 27, 32, et ainsi de suite. Cela signifie que le premier terme, 𝑎 un, est égal à 17. Le deuxième terme, 𝑎 deux, est 22. Le troisième terme, 𝑎 trois, est 27, etc. Nous devons alors trouver le rang, ou la position, du terme qui est égal à 112.

Nous savons que cette suite est arithmétique car la différence entre ses termes consécutifs est constante. Dans toute suite arithmétique, le terme général 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r, où 𝑎 un est le premier terme et r est la raison. On constate alors que pour cette suite, 𝑎 un est égal à 17 et la raison r est égale à cinq. En substituant ces valeurs dans la formule générale, on a 17 plus 𝑛 moins un fois cinq.

Nous souhaitons trouver la valeur de 𝑛 telle que cette expression soit égale à 112. En distribuant le cinq, on a 17 plus cinq 𝑛 moins cinq égale 112. Le membre de gauche se simplifie ensuite par cinq 𝑛 plus 12. On peut alors soustraire 12 aux deux membres pour obtenir cinq 𝑛 égale 100. Enfin, diviser par cinq nous donne 𝑛 égale 20. Nous pouvons donc conclure que le rang du terme dont la valeur est 112 est 20. C’est le 20e terme de la suite 17, 22, 27, 32, etc.

Il est intéressant de remarquer que tous les termes de rang pair de cette suite se terminent par deux. Cela suggère que notre réponse de 20 est correcte.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo qu’une suite est une arithmétique si la différence entre ses termes consécutifs est constante. Le terme de rang 𝑛 d’une suite arithmétique de raison r et de premier terme 𝑎 un est défini par 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois r. Dans cette vidéo, nous avons utilisé cette formule pour calculer la valeur d’un terme, le rang d’un terme ou le nombre de termes d’une suite arithmétique et pour établir le terme général d’une suite arithmétique.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.