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Des vecteurs sont dessinés à l’échelle de la règle sur un quadrillage. Les côtés des carrés font un centimètre de long. Le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Quelle est la longueur du vecteur résultant mesurée au centimètre près ?
Alors, dans cette question, on nous donne un schéma vectoriel qui contient trois vecteurs. On nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. On nous dit également que les côtés des carrés sur cette figure font un centimètre de long, et on nous demande de trouver la longueur du vecteur résultant. Rappelons que la résultante de deux vecteurs est le vecteur trouvé en additionnant ces deux vecteurs et que nous pouvons additionner deux vecteurs en les dessinant avec la méthode de bout à bout. Rappelez-vous que la queue d’un vecteur est son point de départ et que la tête d’un vecteur est sa pointe. Donc dessiner deux vecteurs avec la méthode de bout à bout signifie dessiner le deuxième vecteur avec sa queue à la tête du premier vecteur comme ceci.
Ensuite, nous pouvons obtenir la somme de ces deux vecteurs, qui est le vecteur résultant, en traçant une flèche qui commence à la queue du premier vecteur et s’étend jusqu’à la tête du deuxième vecteur. Donc, dans cet exemple, cette flèche bleue que nous venons d’ajouter au schéma est notre vecteur résultant. Maintenant que nous avons vu la signification du vecteur résultant, revenons à la question. On nous dit que le vecteur rouge est la résultante des vecteurs bleu et vert. Et si nous regardons le schéma, nous voyons que le vecteur bleu et le vecteur vert sont dessinés avec la méthode de bout à bout ; c’est-à-dire que le vecteur vert est dessiné en commençant par sa queue à la pointe du vecteur bleu.
En regardant maintenant le vecteur rouge, nous voyons qu’il est dessiné avec sa queue à la queue du premier vecteur, le vecteur bleu, et avec sa pointe à la pointe du deuxième vecteur, le vecteur vert. Cela signifie que le vecteur rouge est bien la résultante du vecteur bleu et du vecteur vert. Dans cette question, le vecteur bleu est entièrement horizontal et le vecteur vert est entièrement vertical. Cela signifie que nous savons que l’angle entre ces deux vecteurs est égal à 90 degrés. En d’autres termes, nous pouvons dire que trois vecteurs du schéma forment un triangle rectangle dans lequel le vecteur résultant rouge est l’hypoténuse du triangle. Puisque la question nous demande de trouver la longueur du vecteur résultant, cela signifie que nous devons trouver la longueur de cette hypoténuse du triangle.
Puisque nous avons un triangle rectangle, rappelons le théorème de Pythagore. Si nous annotons les longueurs des côtés de notre triangle 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, alors le théorème de Pythagore nous dit que 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Pour répondre à cette question, nous essayons de trouver la longueur de l’hypoténuse soit la valeur de 𝑐. Prenons donc la racine carrée des deux côtés de cette équation afin de faire de 𝑐 le sujet. En prenant la racine carrée, nous avons que 𝑐 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Cela signifie que pour trouver la valeur de 𝑐, nous devons connaître les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Rappelez-vous que 𝑎 est la longueur du vecteur bleu sur notre diagramme et 𝑏 est la longueur du vecteur vert.
Heureusement pour nous, nous avons une échelle sur notre diagramme et les vecteurs 𝑎 et 𝑏 pointent tous les deux selon les lignes de la grille. La question nous dit que les côtés des carrés de ce quadrillage font un centimètre de long. Sur le diagramme, nous avons une règle montrant ces incréments d’un centimètre dans la direction verticale. Et bien sûr, comme on nous dit que nous avons un quadrillage, si chaque carré mesure un centimètre de long dans la direction verticale, alors chaque carré doit aussi avoir un centimètre de long dans la direction horizontale. Ainsi, la distance d’un carré dans la direction horizontale ou verticale correspond à un centimètre.
Cela signifie que pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏, il suffit de commencer à la queue de chaque vecteur et de compter le nombre de carrés jusqu’à la pointe de ce vecteur. Ce nombre de carrés donne alors la longueur du vecteur mesurée en centimètres. Commençons par le vecteur bleu. Nous commençons à la queue de ce vecteur et nous comptons le nombre de carrés jusqu’à la pointe de ce vecteur. Et dans ce cas, nous constatons que ce nombre de carrés est égal à huit. On peut donc dire que la longueur du vecteur bleu et la valeur de 𝑎 sont égales à huit centimètres.
Maintenant, en regardant le vecteur vert, nous allons commencer à la queue de ce vecteur, qui est à la pointe du vecteur bleu, et compter le nombre de carrés jusqu’à ce que nous atteignions la pointe. Dans ce cas, nous constatons que ce nombre de carrés est de 10. On peut donc dire que la longueur du vecteur vert et la valeur de 𝑏 sont égales à 10 centimètres. Maintenant que nous avons des valeurs pour 𝑎 et 𝑏, nous pouvons les remplacer dans cette équation pour 𝑐. En remplaçant avec 𝑎 est égal à huit centimètres et 𝑏 est égal à 10 centimètres, nous obtenons que 𝑐 est égal à la racine carrée de huit centimètres carrés plus 10 centimètres carrés.
À ce stade, nous devons faire attention avec nos unités. Lorsque nous prenons le carré d’une grandeur avec des unités de centimètres, nous obtenons une grandeur avec des unités de centimètres au carré. Dans ce cas, prendre le carré de huit centimètres nous donne 64 centimètres carrés. Et prendre le carré de 10 centimètres nous donne 100 centimètres carrés. En ajoutant 64 centimètres carrés à 100 centimètres carrés, nous obtenons 164 centimètres carrés. Ensuite, il ne nous reste plus qu’à déterminer la racine carrée pour obtenir la valeur de 𝑐.
Maintenant, si nous prenons la racine carrée d’une grandeur avec des unités de centimètres carrés, nous obtiendrons un résultat avec des unités de centimètres. Maintenant, bien sûr, cela a du sens parce que 𝑐 devrait avoir des unités de distance. Après tout, c’est une longueur. C’est la longueur de l’hypoténuse de ce triangle ou, de manière équivalente, la longueur de ce vecteur rouge sur notre diagramme. Si nous prenons la racine carrée de 164, nous obtenons un résultat de 12,806 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Et ce résultat ici pour 𝑐 est la longueur du vecteur résultant que la question nous demandait de trouver. Mais si nous revenons à la question, nous voyons qu’elle nous demande de donner notre réponse au centimètre près. Donc, notre valeur de 12,806 est arrondie à la hausse à 13. Et nous avons que 𝑐 est égal à 13 centimètres.
Et donc notre réponse à la question est que la longueur du vecteur résultant, mesurée au centimètre près, est égale à 13 centimètres.
