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Vidéo de la leçon : Schémas à l’echelle Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser des schémas à l’échelle pour représenter les résultantes de quantités vectorielles combinées et les composantes de vecteurs.

16:05

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous traitons de schémas à l’échelle. Ce sont des schémas d’objets réels ou de quantités qui représentent ces objets selon leurs proportions exactes. De plus, les schémas à l’échelle créent une connexion entre une certaine quantité physique et la représentation de cette quantité sur le schéma. Par exemple, dans ce croquis de la maison, un centimètre de distance sur le papier pourrait représenter un mètre de distance verticale sur la maison réelle. Ce serait une façon d’établir une échelle entre l’objet réel et notre représentation de celui-ci.

Un type courant de schéma à l’échelle implique l’utilisation de vecteurs, des objets avec une magnitude ainsi qu’un sens, comme représentants de grandeurs physiques. Souvent, nous utilisons des vecteurs pour représenter des forces, mais ils peuvent représenter beaucoup d’autres grandeurs physiques. Par exemple, le déplacement est un vecteur, ainsi que le vecteur vitesse et l’accélération, et la liste est longue.

Alors, admettons que nous avons deux vecteurs comme celui-ci, et de plus, nous savons que ces vecteurs sont dessinés à l’échelle. Cela signifie que si nous dessinons un quadrillage sur lequel les vecteurs apparaissent, alors l’espacement entre les marquages de grille adjacents, à la fois dans la direction horizontale et dans la direction verticale, est cohérent. Autrement dit, si nous devions prendre une règle et mesurer la distance entre, disons, ces deux marques de la grille ici, cette distance serait la même que la distance entre deux marques adjacentes n’importe où dans notre schéma, que nous alignions notre règle verticalement ou horizontalement.

C’est d’ailleurs ce qui n’a pas été fait dans le schéma de la maison que nous avons vu dans l’écran d’ouverture. Dans ce cas, dans la représentation de la maison, dans son schéma, l’étendue horizontale n’était pas la même, elle n’était pas équivalente ou à l’échelle, par rapport à l’étendue verticale. Mais dans ce schéma, avec ces vecteurs sur ce quadrillage, nous avons en effet un schéma à l’échelle.

Alors, nous avons dit plus tôt que les vecteurs peuvent représenter un grand nombre de grandeurs. Ces deux vecteurs que nous avons dessinés ici pourraient représenter des forces en newtons, ou des vecteurs vitesses en mètres par seconde, ou autre chose. Lorsque nous les mettons sur ce quadrillage, cependant, l’important n’est pas les unités particulières des quantités représentées par les vecteurs, mais plutôt la distance spatiale entre les marquages de quadrillages adjacents à notre échelle. Et souvent, la façon dont nous définissons cette distance est d’utiliser une règle.

Considérez cette règle que nous avons dessiné. Nous voyons qu’elle est marquée en centimètres, et que la distance d’un marquage du quadrillage au suivant sur notre échelle est égale à un centimètre sur notre règle. Pour ce schéma que nous avons dessiné alors, notre échelle, que ce soit verticalement ou horizontalement, est que nos repères de grille sont séparés d’un centimètre. Avoir un schéma à l´échelle nous permet de combiner des vecteurs dessinés dessus en utilisant le schéma. Pour voir comment cela fonctionne, additionnons, combinons, les vecteurs rose et orange.

Pour ce faire, nous allons d’abord décomposer ces vecteurs en leurs composantes horizontales et verticales. Et en dessinant quelques axes, nous pouvons établir la direction horizontale ainsi que la verticale. Si nous nous concentrons d’abord sur le vecteur orange, nous pouvons dessiner la composante horizontale de ce vecteur comme ceci. En partant de l’origine, nous nous déplaçons le long de l’axe horizontal jusqu’à atteindre l’étendue horizontale de ce vecteur. Et puis, sur l’axe vertical, nous faisons la même chose pour sa composante verticale, en commençant par l’origine et en remontant jusqu’à ce que nous atteignions son étendue verticale.

Ce que nous avons dessiné le long de ces axes, ce sont les composantes horizontale et verticale, respectivement, du vecteur orange. Et notez que si nous additionnons ces deux composantes, nous obtiendrons le vecteur orange d’origine. Ensuite, faisons pareil avec le vecteur rose, en le divisant en ses composantes. La composante horizontale du vecteur rose commence à l’origine et sort vers la droite de deux unités sur notre quadrillage. Et puis, la composante verticale commence aussi à l’origine et monte de quatre unités, ou selon notre échelle, de quatre centimètres.

Eh bien, rappelez-vous que ce que nous voulons faire, c’est additionner graphiquement les vecteurs rose et orange. Nous pouvons le faire en additionnant leurs composantes verticale et horizontale, respectivement. Pour se préparer à cela, nous allons ajouter quelques cases du quadrillage dans la direction verticale et horizontale. Et puis, nous pouvons commencer par prendre nos deux vecteurs horizontaux, les composantes rose et orange, de ces vecteurs, puis à les disposer de manière à ce qu’ils soient de bout en bout comme ceci.

Mis en place de cette manière, nous pouvons compter le nombre d’espaces de grille qu’ils couvrent. En partant de l’origine, nous comptons un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept cases du quadrillage, qui, selon notre échelle, font sept centimètres. Ainsi, lorsque nous additionnons les vecteurs rose et orange, leur composante horizontale va de l’origine jusqu’à ce point ici, le long de l’axe horizontal.

Ensuite, faisons une addition similaire pour les composantes verticales de ces vecteurs. Si nous déplaçons ces vecteurs de sorte qu’ils soient maintenant de bout en bout le long de l’axe vertical, alors une fois de plus, nous pouvons compter les espaces de la grille en commençant à l’origine. Un, deux, trois, quatre, cinq, six. La composante verticale combinée de ces deux vecteurs montera depuis l’origine de six unités sur l’axe vertical, soit six centimètres.

À partir de ce marquage, nous pouvons tracer une droite horizontale qui traverse notre quadrillage. Et puis, en commençant sur notre axe horizontal, à sept centimètres à droite de l’origine, nous pouvons tracer une droite verticale à partir de ce point. Et où ces deux droites se croisent, c’est là que notre vecteur résultant pointera quand il commence à l’origine. Donc, si nous additionnons les vecteurs rose et orange, le résultat obtenu ressemblera à notre vecteur bleu. Il a une composante horizontale de sept centimètres et une composante verticale de six centimètres. Et nous savons cela grâce à notre grille et parce que nous avons combiné les composantes horizontale et verticale des vecteurs orange et rose.

Maintenant, non seulement pouvons-nous utiliser un schéma scalaire pour additionner des vecteurs, mais nous pouvons également l’utiliser pour trouver la direction des points vectoriels. Par exemple, disons que nous voulions trouver le sens de ce vecteur bleu résultant. Nous pourrions définir ce sens comme l’angle entre l’axe horizontal positif ici et le vecteur bleu lui-même. Et nous pourrions même donner un nom à cet angle. Appelons-le 𝜃.

En pensant à comment calculer 𝜃, nous pouvons nous rappeler que nous avions précédemment utilisé une règle pour établir les distances sur notre quadrillage. Celles-ci étaient des distances linéaires, les cases entre les marquages du quadrillage. Et maintenant, nous voulons mesurer 𝜃, ce que nous pourrions appeler une distance angulaire. Pour ce faire, nous utilisons un outil appelé rapporteur. Un rapporteur est un appareil généralement en plastique transparent qui nous permet de mesurer des angles à partir de zéro degré jusqu’à 180.

Lorsque nous utilisons un rapporteur pour mesurer un angle, il faut garder à l’esprit deux choses importantes. La première chose à faire est de positionner le point d’intersection entre la droite verticale allant à 90 degrés et la droite horizontale allant à zéro degré et à 180 degrés, de sorte que ce point d’intersection entre ces deux droites se trouve pile sur l’origine de nos axes. Et la prochaine chose à assurer est que la ligne sur notre rapporteur qui va de 180 degrés à zéro degré soit parallèle à l’axe horizontal de nos axes. Si nous suivons ces deux étapes, cela signifiera que notre rapporteur est positionné exactement pour mesurer notre angle 𝜃.

Lorsque nous mettons notre rapporteur dans cette position, voici à quoi cela ressemble. Maintenant, parce que les rapporteurs sont généralement faits de matériaux transparents, nous pourrions souvent voir les vecteurs parmi les lignes du quadrillage derrière lui. Mais ici, nous avons effacé ces lignes, pour des raisons de clarté. Nous pouvons voir, cependant, que si nous devions prolonger la ligne de notre vecteur bleu jusqu’à l’origine, où il commence vraiment, que ce serait au point d’intersection entre les marquages d’angle à 90 degrés et à degré zéro sur notre rapporteur. Et avec cela, le rapporteur est configuré de sorte que sa droite horizontale entre zéro degré et 180 soit parallèle à notre axe horizontal.

Cela signifie que nous pouvons maintenant utiliser les marquages sur le rapporteur pour commencer à partir de zéro degré et remonter jusqu’au vecteur bleu dont nous voulons mesurer l’angle. Nous pourrions lire cette valeur sur le rapporteur où le vecteur bleu passe juste à côté de ces marquages. Et parce que nous avons commencé à partir de zéro degré et sommes arrivés à cet angle, notre mesure serait égale à l’angle que nous voulions résoudre, 𝜃. Nous pouvons voir que, au bout du compte, nous avons mesuré l’angle entre ce vecteur résultant, le bleu, et sa composante horizontale. Nous n’avons pas dessiné cette composante, mais nous savons qu’elle se trouve le long de l’axe horizontal.

Ainsi, sur un schéma à l’échelle, nous pouvons utiliser une règle pour mesurer les distances et un rapporteur pour mesurer les angles. Et grâce à la cohérence de notre échelle, que les repères du quadrillage sont toujours séparés par la même distance, nous savons que nos mesures avec une règle et un rapporteur vont décrire exactement notre schéma scalaire. Sachant tout cela, entraînons-nous maintenant avec un exemple.

Quelques vecteurs sont dessinés à l’échelle sur un quadrillage. Le vecteur vert est la composante verticale du vecteur rouge. Le vecteur bleu est la composante horizontale du vecteur rouge. Quel est l’angle entre le vecteur rouge et sa composante horizontale ?

Bon, en regardant ce schéma, nous voyons ce quadrillage avec les trois vecteurs dessinés. Il y a le vecteur rouge, le vert et le bleu. Et on nous dit que le vecteur vert est la composante verticale du rouge, et le vecteur bleu est sa composante horizontale. Cela signifie que si nous mesurons l’étendue verticale totale du vecteur rouge, cette longueur serait indiquée par le vecteur vert. Et que si nous mesurons l’étendue horizontale totale du vecteur rouge, cette longueur serait indiquée par le vecteur bleu.

Notre question est la suivante : quel est l’angle entre le vecteur rouge et sa composante horizontale ? Et nous savons qu’une autre façon de dire cela est : quel est l’angle entre le vecteur rouge et le vecteur bleu? Si nous commençons par le vecteur rouge, cet angle ressemblerait à peu près à cela. Nous voulons déterminer quel est cet angle. Et nous le ferons en utilisant cet outil appelé rapporteur.

Ce rapporteur divise uniformément les angles entre zéro degré d’un côté et 180 degrés de l’autre. Et nous pouvons voir que ce rapporteur est positionné de telle sorte que l’endroit où le vecteur bleu et le vecteur vert se croisent est juste là où la ligne d’angle à 90 degrés sur le rapporteur et la ligne d’angle à zéro ou à 180 degrés se croisent. Et avec cela, la ligne horizontale reliant zéro et 180 degrés sur le rapporteur est alignée parallèlement au vecteur bleu. C’est-à-dire qu’elle est parallèle à la composante horizontale du vecteur rouge. Tout cela signifie que notre rapporteur est dans la bonne position pour mesurer cet angle qui nous intéresse entre le vecteur rouge et sa composante horizontale.

En regardant notre rapporteur, cependant, nous pouvons remarquer qu’il a deux échelles d’angle. Une échelle, celle sur le bord extérieur, va de zéro à gauche à 180 degrés à droite. Et l’autre, ce que nous pourrions appeler l’échelle interne, va dans le sens opposé, en commençant à 180 degrés à gauche et en allant à zéro degré à droite. Le rapporteur est configuré de cette façon afin que nous puissions toujours facilement mesurer de zéro degré à un angle positif.

L’angle que nous allons mesurer dans ce cas, nous pouvons appeler cet angle 𝜃, sera également un angle positif. Et nous pouvons voir qu’il sera égal à la différence entre la position angulaire du vecteur bleu et celle du vecteur rouge. Nous pourrions mesurer 𝜃 en commençant par l’échelle de mesure interne en allant de la ligne rouge jusqu’à zéro degré. Mais en regardant notre rapporteur, nous voyons qu’il y a en fait un avantage à utiliser l’échelle de mesure externe.

Notez que sur l’échelle interne de notre rapporteur, la plus petite différence entre les angles marqués sur l’échelle est de 10 degrés. Mais si nous regardons l’échelle externe, nous voyons que les angles sont divisés en incréments beaucoup plus petits. Par exemple, considérons à partir de cette marque particulière, celle de 50 degrés sur notre échelle de mesure externe. Maintenant, si nous comptons le nombre de repères lorsque nous montons vers 60 degrés, alors nous comptons un repère, deux, trois, quatre, cinq. Et cela marque le point à mi-chemin entre 50 et 60.

Et puis, nous montons au sixième repère, le septième, huitième, neuvième, puis le dixième est de 60 degrés. Donc, s’il y a 10 repères uniformément espacés entre 60 degrés et 50 degrés, cela signifie que la différence entre les repères adjacents, ce que nous pourrions appeler la résolution de cette échelle, est d’un degré. C’est la plus petite différence mesurable entre les angles que cette échelle permet. Eh bien, un degré vaut beaucoup mieux que 10 degrés. Alors, utilisons l’échelle externe lorsque nous mesurons l’angle qui nous intéresse, 𝜃.

Si nous regardons où notre vecteur rouge traverse l’échelle de mesure externe de notre rapporteur, nous voyons que cette marque est un, deux repères au-dessus de l’angle marqué de 130 degrés. Et si nous regardons à gauche de cela, nous pourrions l’appeler dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sur notre rapporteur, nous voyons que le prochain angle marqué est de 120 degrés. Cela signifie que le vecteur rouge traverse notre rapporteur à deux repères, ou à deux degrés, en dessous de 130 degrés. 130 degrés moins deux font 128.

Cependant, ce n’est pas l’angle 𝜃 qui nous intéresse. Plutôt, 128 degrés serait la mesure de l’angle ici, si nous mesurions de zéro degré sur notre échelle externe jusqu’à notre vecteur rouge. Nous pouvons voir, cependant, que 𝜃 est la différence entre cela et 180 degrés. En effet, l’angle le plus grand sur notre échelle de mesure externe est en effet de 180 degrés Ce qui signifie que la façon de calculer 𝜃 est de prendre 128 degrés et de les soustraire de 180 degrés. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons en effet cet angle marqué en orange, l’angle 𝜃. 180 degrés moins 128 degrés font 52 degrés. C’est l’angle entre le vecteur rouge et sa composante horizontale.

Prenons un instant pour résumer ce que nous avons appris sur les schémas à l’échelle. Nous avons vu dans cette leçon que les schémas à l’échelle représentent les quantités vectorielles, telles que la force ou le déplacement ou les accélérations, selon une échelle de marquage cohérente. Par exemple, si cela était un vecteur représentant, disons, une force, alors nous avons vu que nous pourrions mettre ce vecteur sur un quadrillage avec des marquages espacés de manière égale. Et que l’échelle de cette grille, la distance entre les arrêtes du quadrillage, pourrait être établie par une règle.

Nous avons alors vu que lorsque les vecteurs sont dessinés à l’échelle, cela signifie que leurs grandeurs ainsi que leurs sens, en d’autres mots, leurs angles par rapport à, par exemple, un axe horizontal, peuvent être mesurés sur le quadrillage sur lequel ils apparaissent. Et cette mesure est effectuée à l’aide d’une règle pour déterminer la magnitude du vecteur et d’un rapporteur pour déterminer le sens ou l’angle du vecteur.

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